50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2023 có đáp án

Câu 1:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức $z = 7 - 6 i$ có tọa độ là

A. $(- 6; 7)$

B. $(6; 7)$

C. $(7; 6)$

D. $(7; - 6)$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có điểm biểu diễn số phức $z = 7 - 6 i$ có tọa độ là $(7; - 6)$ .

Câu 2:

Trên khoảng $(0; + \infty)$ , đạo hàm của hàm số $y = \log_{3} x$ là

A. $y^{'} = \frac{1}{x}$

B. $y^{'} = \frac{1}{x \ln 3}$

C. $y^{'} = \frac{\ln 3}{x}$

D. $y^{'} = - \frac{1}{x \ln 3}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y^{'} = {(\log_{3} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 3}$ .

Câu 3:

Trên khoảng $(0; + \infty)$ , đạo hàm của hàm số $y = x^{π}$ là

A. $y^{'} = π x^{π - 1}$

B. $y^{'} = x^{π - 1}$

C. $y^{'} = \frac{1}{π} x^{π - 1}$

D. $y^{'} = π x^{π}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $y^{'} = {(x^{π})}^{'} = π x^{π - 1}$ .

Câu 4:

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x + 1} < 4$ là

A. $(- \infty; 1]$

B. $(1; + \infty)$

C. $[1; + \infty)$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $2^{x + 1} < 4 \Leftrightarrow 2^{x + 1} < 2^{2} \Leftrightarrow x + 1 < 2 \Leftrightarrow x < 1$ .

Vậy tập của bất phương trình là $(- \infty; 1)$ .

Câu 5:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và công bội $q = \frac{1}{2}$ . Giá trị của $u_{3}$ bằng

A. 3

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{7}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $u_{3} = u_{1} . q^{2} = 2. {(\frac{1}{2})}^{2} = 2. \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .

Câu 6:

Trong không gian

O x y z

, mặt phẳng

(P) : x + y + z + 1 = 0

có một vectơ pháp tuyến là

A. $\vec{n_{1}} = (- 1; 1; 1)$

B. $\vec{n_{4}} = (1; 1; - 1)$

C. $\vec{n_{3}} = (1; 1; 1)$

D. $\vec{n_{2}} = (1; - 1; 1)$

Xem đáp án

Chọn C

$(P) : x + y + z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{3}} = (1; 1; 1)$ .

Câu 7:

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là

Cho hàm số y= ax+b/ cx+d có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là (ảnh 1)

A. $(0; - 2)$

B. $(2; 0)$

C. $(- 2; 0)$

D. $(0; 2)$

Xem đáp án

Chọn B

Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ $(2; 0)$ .

Câu 8:

Nếu $\int_{- 1}^{4} f (x) d x = 2$ và $\int_{- 1}^{4} g (x) d x = 3$ thì $\int_{- 1}^{4} [f (x) + g (x)] d x$ bằng

A. 5

B. 6

C. 1

D. -1

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\int_{- 1}^{4} [f (x) + g (x)] d x = \int_{- 1}^{4} f (x) d x + \int_{- 1}^{4} g (x) d x = 2 + 3 = 5$ .

Câu 9:

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình bên

A. $y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

B. $y = \frac{x - 3}{x - 1}$

C. $y = x^{2} - 4 x + 1$

D. $y = x^{3} - 3 x - 5$

Xem đáp án

Chọn B

Đồ thị đã cho thuộc dạng đồ thị hàm phân thức hữa tỷ bậc nhất nên dễ dàng loại 3 đáp án A, C, D (hàm đa thức).

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z + 1 = 0$ . Tâm của (S) có tọa độ là

A. $(- 1; - 2; - 3)$

B. $(2; 4; 6)$

C. $(- 2; - 4; - 6)$

D. $(1; 2; 3)$

Xem đáp án

Chọn D

Điểm $I (1; 2; 3)$ là tâm của mặt cầu $(S)$ .

Câu 11:

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz)bằng

A. $30^{\circ}$

B. $45^{\circ}$

C. $60^{\circ}$

D. $90^{\circ}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có vectơ pháp tuyến của $(O x y)$ và $(O y z)$ lần lượt là $\vec{k}$ và $\vec{i}$ .

Vì $\vec{k} ⊥ \vec{i}$ nên $(\hat{(O x y); (O y z)}) = 90 °$ .

Câu 12:

Cho số phức

z = 2 + 9 i

, phần thực của số phức

z^{2}

bằng

A. -77

B. 4

C. 36

D. 85

Xem đáp án

Chọn A

$z = 2 + 9 i \Rightarrow z^{2} = {(2 + 9 i)}^{2} = - 77 + 36 i$ .

Vậy phần thực của số phức $z^{2}$ bằng -77.a

Câu 13:

Cho khối lập phương có cạnh bằng 2. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng

A. 6

B. 8

C. $\frac{8}{3}$

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a là $V = a^{3} = 2^{3} = 8.$

Câu 14:

Cho khối chóp SABCcó đáy là tam giác vuông cân tại A, AB=2 ; SA vuông góc với đáy và SA=3 (tham khảo hình vẽ).

Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. 12

B. 2

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích khối chóp đã cho $V = \frac{1}{3} B . h = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S A = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} A B . A C . S A = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} .2.2.3 = 2$ .

Câu 15:

Cho mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O,R). Gọi d là khoảng cách từ O đến (P). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $d < R$

B. $d > R$

C. $d = R$

D. $d = 0$

Xem đáp án

Chọn C

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu $S (O; R)$ khi và chỉ khi $d = R .$

Câu 16:

Phần ảo của số phức $z = 2 - 3 i$ là

A.-3

B. -2

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

Lý thuyết.

Câu 17:

Cho hình nón có đường kính đáy 2r và độ dải đường sinh l . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

A. $2 π r l$

B. $\frac{2}{3} π r l^{2}$

C. $π r l$

D. $\frac{1}{3} π r^{2} l$

Xem đáp án

Chọn C

Hình nón có đường kính đáy 2r nên nó có bán kính đáy bằng l. Vậy diện tích xung quanh của

hình nón đã cho bằng $π r l .$

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 3}{- 2}$ . Điểm nào dưới đây thuộc d?

A. $P (1; 2; 3)$

B. $Q (1; 2; - 3)$

C. $N (2; 1; 2)$

D. $M (2; - 1; - 2)$

Xem đáp án

Chọn B

Lần lượt thay tọa độ của 4 điểm đã cho vào phương trình đường thẳng d, ta thấy tọa độ của điểm $Q (1; 2; - 3)$ thỏa mãn. Vậy điểm $Q (1; 2; - 3)$ thuộc đường thẳng d

Câu 19:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là

A. $(- 1; 2)$

B. $(0; 1)$

C. $(1; 2)$

D. $(1; 0)$

Xem đáp án

Chọn B

Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau:

Cho hàm số y= ax^4+bx^2+c có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là (ảnh 2)

Vậy đồ thị hàm số đã cho có điểm cực tiểu là $(0; 1) .$

Câu 20:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{3 x - 1}$ là đường thẳng có phương trình

A. $y = \frac{1}{3}$

B. $y = - \frac{2}{3}$

C. $y = - \frac{1}{3}$

D. $y = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{3 x - 1}$ có phương trình $y = \frac{2}{3}$ .

Câu 21:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log (x - 2) > 0$ là

A. $(2; 3)$

B. $(- \infty; 3)$

C. $(3; + \infty)$

D. $(12; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\log (x - 2) > 0 \Leftrightarrow x - 2 > 10^{0} \Leftrightarrow x > 3$ .

Câu 22:

Cho tập hợp A có 15 phần tử. Số tập con gồm hai phần tử của A bằng

A. 225

B. 30

C. 210

D. 105

Xem đáp án

Chọn D

Số tập hợp con của A là $C_{15}^{2} = 105$ .

Câu 23:

Cho $\int \frac{1}{x} d x = F (x) + C$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $F^{'} (x) = \frac{2}{x^{2}}$

B. $F^{'} (x) = ln x$

C. $F^{'} (x) = \frac{1}{x}$

D. $F^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có ${[F (x)]}^{'} = {(\int \frac{1}{x} d x)}^{'} = \frac{1}{x}$ .

Câu 24:

Nếu $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4$ thì $\int_{0}^{2} [\frac{1}{2} f (x) - 2] d x$ bằng

A. 0

B. 6

C. 8

D. -2

Xem đáp án

Chọn D

$\int_{0}^{2} [\frac{1}{2} f (x) - 2] d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f (x) d x - \int_{0}^{2} 2 d x = \frac{1}{2} .4 - 4 = - 2$ .

Câu 25:

Cho hàm số $f (x) = cos x + x$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\int f (x) d x = - sin x + x^{2} + C .$

B. $\int f (x) d x = sin x + x^{2} + C .$

C. $\int f (x) d x = - sin x + \frac{x^{2}}{2} + C .$

D. $\int f (x) d x = sin x + \frac{x^{2}}{2} + C .$

Xem đáp án

Chọn D

\int f (x) d x = \int [cos x + x] d x = sin x + \frac{x^{2}}{2} + C .

Câu 26:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(0; 2)$

B. $(3; + \infty)$

C. $(- \infty; 1)$

D. $(1; 3)$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $x \in (1; 3)$ thì $f' (x) < 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$ .

Câu 27:

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:

A. -1

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có giá trị cực đại của hàm số là 3.

Câu 28:

Với a là số thực dương tùy ý, $\ln (3 a) - \ln (2 a)$ bằng:

A. $\ln a$

B. $\ln \frac{2}{3}$

C. $\ln (6 a^{2})$

D. $\ln \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\ln (3 a) - \ln (2 a) = \ln \frac{3 a}{2 a} = \ln \frac{3}{2} .$

Câu 29:

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = - x^{2} + 2 x$ và y=0quanh trục Ox bằng

A. $V = \frac{16}{15} \cdot$

B. $V = \frac{16 π}{9} \cdot$

C. $V = \frac{16}{9} \cdot$

D. $V = \frac{16 π}{15} \cdot$

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm của đường $y = - x^{2} + 2 x$ và đường $y = 0$ là

$- x^{2} + 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ .

Thể tích là $V = π \int_{0}^{2} {(- x^{2} + 2 x)}^{2} d x = π \int_{0}^{2} (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}) d x = π (\frac{x^{5}}{5} - x^{4} + 4. \frac{x^{3}}{3}) |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} = \frac{16 π}{15}$ .

Câu 30:

Cho hình chóp SABCcó đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy và SA=AB (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(A B C)$ bằng

Cho hình chóp SABCcó đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy và SA=AB (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt (ảnh 1)

A. $60 ° .$

B. $30 ° \cdot$

C. $90 ° \cdot$

D. $45 ° \cdot$

Xem đáp án

Chọn D

Cho hình chóp SABCcó đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy và SA=AB (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai mặt (ảnh 2)

Ta có $B C ⊥ A B \Rightarrow S B ⊥ B C$ .

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(A B C)$ bằng $\hat{S B A}$ .

Do tam giác SBA vuông cân tại $A \Rightarrow \hat{S B A} = 45 °$ .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(A B C)$ bằng $45 °$ .

Câu 31:

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x)=m có ba nghiệm thực phân biệt?

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình (ảnh 1)

A. 2

B. 5

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn C

Số nghiệm của phương trình $f (x) = m$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng $y = f (x)$ .

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình (ảnh 2)

Dựa vào hình vẽ, ta có:

Phương trình $f (x) = m$ có ba nghiệm thực phân biệt khi đường thẳng $d : y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại ba điểm phân biệt, tức là $- 3 < m < 1$ . Mà $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 2; - 1; 0\}$ .

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = {(x - 2)}^{2} (1 - x)$ với mọi $x \in ℝ$ . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; 2)$

B. $(1; + \infty)$

C. $(2; + \infty)$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} (1 - x) > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - x > 0 \\ {(x - 2)}^{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < 1 \\ x \neq 2 \end{cases} \Leftrightarrow x < 1$ .

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$ .

Câu 33:

Một hộp chứa 15 quả cầu gồm 6 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 6 và 9 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên hai quả từ hộp đó, xác suất để lấy được hai quả khác màu đồng thời tổng hai số ghi trên chúng là số chẵn bằng

A. $\frac{9}{35} .$

B. $\frac{18}{35} .$

C. $\frac{4}{35} .$

D. $\frac{1}{7} .$

Xem đáp án

Chọn A

Số cách lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp là: $C_{15}^{2} = 105$ cách

Để tổng hai số ghi trên hai quả cầu là số chẵn ta có 2 TH sau:

TH1: Hai quả cầu khác màu cùng đánh số lẻ: $C_{3}^{1} . C_{5}^{1} = 15$ cách

TH2: Hai quả cầu khác màu nhau cùng đánh số chẵn: $C_{3}^{1} . C_{4}^{1} = 12$ cách

Vậy xác suất cần tính là: $P = \frac{12 + 15}{105} = \frac{9}{35} .$

Câu 34:

Tích tất cả các nghiệm của phương trình $\ln^{2} x + 2 \ln x - 3 = 0$ bằng

A. $\frac{1}{e^{3}} .$

B. -2

C. -3

D. $\frac{1}{e^{2}} .$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\ln^{2} x + 2 \ln x - 3 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ (\ln x - 1) (\ln x + 3) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ [\begin{array}{l} x = e \\ x = e^{- 3} \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = e \\ x = e^{- 3} \end{array}$

Vậy $x_{1} . x_{2} = \frac{1}{e^{2}} .$

Câu 35:

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $|z + 2 i| = 1$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là.

A. $(0; 2)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(0; - 2)$

D. $(2; 0)$

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $z = x + y i$ , với $x, y \in ℝ$ .

Từ giả thiết $|z + 2 i| = 1 \Rightarrow x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ .

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I (0; - 2)$ , bán kính $R = 1$

Câu 36:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (1; - 1; - 1)$ và $N (5; 5; 1)$ . Đường thẳng MN có phương trình là:

A. $\{\begin{cases} x = 5 + 2 t \\ y = 5 + 3 t \\ z = - 1 + t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 5 + t \\ y = 5 + 2 t \\ z = 1 + 3 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 + 3 t \\ z = - 1 + t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = - 1 + 3 t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\vec{M N} = (4; 6; 2) = 2 (2; 3; 1)$ .

Đường thẳng MN qua $M (1; - 1; - 1)$ nhận $\vec{M N} = (2; 3; 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình

\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 + 3 t \\ z = - 1 + t \end{cases}

.

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (1; 2; 3)$ . Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng $(O x z)$ có tọa độ là

A. $(1; - 2; 3)$

B. $(1; 2; - 3)$

C. $(- 1; - 2; - 3)$

D. $(- 1; 2; 3)$

Xem đáp án

Chọn A

Tọa độ hình chiếu của điểm $A (1; 2; 3)$ trên mặt phẳng $(O x z)$ là $(1; 0; 3)$ . Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng $(O x z)$ có tọa độ là $(1; - 2; 3)$

Câu 38:

Cho hình chóp đều SABCD có chiều cao a, AC=2a (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).

A. $\frac{\sqrt{3}}{3} a$

B. $\sqrt{2} a$

C. $\frac{2 \sqrt{3}}{3} a$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2} a$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp đều SABCD có chiều cao a, AC=2a (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD). (ảnh 2)

- Gọi $O = A C \cap B D$ , H là trung điểm CD. Trong $(S O H)$ , kẻ $O I ⊥ S H$ .

Có $\{\begin{cases} C D ⊥ S O \\ C D ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S O H) \Rightarrow C D ⊥ O I$ .

Mà $O I ⊥ S H$ nên $O I ⊥ (S C D)$ $\Rightarrow d (O, (S C D)) = O I$ .

- Vì O là trung điểm BD nên $d (B, (S C D)) = d (O, (S C D)) = 2 O I = \frac{2 S O . O H}{\sqrt{S O^{2} + O H^{2}}}$ .

Có $A D = A C \sin 45 ° = a \sqrt{2}$ , $O H = a \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow d (B, (S C D)) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a$ .

Câu 39:

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn ${log}_{3} \frac{x^{2} - 16}{343} < {log}_{7} \frac{x^{2} - 16}{27}$ ?

A. 139

B. 92

C. 186

D. 184

Xem đáp án

Chọn D

TXĐ: $D = (- \infty; - 4) \cup (4; + \infty) .$

Ta có:

$\begin{array}{l} {log}_{3} \frac{x^{2} - 16}{343} < {log}_{7} \frac{x^{2} - 16}{27} \\ \Leftrightarrow {log}_{3} 7. [{log}_{7} (x^{2} - 16) - 3] < {log}_{7} (x^{2} - 16) - 3 {log}_{7} 3 \\ \Leftrightarrow ({log}_{3} 7 - 1) {.log}_{7} (x^{2} - 16) < 3 {log}_{3} 7 - 3 {log}_{7} 3 \\ \Leftrightarrow \log_{7} (x^{2} - 16) < \frac{3 (\log_{3} 7 - \log_{7} 3)}{\log_{3} 7 - 1} \\ \Leftrightarrow \log_{7} (x^{2} - 16) < 3 (1 + \log_{7} 3) \\ \Leftrightarrow \log_{7} (x^{2} - 16) < \log_{7} 21^{3} \\ \Leftrightarrow x^{2} - 16 < 21^{3} \\ \Leftrightarrow - \sqrt{9277} < x < \sqrt{9277} \end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có $x \in \{- 96; - 95; ...; - 5; 5; ...; 95; 96\}$ . Vậy có 184 số nguyên x thỏa mãn.

Câu 40:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi $F (x), G (x)$ là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn $F (4) + G (4) = 4$ và $F (0) + G (0) = 1$ . Khi đó $\int_{0}^{2} f (2 x) d x$ bằng

A. 3

B. $\frac{3}{4}$

C. 6

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $G (x) = F (x) + C$

$\{\begin{cases} F (4) + G (4) = 4 \\ F (0) + G (0) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 F (4) + C = 4 \\ 2 F (0) + C = 1 \end{cases} \Leftrightarrow F (4) - F (0) = \frac{3}{2} .$

Vậy: $\int_{0}^{2} f (2 x) d x = \int_{0}^{4} f (x) d x = F (4) - F (0) = \frac{3}{2} .$

Câu 41:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = - x^{4} + 6 x^{2} + m x$ có ba điểm cực trị?

A. 17

B. 15

C. 3

D. 7

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $y' = - 4 x^{3} + 12 x + m$ . Xét phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow - 4 x^{3} + 12 x + m = 0 (1)$ .

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có: $(1) \Leftrightarrow m = 4 x^{3} - 12 x$ .

Xét hàm số $g (x) = 4 x^{3} - 12 x$ có $g' (x) = 12 x^{2} - 12$ . Cho $g' (x) = 0 \Leftrightarrow 12 x^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

Bảng biến thiên của $g (x)$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y= -x^4+6x^2+mx có ba điểm cực trị? (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi $- 8 < m < 8$ .

Do $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 7, - 6, - 5, ..., 5, 6, 7\}$ .

Vậy có 15 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 42:

Xét các số phức z thỏa mãn $|z^{2} - 3 - 4 i| = 2 |z|$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z|$ . Giá trị của $M^{2} + m^{2}$ bằng

A. 28

B. $18 + 4 \sqrt{6}$

C. 14

D. $11 + 4 \sqrt{6}$

Xem đáp án

Chọn C

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

$2 |z| = |z^{2} - 3 - 4 i| \geq ||z^{2}| - |3 + 4 i|| = |{|z|}^{2} - 5|$ (vì $|z^{2}| = {|z|}^{2}$ ). Dấu “=” xảy ra khi $z^{2} = k (- 3 - 4 i)$ .

Suy ra $4 {|z|}^{2} \geq {(|z| - 5)}^{2} \Leftrightarrow {|z|}^{4} - 14 {|z|}^{2} + 25 \leq 0 \Leftrightarrow 7 - 2 \sqrt{6} \leq {|z|}^{2} \leq 7 + 2 \sqrt{6}$ .

$\Rightarrow \sqrt{6} - 1 \leq |z| \leq \sqrt{6} + 1$

Do đó, ta có $M = 1 + \sqrt{6}$ và $m = \sqrt{6} - 1$ .

Vậy $M^{2} + m^{2} = 14$ .

Câu 43:

Cho khối lăng trụ đứng ABCA'B'C có đáy ACB là tam giác vuông cân tại B, $A B = a$ . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(A^{'} B C)$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{3} a$ , thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{6} a^{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2} a^{3}$

C. $\sqrt{2} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{4} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho khối lăng trụ đứng ABCA'B'C có đáy ACB là tam giác vuông cân tại B, AB=a. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ảnh 1)

Kẻ $A H ⊥ A^{'} B$ , $H \in A^{'} B$ .

Vì $\begin{array}{l} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ A A^{'} \end{array}\} \Rightarrow B C ⊥ (A B B^{'} A^{'})$

$\Rightarrow B C ⊥ A H$ .

Ta có $B C ⊥ A H, A H ⊥ A^{'} B \Rightarrow A H ⊥ (A^{'} B C)$ . Do đó $d (A, (A^{'} B C)) = A H = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Xét tam giác vuông $A A^{'} B$ vuông tại A , ta có $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A^{'} A^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} \Rightarrow \frac{1}{A^{'} A^{2}} = \frac{1}{A H^{2}} - \frac{1}{A B^{2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{A^{'} A^{2}} = \frac{9}{6 a^{2}} - \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}} \Rightarrow A^{'} A = a \sqrt{2}$ .

Vậy . $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . A^{'} A = \frac{1}{2} a . a . a \sqrt{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$

Câu 44:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn $f (x) + x f^{'} (x) = 4 x^{3} + 4 x + 2, \forall x \in ℝ$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f (x)$ và $y = f^{'} (x)$ bằng

A. $\frac{5}{2}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $f (x) + x . f^{'} (x) = 4 x^{3} + 4 x + 2$ $\Leftrightarrow (x)^{'} \cdot f (x) + x . f^{'} (x) = 4 x^{3} + 4 x + 2$

$\Leftrightarrow [x . f (x)]^{'} = 4 x^{3} + 4 x + 2$ $\Leftrightarrow x . f (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 2 x + C$ $\Leftrightarrow f (x) = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 2 x + C}{x}$

Vì do $f (x)$ liên tục trên R nên C=0. Do đó $f (x) = x^{3} + 2 x + 2$ $\Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $y = f (x)$ và $y = f^{'} (x)$ , ta có:

$x^{3} + 2 x + 2 = 3 x^{2} + 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{array}$ . Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường $y = f (x)$ và $y = f^{'} (x)$ là: $S = \int_{0}^{2} |f (x) - f^{'} (x)| d x = \frac{1}{2}$

Câu 45:

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^{2} - 2 (m + 1) z + m^{2} = 0$ (m là số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| + |z_{2}| = 2 ?$

A. 1

B. 4

C. 2

D. 5

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $Δ^{'} = 2 m + 2$

TH1: $Δ^{'} < 0 \Leftrightarrow m < - 1.$

Phương trình có hai nghiệm phức, khi đó: $|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{\frac{c}{a}} = \sqrt{m^{2}} .$

Suy ra: $2 \sqrt{m^{2}} = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 1 (l) \end{array} .$

TH2: $Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow m > - 1.$

Vì $a . c = m^{2} \geq 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $z_{1} . z_{2} \geq 0$

hoặc $z_{1} . z_{2} \leq 0.$

Suy ra: $|z_{1}| + |z_{2}| = 2 \Leftrightarrow |z_{1} + z_{2}| = 2 \Leftrightarrow |2 m + 2| = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 2 (l) \\ m = 0 \end{array} .$

Vậy có 2 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 46:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A (0; 1; 2)$ và đường thẳng $d : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{- 3}$ . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Khoảng cách từ điểm $M (5; - 1; 3)$ đến (P) bằng

A. 5

B. $\frac{1}{3}$

C. 1

D. $\frac{11}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Lấy $B (2; 1; 1) \in d$ ta có $\vec{A B} = (2; 0; - 1)$ .

Ta có $[\vec{A B}, \vec{u_{d}}] = (2; 4; 4) = 2 (1; 2; 2)$

Mặt phẳng (P) đi qua A và chứa d suy ra $\vec{n_{P}} = (1; 2; 2)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z - 6 = 0$

Vậy $d (M, (P)) = \frac{|x_{M} + 2 y_{M} + 2 z_{M} - 6|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = 1$ .

Câu 47:

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn

\log_{3} (x^{2} + y^{2} + x) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{3} x + \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 24 x) ?

A. 89

B. 48

C. 90

D. 49

Xem đáp án

Chọn B

Điều kiện: x>0.

Ta có: $\log_{3} (x^{2} + y^{2} + x) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{3} x + \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 24 x)$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} + y^{2} + x) - \log_{3} x \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 24 x) - \log_{2} (x^{2} + y^{2})$

$\Leftrightarrow \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2} + x}{x}) \leq \log_{2} (\frac{x^{2} + y^{2} + 24 x}{x^{2} + y^{2}})$ $\Leftrightarrow \log_{3} (1 + \frac{x^{2} + y^{2}}{x}) \leq \log_{2} (1 + \frac{24 x}{x^{2} + y^{2}})$

$\Leftrightarrow \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x} + 1) - \log_{2} (1 + \frac{24 x}{x^{2} + y^{2}}) \leq 0.$

Đặt: $t = \frac{x^{2} + y^{2}}{x} (t > 0)$ , bất phương trình trở thành: $\log_{3} (1 + t) - \log_{2} (1 + \frac{24}{t}) \leq 0$ (1).

Xét hàm số $f (t) = \log_{3} (1 + t) - \log_{2} (1 + \frac{24}{t})$ có $f^{'} (t) = \frac{1}{(1 + t) \ln 3} + \frac{24}{(t^{2} + 24 t) \ln 2} > 0, \forall t > 0$ .

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Ta có $f (8) = \log_{3} (1 + 8) - \log_{2} (1 + \frac{24}{8}) = 0$

Từ đó suy ra: $(1) \Leftrightarrow f (t) \leq f (8) \Leftrightarrow t \leq 8 \Leftrightarrow \frac{x^{2} + y^{2}}{x} \leq 8 \Leftrightarrow {(x - 4)}^{2} + y^{2} \leq 16$ .

Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x; y)$

Ta có: ${(x - 4)}^{2} \leq 16 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 8$ , mà x>0 nên $0 < x \leq 8$ .

Với $x = 1, x = 7 \Rightarrow y = {\pm 2; \pm 1; 0}$ nên có 10 cặp.

Với $x = 2, x = 6 \Rightarrow y = {\pm 3; \pm 2; \pm 1; 0}$ nên có 14 cặp.

Với $x = 3, x = 5 \Rightarrow y = {\pm 3; \pm 2; \pm 1; 0}$ nên có 14 cặp.

Với $x = 4 \Rightarrow y = {\pm 4; \pm 3; \pm 2; \pm 1; 0}$ nên có 9 cặp.

Với $x = 8 \Rightarrow y = 0$ có 1 cặp.

Vậy có 48 cặp giá trị nguyên $(x; y)$ thỏa mãn đề bài.

Câu 48:

Cho khối nón có đỉnh A, chiều cao bằng 8 và thể tích bằng $\frac{800 π}{3}$ . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho AB=12, khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng $(S A B)$ bằng

A. $8 \sqrt{2}$

B. $\frac{24}{5}$

C. $4 \sqrt{2}$

D. $\frac{5}{24}$

Xem đáp án

Chọn C

Cho khối nón có đỉnh A, chiều cao bằng 8 và thể tích bằng 800bi/ 3 . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho AB=12, (ảnh 1)

Gọi O,R lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón, K,H lần lượt là hình chiếu của O lên AB,SK. Khi đó khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng (SAB) bằng OH.

Ta có: $V = \frac{1}{3} π R^{2} . h \Rightarrow R^{2} = \frac{3 V}{π . h} = \frac{3. \frac{800 π}{3}}{π .8} = 100 \Rightarrow R = 10$

Trong tam giác vuông OBK có: $O K = \sqrt{O B^{2} - B K^{2}} = \sqrt{R^{2} - {(\frac{A B}{2})}^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$ .

Trong tam giác vuông SOK có: $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{8^{2}} + \frac{1}{8^{2}} = \frac{2}{8^{2}} \Rightarrow O H = 4 \sqrt{2}$ .

Câu 49:

Trong không gian Oxyz cho $A (0; 0; 10), B (3; 4; 6) .$ Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giácOAM không có góc tù và có diện tích bằng 15 Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(4; 5) .$

B. $(3; 4) .$

C. $(2; 3) .$

D. $(6; 7) .$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $S_{O A M} = \frac{1}{2} O A . d (M; O A) = 15 \Rightarrow d (M; O A) = 3.$

Suy ra: M di động trên mặt trụ, bán kính bằng 3 trục là OA

Trong không gian Oxyz cho A(0,0,10), B(3,4,6). Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giácOAM không có góc tù và có diện (ảnh 1)

Xét điểm D như hình vẽ, $\{\begin{cases} H A . H O = H D^{2} = 9 \\ H A + H O = 10 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} H A = 1 \\ H O = 9 \end{cases} .$

Vì $\hat{A M O} \leq 90$ nên giới hạn của M là hai mặt trụ với trục AH và FO

Trong không gian Oxyz cho A(0,0,10), B(3,4,6). Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giácOAM không có góc tù và có diện (ảnh 2)

Vì hình chiếu của B cách H gần hơn nên $B M_{\min} = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13} .$

Câu 50:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a \in (- 10; + \infty)$ để hàm số $y = |x^{3} + (a + 2) x + 9 - a^{2}|$ đồng biến trên khoảng (0,1)?

A. 12

B. 11

C. 6

D. 5

Xem đáp án

Chọn B

Xét $f (x) = x^{3} + (a + 2) x + 9 - a^{2}$

$f' (x) = 3 x^{2} + a + 2$

Để $y = |f (x)|$ đồng biến trên khoảng $(0; 1)$

TH1: $\{\begin{cases} f' (x) \geq 0, \forall x \in (0; 1) \\ f (0) \geq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x^{2} + a + 2 \geq 0, \forall x \in (0; 1) \\ 9 - a^{2} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a \geq \underset{(0; 1)}{M a x} (- 3 x^{2} - 2) \\ 9 - a^{2} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a \geq - 2 \\ - 3 \leq a \leq 3 \end{cases} \Rightarrow a \in [- 2; 3]$

$a = \{- 2; - 1; 0; 1; 2; 3;\}$ → 6 giá trị

TH2: $\{\begin{cases} f' (x) \leq, \forall x \in (0; 1) \\ f (0) \leq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x^{2} + a + 2 \leq 0, \forall x \in (0; 1) \\ 9 - a^{2} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a \leq \underset{(0; 1)}{M i n} (- 3 x^{2} - 2) \\ 9 - a^{2} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a \leq - 5 \\ [\begin{array}{l} a \geq 3 \\ a \leq - 3 \end{array} \end{cases} \Rightarrow a \leq - 5$

Kết hợp với điều kiện bài toán $a = \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5\}$ → 5 giá trị

Vậy có 11 giá trị thoả mãn.