50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 9)

Câu 1:

Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ?

Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ? (ảnh 1)

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 1$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

C. $y = x^{3} - x^{2} + x - 1$

D. $y = - x^{4} - 2 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số a<0 và có 3 điểm cực trị.

Câu 2:

Một đội văn nghệ có 6 bạn nam và 4 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục song ca?

A. 45

B. 10

C. 24

D. 90

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Có 6 cách chọn 1 bạn nam từ 6 bạn.

Có 4 cách chọn 1 bạn nữ từ 4 bạn.

Áp dụng quy tắc nhân, ta có 6.4 = 24 cách chọn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục song ca.

Câu 3:

Trong không gian $O x y z$ , đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = - 2 - 4 t \\ z = 3 - 5 t \end{cases}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. $(3; 4; 5)$

B. (-1;2;-3)

C. (-3;4;5)

D. (1;-2;3)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = - 2 - 4 t \\ z = 3 - 5 t \end{cases}$ đi qua điểm $(1; - 2; 3)$

Câu 4:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 5}{2 - x}$ là đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

A. y = -5

B. y = 2

C. y = 1

D. y = -2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Vì $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x + 5}{2 - x} = - 2$ nên $y = - 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 5:

Cho $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ và $\int_{0}^{2} g (x) d x = - 1$ . Giá trị của tích phân $\int_{0}^{2} [f (x) - g (x)] d x$ bằng

A. -2

B. 2

C. 4

D. -3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int_{0}^{2} [f (x) - g (x)] d x = \int_{0}^{2} f (x) d x - \int_{0}^{2} g (x) d x = 3 - (- 1) = 4$

Câu 6:

Môđun của số phức $z = - 3 + 4 i$ bằng:

A. 7

B. $\sqrt{2}$

C. 5

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $|z| =$ $|- 3 + 4 i| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$

Câu 7:

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a; 2a; 3a là:

A. $V = 6 a^{3}$

B. $V = 2 a^{3}$

C. $V = a^{3}$

D. $V = 3 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là $a, 2 a, 3 a$ là: $V = a .2 a .3 a = 6 a^{3}$ .

Câu 8:

Đồ thị của hàm số $y = \frac{2 x - 4}{x + 1}$ cắt trục hoành tại điểm nào dưới đây?

A. (-2;0)

B. (-4;0)

C. (0;-4)

D. (2;0)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{2 x - 4}{x + 1} = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy đồ thị của hàm số $y = \frac{2 x - 4}{x + 1} \vec{n_{2}} = (0; 1; - 2)$ cắt trục hoành tại điểm $(2; 0)$

Câu 9:

Trong không gian $O x y z$ , mặt phẳng $(P) : x - 2 z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\vec{n_{1}} = (1; 0; - 2)$

B. $\vec{n_{3}} = (1; - 2; 0)$

C. $\vec{n_{4}} = (1; - 2; 3)$

D. $\vec{n_{2}} = (1; 2; 3)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $(P) : x - 2 z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là (1;0;-2).

Câu 10:

Cho mặt cầu tâm O có đường kính 12 cm. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu đã cho khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến (P) bằng

A. 6cm

B. 4 cm

C. 24cm

D. 12 cm

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tâm O có đường kính 12 cm khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến (P) bằng bán kính mặt cầu và bằng .

Câu 11:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên

ℝ

và đồ thị y = f(x) như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;3)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;1)

Xem đáp án

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$

Câu 12:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

của đồ thị hàm số đã cho là:

A. (-1;4)

B. (-1;0)

C. (3;-2)

D. (0;4)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quan sát bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là (-1;4)

Câu 13:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ

Tổng giá trị cực đại và cực tiểu đã cho bằng

A. 3

B. 0

C. 2

D. 5

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt là 3 và -1.

Vậy tổng giá trị cực đại và cực tiểu đã cho bằng 3 + (-1) = 2

Câu 14:

Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc vầB = AC = 2a, AD = 3a. Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng

A. $V = 2 a^{3} .$

B. $V = 3 a^{3} .$

C. $V = 4 a^{3} .$

D. $V = a^{3} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $A D ⊥ A B$ và $A D ⊥ A C \Rightarrow A D ⊥ (A B C)$

Thể tích khối tứ diện ABCD là $V = \frac{1}{3} S_{A B C} \cdot A D = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot A D = 2 a^{3}$ .

Câu 15:

Đạo hàm của hàm số $y = 9^{x} + 2023$ là:

$y^{'} = x {.9}^{x - 1} \cdot$

B. $y^{'} = \frac{9^{x}}{\ln 9} \cdot$

C. $y^{'} = \frac{9^{x - 1}}{\ln 9} \cdot$

D. $y^{'} = 9^{x} \ln 9 \cdot$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $y^{'} = {(9^{x} + 2023)}^{'} = 9^{x} \ln 9$

Câu 16:

Cho cấp số cộng

(u_{n})

, biết

u_{1} = 1

và công sai d = 2. Giá trị

u_{15}

bằng

A. 29

B. 35

C. 27

D. 31

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $u_{15} = u_{1} + 14 d = 1 + 14 \cdot 2 = 29$

Câu 17:

Cho $\int \frac{1}{x^{2}} d x = F (x) + C$ với $x \neq 0$ và C là hằng số. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $F^{'} (x) = 2 \ln |x|$

B. $F^{'} (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

C. $F^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}}$

D. $F^{'} (x) = - \frac{1}{x}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int \frac{1}{x^{2}} d x = F (x) + C \Rightarrow {(\int \frac{1}{x^{2}} d x)}^{'} = {[F (x) + C]}^{'} \Leftrightarrow F^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

Câu 18:

Phần thực của số phức $z = 3 - (2 i - 4)$ là

A. 7

B. 1

C. - 2

D. -1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $z = 3 - (2 i - 4) = 7 - 2 i$ có phần thực là .

Câu 19:

Trên khoảng $(0; + \infty)$ , đạo hàm của hàm số $y = x^{e}$ là

A. $y^{'} = e x^{e - 1}$

B. $y^{'} = \frac{1}{e} x^{e - 1}$

C. $y^{'} = x^{e - 1}$

D. $y^{'} = \frac{x^{e + 1}}{e + 1}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $y^{'} = {(x^{e})}^{'} = e . x^{e - 1}$ .

Câu 20:

Tập nghiệm của bất phương trình $4^{2 x + 1} \geq 64$ là

A. $[1; + \infty)$

B. $(- \infty; 1)$

C. $(- \infty; - 1)$

D. $[- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $4^{2 x + 1} \geq 64 \Leftrightarrow 2 x + 1 \geq \log_{4} 64 \Leftrightarrow 2 x + 1 \geq 3 \Leftrightarrow x \geq 1$ .

Tập nghiệm của bất phương trình là $S = [1; + \infty)$ .

Câu 21:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x + 1) > - 3$ là

A. $(- 1; 5)$

B. $(7; + \infty)$

C. $(- 1; 7)$

D. $[- 1; 7)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\log_{\frac{1}{2}} (x + 1) > - 3 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 1 < {(\frac{1}{2})}^{- 3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - 1 \\ x < 7 \end{cases} \Leftrightarrow - 1 < x < 7$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương là $S = (- 1; 7)$ .

Câu 22:

Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình $2 f (x) + m = 0$ có bốn nghiệm thực phân biệt là

A. 7

B. 4

C. 6

D. 5

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có : $2 f (x) + m = 0 \Leftrightarrow f (x) = - \frac{m}{2}$ .

Phương trình $2 f (x) + m = 0$ có bốn nghiệm thực phân biệt $\Leftrightarrow - 2 < - \frac{m}{2} < 1 \Leftrightarrow - 2 < m < 4$ .

Kết hợp với điều kiện $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 1; 0; 1; 2; 3\}$ .

Vậy có 5 giá trị m nguyên để phương trình $2 f (x) + m = 0$ có bốn nghiệm thực phân biệt.

Câu 23:

Cho hai số phức $z_{1} = 1 - i, z_{2} = 5 i - 3$ . Phần ảo của số phức $w = z_{1} \cdot {\bar{z}}_{2} + z_{2}$ là

A. -1

B. 3

C. -3

D. 11

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $w = z_{1} . {\bar{z}}_{2} + z_{2} = (1 - i) . (- 3 - 5 i) + 5 i - 3 = - 11 + 3 i$ .

Phần ảo của số phức w là 3.

Câu 24:

Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi $S_{1}$ là tổng diện tích ba quả bóng bàn, $S_{2}$ là diện tích xung quanh hình trụ. Tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{2}{3}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi là bán kính của các quả bóng bàn.

Tổng diện tích ba quả bóng bàn là: $S_{1} = 3.4 π r^{2} = 12 π r^{2}$ .

Diện tích xung quanh hình trụ là: $S_{2} = 2 π r .6 r = 12 π r^{2}$ .

Vậy: $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 1$ .

Câu 25:

Trong không gian $O x y z$ , gọi $φ$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a} = (1; 2; 0), \vec{b} = (2; 0; - 1)$ . Khi đó giá trị $\cos φ$ bằng

A. $\cos φ = \frac{2}{5}$

B. $\cos φ = \frac{\sqrt{2}}{5}$

C. $\cos φ = 0$

D. $\cos φ = - \frac{\sqrt{2}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\cos φ = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{1.2}{\sqrt{5} . \sqrt{5}} = \frac{2}{5}$ .

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-3) và phương trình hai mặt phẳng (P): 2x + 2y + z +1 = 0, (Q): 2x – y + 2z – 1 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với cả (P) và (Q) là:

A. $\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 3}{- 6}$

B. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{- 6}$

C. $\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 3}{6}$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{- 4}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{P}} = (2; 2; 1)$ .

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{Q}} = (2; - 1; 2)$ .

Đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) nên có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = [\vec{n_{P}}, \vec{n_{Q}}] = (5; - 2; - 6)$ .

Vậy đường thẳng d cần tìm có phương trình là: $\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 3}{- 6}$ .

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0 có bán kính bằng

A. R = 3

B. R = 9

C. R = 4

D. R = 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $R = d (I; (P) =) \frac{|2.2 - 1 + 2.1 + 1|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 2$ .

Câu 28:

Nếu $\int_{1}^{3} [2 f (x) + 1] d x = 5$ thì $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng

A. 3

B. 2

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có

$\int_{1}^{3} [2 f (x) + 1] d x = 2 \int_{1}^{3} f (x) d x + \int_{1}^{3} 1 d x = 2 \int_{1}^{3} f (x) d x + 2 = 5 \Leftrightarrow \int_{1}^{3} f (x) d x = \frac{3}{2}$ .

Câu 29:

Cho hàm số $f (x) = \sin x + 5 x^{4}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int f (x) d x = - \cos x + 20 x^{3} + C$

B. $\int f (x) d x = \cos x + 20 x^{3} + C$

C. $\int f (x) d x = - \cos x + x^{5} + C$

D. $\int f (x) d x = \cos x + x^{5} + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int f (x) d x = \int (\sin x + 5 x^{4}) d x = - \cos x + x^{5} + C$ .

Câu 30:

Cho các số thực dương phân biệt $a, b$ đều khác 1 và thỏa mãn $\ln a = x, \ln b = y$ . Tính giá trị của biểu thức $P = \ln (a^{5} b^{4})$ theo x và y.

A. $P = 5 x + 4 y$

B. $P = 20 x y$

C. $P = x^{5} y^{4}$

D. $P = x^{5} + y^{4}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $P = \ln (a^{5} b^{4}) = 5 \ln a + 4 \ln b = 5 x + 4 y$ .

Câu 31:

Biết phương trình $\log_{2}^{2} x + 3 \log_{2} x^{2} - 7 = 0$ có hai nghiệm là $x_{1}, x_{2} (x_{1} > x_{2})$ . Giá trị của $x_{1} - 2 x_{2}$ bằng

A. $\frac{127}{64}$

B. 15

C. $\frac{129}{64}$

D. 14

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x > 0

\log_{2}^{2} x + 3 \log_{2} x^{2} - 7 = 0 \Leftrightarrow \log_{2}^{2} x + 6 \log_{2} x - 7 = 0

Đặt $t = \log_{3} x$ , phương trình trở thành:

$t^{2} + 6 t - 7 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 7 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} x = 1 \\ \log_{2} x = - 7 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 2 \\ x_{2} = \frac{1}{128} \end{array}$ (do $x_{1} > x_{2}$ )

Khi đó $x_{1} - 2 x_{2} = 3 - 2. \frac{1}{2187} = \frac{127}{64}$ .

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ$ , có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{3} {(x - 1)}^{2} (x + 2)$ , $\forall x \in ℝ$ . Khoảng nghịch biến của hàm số $y = f (x)$ là:

A. $(- 2; 0)$

B. $(- 2; 0)$ và $(1; + \infty)$ .

C. $(- \infty; - 2)$ và

(0; 1)

.

D. $(- \infty; - 2)$ và $(0; + \infty)$ .

Xem đáp án

Ta có: $f^{'} (x) = 0$ $\Leftrightarrow x^{3} {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{array}$ .

Bảng xét dấu

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R, có đạo hàm f'(x) = x^3(x-1)^2(x+1), với mọi x thuộc R . Khoảng nghịch biến của hàm số (ảnh 1)

Dựa vào bảng xét dấu hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0).

Câu 33:

Cho hình phẳng (H) giới hạn với đường $y = \sqrt{x - 2}$ , trục hoành và đường thẳng x = 9. Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) xung quanh trục hoành có thể tích V bằng:

A. $V = \frac{11 π}{6}$

B. $V = \frac{5 π}{6}$

C. $V = \frac{13 π}{6}$

D. $V = \frac{7 π}{6}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình hoành độ giao điểm $y = \sqrt{x - 2}$ và trục hoành y = là

$\sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x = 4 \end{cases} \Leftrightarrow x = 4$ .

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

$V = π \int_{4}^{9} {(\sqrt{x} - 2)}^{2} d x = π \int_{4}^{9} (x - 4 \sqrt{x} + 4) d x = π {(\frac{x^{2}}{2} - \frac{8}{3} \sqrt{x^{3}} + 4 x)|}_{4}^{9} = \frac{11 π}{6}$ .

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{3}$ , $A C = a \sqrt{2}$ (tham khảo hình bên dưới)

Số đo góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng

A. $60 ° .$

B. $90 ° .$

C. $30 ° .$

D. $45 ° .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\begin{array}{l} D C ⊥ A D \\ D C ⊥ S A \end{array}\} \Rightarrow D C ⊥ (S A D) \Rightarrow S D ⊥ D C$

Khi đó $\begin{array}{l} S D ⊥ D C \\ A D ⊥ D C \end{array}\} \Rightarrow ((S C D); (A B C D)) = (S D; A D) = \hat{S D A}$

Xét tam giác ADC có: $A C = \frac{A D}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = a .$

Xét tam giác vuông SCD vuông tại D có:

\tan \hat{S D A} = \frac{S A}{A D} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S D A} = 60 ° .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $60 °$ .

Câu 35:

Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Xếp ngẫu nhiên các học sinh đó thành hàng ngang để chụp ảnh. Tính xác suất không có 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau

A. $\frac{65}{66}$

B. $\frac{1}{22}$

C. $\frac{1}{66}$

D. $\frac{7}{99}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Số phần tử của không gian mẫu: $n (Ω) = 11! = 39 916 800$ .

Gọi là biến cố “Không có 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau”.

Bước 1: Xếp 6 bạn nam thành một hàng ngang có $6! = 720$ cách.

Bước 2: Giữa 6 bạn nam có 7 khoảng trống. Xếp 5 bạn nữ vào 7 vị trí xem giữa hai bạn nam hoặc ngoài cùng (để 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau).

Như vậy có $A_{7}^{5} = 2 520$ cách xếp.

\Rightarrow n (A) = 720 \cdot 2 520 = 1 814 400

Xác suất của biến cố A là: $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{1 814 400}{39 916 800} = \frac{1}{22}$ .

Câu 36:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;6] và thỏa mãn $f (0) = 2, \int_{0}^{2} (2 x - 4) f^{'} (x) d x = 4.$ Tính $\int_{0}^{6} f (\frac{x}{3}) d x .$

A. I = 18

B. I = -6

C. I = -18

D. I = 6

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt $\frac{x}{3} = t \Rightarrow d x = 3 d t .$ Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 6 \Rightarrow t = 2 \end{cases} \Rightarrow \int_{0}^{6} f (\frac{x}{3}) d x = 3 \int_{0}^{2} f (t) d t$ .

Đặt: $\{\begin{cases} 2 x - 4 = u \\ f^{'} (x) d x = d v \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 d x = d u \\ f (x) = v \end{cases}$ .

$\Rightarrow \int_{0}^{2} (2 x - 4) f^{'} (x) d x = {(2 x - 4) f (x)|}_{0}^{2} - 2 \int_{0}^{2} f (x) d x$ $= 4 f (0) - 2 \int_{0}^{2} f (x) d x = 4$ .

$\Rightarrow 4 \cdot 2 - 2 \int_{0}^{2} f (x) d x = 4 \Rightarrow \int_{0}^{2} f (x) d x = 2$ .

Nên: $\int_{0}^{6} f (\frac{x}{3}) d x = 3 \int_{0}^{2} f (x) d x = 6$ .

Câu 37:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1| = 1.$ Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w = (1 + i \sqrt{3}) z + 2$ là một đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó là:

A. R = 8

B. R = 2

C. R = 16

D. R =

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $w = (1 + i \sqrt{3}) z + 2 = (1 + i \sqrt{3}) (z - 1) + 3 + i \sqrt{3}$ .

$\Rightarrow |w - 3 - i \sqrt{3}| = |(1 + i \sqrt{3}) (z - 1)| = |1 + i \sqrt{3}| |z - 1| = 2 \cdot 1 = 2$ .

Gọi số phức $w = x + y i$ .

$\Rightarrow |w - 3 - i \sqrt{3}| = |x - 3 + (y - \sqrt{3}) i| = 2$

$\Rightarrow \sqrt{{(x - 3)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2}} = 2 \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 2^{2}$ .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w = (1 + i \sqrt{3}) z + 2$ là một đường tròn có bán R = 2

Câu 38:

Có bao nhiêu số phức z thỏa $|z + 1 - 2 i| = |\bar{z} + 3 + 4 i|$ và $\frac{z - 2 i}{\bar{z} + i}$ là một số thuần ảo?

A. 0

B. 1

C. Vô số

D.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Giả sử $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ , điều kiện: $(x, y) \neq (0; 1)$ theo giả thiết: $|z + 1 - 2 i| = |\bar{z} + 3 + 4 i|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} = \sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(4 - y)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = {(x + 3)}^{2} + {(4 - y)}^{2}$

$\Leftrightarrow x - y + 5 = 0 \Leftrightarrow x = y - 5$

Ta có:

$\frac{z - 2 i}{\bar{z} + i} = \frac{x + (y - 2) i}{x + (1 - y) i} = \frac{[x + (y - 2) i] [x - (1 - y) i]}{[x + (1 - y) i] [x - (1 - y) i]}$

Vì $\frac{z - 2 i}{\bar{z} + i}$ thuần ảo nên $x^{2} + (y - 2) (1 - y) = 0 \Leftrightarrow x^{2} = y^{2} - 3 y + 2 (*)$

Thế $x = y - 5$ vào (*) ta được: ${(y - 5)}^{2} = y^{2} - 3 y + 2 \Leftrightarrow 7 y = 23 \Leftrightarrow y = \frac{23}{7} (* *)$

Với $y = \frac{23}{7} \Rightarrow x = \frac{23}{7} - 5 = - \frac{12}{7}$ .

Vậy tồn tại 1 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 39:

Trong không gian Oxyz cho điểm M(4;2;0) và mặt phẳng (P): 2x + y – z – 4 = 0. Điểm H (a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P). Tính a + b + c.

A. $a + b + c = 6$

B. $a + b + c = 4$

C. $a + b + c = - 3$

D. $a + b + c = 2$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình đường thẳng HM đi qua M(4;2;0) nhận vectơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n_{P}} = (2; 1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là $\{\begin{cases} x = 4 + 2 t \\ y = 2 + t \\ z = - t \end{cases}$

$\Rightarrow H (4 + 2 t; 2 + t; - t)$ .

Mà $H \in (P) \Rightarrow 2 (4 + 2 t) + 2 + t + t - 4 = 0$ $\Leftrightarrow t = - 1$

$\Rightarrow H (2; 1; 1)$ $\Rightarrow a + b + c = 2 + 1 + 1 = 4$ .

Câu 40:

Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của phương trình

$\log_{3} (x^{2} + 8) - \log_{3} x + x^{2} - 9 x + 6 \leq 0$ .

A. 72

B. 28

C. 36

D. 45

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Điều kiện x > 0

$\log_{3} (x^{2} + 8) - \log_{3} x + x^{2} - 9 x + 6 \leq 0$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} + 8) + x^{2} + 8 \leq \log_{3} x + 2 + 9 x$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} + 8) + x^{2} + 8 \leq \log_{3} 9 x + 9 x$

$\Leftrightarrow f (x^{2} + 8) \leq f (9 x)$ .

Với $f (t) = \log_{3} t + t$ luôn đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Do đó $x^{2} + 8 \leq 9 x$ $\Leftrightarrow x^{2} - 9 x + 8 \leq 0$ $\Leftrightarrow 1 \leq x \leq 8$

Vậy tổng tất cả nghiệm nguyên của phương trình là: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$ .

Câu 41:

Cho đồ thị (C) của hàm số đa thức bậc ba và parabol (P) có đỉnh trên Ox và trục đối xứng của (P) vuông góc với trục hoành như hình vẽ. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) (phần tô đen)

Cho đồ thị (C) của hàm số đa thức bậc ba và parabol (P) có đỉnh trên Ox và trục đối xứng của (P) vuông góc với trục hoành như hình (ảnh 1)

A. $\frac{3017}{192}$

B. $\frac{343}{192}$

C. $\frac{1393}{192}$

D. $\frac{937}{192}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Xét $(P) : f (x) = a x^{2} + b x + c$ có đỉnh $I (- 1; 0)$ và có $f (- 1) = 0; f (1) = 2$

$\Rightarrow \{\begin{cases} - \frac{b}{2 a} = - 1 \\ a - b + c = 0 \\ a + b + c = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = 1 \\ c = \frac{1}{2} \end{cases}$

Vậy $(P) : f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{2}$ .

Xét $(C) : g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $\Rightarrow g^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ .

Ta có $\{\begin{cases} g' (- 2) = 0 \\ g' (0) = 0 \\ g (0) = - 2 \\ g (1) = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 12 a - 4 b + c = 0 \\ c = 0 \\ d = - 2 \\ a + b + c + d = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = - 2 \end{cases}$

Vậy $(C) : g (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 2 = 0$

Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{3} + 3 x^{2} - 2 = \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - x - \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- 5}{2}; x = - 1; x = 1$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C)và (P) là:

$S = \int_{- \frac{5}{2}}^{1} |(x^{3} + 3 x^{2} - 2) - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{2})| d x$

$= \int_{- \frac{5}{2}}^{1} |x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - x - \frac{5}{2}| d x$ $= \int_{- \frac{5}{2}}^{- 1} |x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - x - \frac{5}{2}| d x + \int_{- 1}^{1} |x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - x - \frac{5}{2}| d x$

$= \int_{- \frac{5}{2}}^{- 1} (x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} - x - \frac{5}{2}) d x + \int_{- 1}^{1} (- x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + x + \frac{5}{2}) d x$

$= \frac{99}{64} + \frac{10}{3} = \frac{937}{192}$ .

Câu 42:

Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + m - 3$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 100]$ để tam giác OAB có góc OAB không tù (O là gốc tọa độ)?

A. 102

B. 101

C. 100

D. 103

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x$ . Từ đó $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}$

Vậy $A (0; m - 3); B (- 2; m + 1); O A^{2} = {(m - 3)}^{2}; O B^{2} = 4 + {(m + 1)}^{2}; A B^{2} = 20$ .

Áp dụng định lí côsin trong $Δ A O B$ có: $\cos \hat{A O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B}$ .

Khi đó để tam giác OAB có góc OAB không tù thì $\cos \hat{A O B} \geq 0$

\Leftrightarrow O A^{2} + O B^{2} - A B^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 2 m^{2} - 4 m - 6 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 1 \\ m \geq 3 \end{array}

Lại có $m \in ℤ$ và $m \in [- 5; 100]$ suy ra $m \in \{- 5; - 4; ...; - 1; 3; 4; ...; 100\}$ .

Vậy có 103 giá trị của m.

Câu 43:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại C, $B C = a \sqrt{2}$ và gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’B’. Biết khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (AC’M) bằng $\frac{2 \sqrt{2}}{3} a$ . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

A. $4 \sqrt{2} a^{3}$

B. $\sqrt{2} a^{3}$

C. $2 \sqrt{2} a^{3}$

D. $\frac{2 \sqrt{6}}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $S_{A B C} = \frac{1}{2} B C^{2} = a^{2}; A B = A' B' = B C . \sqrt{2} = 2 a; A' M = a$

Kẻ $A^{'} H ⊥ A M$ .

Ta có $C^{'} M ⊥ (A^{'} A M) \Rightarrow C^{'} M ⊥ A^{'} H$ .

Từ đó suy ra $A^{'} H ⊥ (A M C^{'}) \Rightarrow d (A^{'}; (A C^{'} M)) = A^{'} H = \frac{2 \sqrt{2} a}{3}$ .

Xét tam giác A'AM có $\frac{1}{A^{'} H^{2}} = \frac{1}{A^{'} A^{2}} + \frac{1}{A M^{2}} \Rightarrow A^{'} A = 2 a \sqrt{2}$

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A^{'} A \cdot S_{A B C} = 2 \sqrt{2} a^{3}$ .

Câu 44:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a, AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB và

S H = \frac{a \sqrt{6}}{2}

. Tính khoảng cách d từ trọng tâm G của tam giác SCD đến mặt phẳng (SBC).

A. $d = \frac{2 a}{3}$

B. $d = a \frac{\sqrt{6}}{6}$

C. $d = \frac{2 \sqrt{15} a}{15}$

D. $d = \frac{a \sqrt{6}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a, AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy trùng (ảnh 1)

Ta có: ABCD là hình thang vuông tại A và D; $A D = C D = a; A B = 2 a$ ;

Hơn nữa H là trung điểm của AB do đó ADCH là hình vuông, DHBC là hình bình hành, tam giác BHC vuông cân tại H.

Gọi K là trung điểm của BC. Suy ra $H K ⊥ B C$

Từ H kẻ $H I ⊥ S K$

Do $B C ⊥ H K, B C ⊥ S H \Rightarrow B C ⊥ (S H K) \Rightarrow B C ⊥ H I$

Mà $H I ⊥ S K \Rightarrow H I ⊥ (S B C)$ .

Vậy $d (H, (S B C)) = H I$

Tam giác BHC vuông cân tại H với HB = HC = a nên $H K = H B . \frac{\sqrt{2}}{2} = a \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHK ta có:

$\frac{1}{H I^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H K^{2}} = \frac{4}{6 a^{2}} + \frac{4}{2 a^{2}} = \frac{8}{3 a^{2}} \Rightarrow H I = \frac{a \sqrt{6}}{4}$

$d (G, (S B C)) = \frac{2}{3} d (M, (S B C)) = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} d (D, (S B C)) = \frac{1}{3} d (H, (S B C)) = \frac{1}{3} H I = \frac{a \sqrt{6}}{12}$ .

Câu 45:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$ và mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z + 6 = 0; (Q) : x - 2 y + z + 2023 = 0$ . Điểm N di động trên (S), điểm (M) đi động trên (P) sao cho MN vuông góc với (Q). Độ dài lớn nhất của đoạn thẳng MN bằng

A. $9 \sqrt{6}$

B. $20 \sqrt{6}$

C. $9 + 2 \sqrt{3}$

D. $11 \sqrt{6}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét (S) có tâm I ( -1;2;1) và bán kính R =3.

Ta có: $d (I, (P)) = \frac{|- 1 + 2.2 + 2.1 + 6|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{11}{3} > R$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng (P) và $α$ là góc giữa MN và NH.

Vì $\vec{M N} ⊥ (Q)$ nên góc $α$ có số đo không đổi, $α = \hat{H N M}$ .

Ta có $H N = M N . \cos α \Rightarrow M N = \frac{1}{\cos α} . H N$ nên MN lớn nhất $\Leftrightarrow H N$ lớn nhất. $H N = d (I, (P)) + R = \frac{20}{3}$ .

Lại có $\cos α = |\cos (\vec{u}, \vec{n_{P}})| = \frac{1}{3 \sqrt{6}}$ nên $M N \leq \frac{1}{\cos α} H N = \frac{1}{3 \sqrt{6}} \cdot \frac{20}{3} = 20 \sqrt{6}$ .

Câu 46:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a \in (- 100; + \infty)$ để hàm số $y = |x^{4} + 2 a x^{2} + 8 x - a^{2} + 55|$ nghịch biến trên khoảng $(- 2; - 1)$ ?

A. 93

B. 102

C. 104

D. 103

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $f (x) = x^{4} + 2 a x^{2} + 8 x - a^{2} + 55$

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 a x + 8$

Để $y = |f (x)|$ nghịch biến trên khoảng (-2;-1)

· Trường hợp 1: $\{\begin{cases} f' (x) \geq 0, \forall x \in (- 2; - 1) \\ f (- 1) \leq 0 \end{cases}$

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 a x + 8 \geq 0 \Leftrightarrow a \leq \frac{- x^{3} - 2}{x}, \forall x \in (- 2; - 1) \Leftrightarrow a \leq \underset{(- 2; - 1)}{M i n} \frac{- x^{3} - 8}{x} = - 3$ .

$f (- 1) \leq 0 \Leftrightarrow 1 + 2 a - 8 - a^{2} + 55 \leq 0 \Leftrightarrow - a^{2} + 2 a + 48 \leq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a \leq - 6 \\ a \geq 8 \end{array}$

$f (- 1) \leq 0 \Leftrightarrow 1 + 2 a - 8 - a^{2} + 55 \leq 0 \Leftrightarrow - a^{2} + 2 a + 48 \leq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a \leq - 6 \\ a \geq 8 \end{array}$ .

Suy ra $a \leq - 6$ .

Kết hợp với điều kiện $a \in (- 100; + \infty) \Rightarrow a = \{- 99; - 98; ...; - 6\}$ có 94 giá trị.

· Trường hợp 2: $\{\begin{cases} f' (x) \leq 0, \forall x \in (- 2; - 1) (3) \\ f (- 1) \geq 0 (4) \end{cases}$

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 a x + 8 \leq 0 \Leftrightarrow a \geq \frac{- x^{3} - 2}{x}, \forall x \in (- 2; - 1) \Leftrightarrow a \geq \underset{(- 2; - 1)}{M a x} \frac{- x^{3} - 8}{x} = 1$

f (- 1) \geq 0 \Leftrightarrow 1 + 2 a - 8 - a^{2} + 55 \geq 0 \Leftrightarrow - a^{2} + 2 a + 48 \geq 0 \Leftrightarrow - 6 \leq a \leq 8

Suy ra $1 \leq a \leq 8$ .

Kết hợp với điều kiện $a \in (- 100; + \infty) \Rightarrow a = \{1; 2; ...; 8\}$ có 8 giá trị.

Kết luận: Có tất cả 94 + 8 = 102 giá trị thoả mãn

Câu 47:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;2), trong đó a, b là các số hữu tỷ dương tùy ý và mặt phẳng (P) có phương trình2x – 2y + 1 = 0. Biết rằng (ABC) vuông góc với (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng $\frac{2}{\sqrt{33}}$ . Giá trị của ab bằng:

A. 0

B. 4

C. $\frac{1}{4}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A (a; 0; 0)$ , $B (0; b; 0)$ , $C (0; 0; 2)$ là

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{2} = 1$ , a, b là các số hữu tỷ dương.

Đặt $m = \frac{1}{a}; n = \frac{1}{b}$ ta có phương trình mặt phẳng $(A B C) : m x + m y + \frac{1}{2} z - 1 = 0$ .

Vì $a, b$ là các số hữu tỉ dương nên $m > 0; n > 0$ $\vec{n_{(A B C)}} \vec{n_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow 2 m - 2 n = 0 \Leftrightarrow m = n$ .

Do (ABC) vuông góc với (P) nên $\vec{n_{(A B C)}} \vec{n_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow 2 m - 2 n = 0 \Leftrightarrow m = n$ .

Ta có $d (O, (A B C)) = \frac{1}{\sqrt{m^{2} + m^{2} + \frac{1}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{33}} \Rightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - 2 \end{array}$ .

Kết hợp với điều kiện m > 0 ta chọn m = 2.

Với $m = 2 \Rightarrow n = 2 \Rightarrow m n = \frac{1}{a b} = 4 \Rightarrow a b = \frac{1}{4}$ .

Câu 48:

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn

$\log_{3} {(x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y)}^{2} + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

A. 21

B. 20

C. 23

D. 22

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Điều kiện $\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y \neq 0 \\ x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y > 0 \\ x + 2 y > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow x + 2 y > 0$ .

$\log_{3} {(x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y)}^{2} + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y) \Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y) \Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) + 2 \log_{3} (x + 2 y)$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y) - 2 \log_{3} (x + 2 y) \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y) - \log_{2} (x^{2} + y^{2})$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} \frac{x^{2} + y^{2} + 7 x + 14 y}{x + 2 y} \leq \log_{2} \frac{x^{2} + y^{2} + 30 x + 60 y}{x^{2} + y^{2}}$

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} + 7) \leq \log_{2} (1 + 30 \frac{x + 2 y}{x^{2} + y^{2}})$ .

$\Leftrightarrow 2 \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} + 7) - \log_{2} (1 + 30 \frac{x + 2 y}{x^{2} + y^{2}}) \leq 0$

Đặt $t = \frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y}$ với $t > 0$ .

Khi đó, bất phương trình tương đương $2 \log_{3} (t + 7) - \log_{2} (1 + \frac{30}{t}) \leq 0$

Xét hàm số $f (t) = 2 \log_{3} (t + 7) - \log_{2} (1 + \frac{30}{t})$ .

Ta có $f^{'} (t) = \frac{2}{(t + 7) \ln 3} + \frac{\frac{30}{t^{2}}}{(1 + \frac{30}{t}) \ln 2} > 0, \forall t > 0$ .

Nên f(t) đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Mặt khác $f (t) = 0 \Leftrightarrow t = 2$ nên $2 \log_{3} (t + 7) - \log_{2} (1 + \frac{30}{t}) \leq 0 \Leftrightarrow t \leq 2$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} + y^{2}}{x + 2 y} \leq 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \leq 2 x + 4 y \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \leq 5$ .

Mà $x + 2 y > 0$ nên ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \leq 5$ .

Vậy có tất cả 20 cặp (x,y) thỏa mãn.

Câu 49:

Cho hai số phức $z, w$ thỏa mãn $|w + i| = \frac{3}{\sqrt{10}}$ và $10 w = (3 - i) (z - 3)$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z - 2 - i| + |z - 6 - i|$ bằng

A. $3 + \sqrt{10}$

B. $2 \sqrt{58}$

C. $3 \sqrt{10}$

D. $2 \sqrt{53}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $10 w = (3 - i) (z - 3) \Leftrightarrow 10 (w + i) = (3 - i) (z - 3) + 10 i$ .

Môđun hai vế ta được:

$\begin{array}{l} |10 (w + i)| = |(3 - i) (z - 3) + 10 i| \Leftrightarrow 10 |(w + i)| = |(3 - i) [(z - 3) + \frac{10 i}{3 - i}]| \\ \Leftrightarrow 10. \frac{3}{\sqrt{10}} = |(3 - i) [(z - 3) - 1 + 3 i]| \Leftrightarrow 3 \sqrt{10} = |3 - i| . |z - 4 + 3 i| \Leftrightarrow 3 \sqrt{10} = \sqrt{10} . |z - 4 + 3 i| \\ \Leftrightarrow |z - 4 + 3 i| = 3 \end{array}$ Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ có điểm biểu diễn là $M (x; y)$ .

Khi đó $|z - 4 + 3 i| = 3 \Leftrightarrow {(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn (C) có tâm I = (4;-3) và bán kính bằng R = 3.

Ta có $P = |z - 2 - i| + |z - 6 - i| = |z - (2 + i)| + |z - (6 + i)| = M A + M B$ với $A (2; 1); B (6; 1)$ .

Cho hai số phức z, w thỏa mãn |w + i| = 3/căn 10 và 10ww = (3 - i)(z - 3) . Giá trị lớn nhất của biểu thức (ảnh 1)

Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra E (4;1).

Xét tam giác MAB ta có:

$M E^{2} = \frac{2 (M A^{2} + M B^{2}) - A B^{2}}{4} \Rightarrow 2 (M A^{2} + M B^{2}) = 4 M E^{2} + A B^{2} = 4 M E^{2} + 16$ .

Ta có:

$P^{2} = {(M A + M B)}^{2} = {(1. M A + 1. M B)}^{2} \leq (1^{2} + 1^{2}) (M A^{2} + M B^{2})$

$= 2 (M A^{2} + M B^{2}) = 4 M E^{2} + 16$

$\Rightarrow P^{2} \leq 4 M E^{2} + 16 \leq 4 {(I M_{\max} + I E)}^{2} + 16 = 4 {(3 + 4)}^{2} + 16 = 212 \Rightarrow P \leq \sqrt{212} = 2 \sqrt{53}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là $2 \sqrt{53}$ .

Câu 50:

Cho hình nón (N) có đỉnh O, chiều cao h = 12 cm. Một khối nón (N’) có đỉnh là tâm đáy của (N) và có đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao x, (0 < x < 12) của khối nón (N’) để thể tích của nó là lớn nhất.

Cho hình nón (N) có đỉnh O, chiều cao h = 12 cm. Một khối nón (N’) có đỉnh là tâm đáy của (N) và có đáy là một thiết diện song song (ảnh 1)

A. x= 6cm

B. $x = 6 \sqrt{3} cm$

C. x = 4 cm

D. x = 8

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi x là chiều cao cần tìm; R,r lần lượt là chiều cao của khối nón lớn và bé.

Khi đó $\frac{r}{R} = \frac{h - x}{h} \Rightarrow r = \frac{R (h - x)}{h} .$

Thể tích khối nón đỉnh (N') là

$V = \frac{1}{3} π {[\frac{R (h - x)}{h}]}^{2} x = \frac{π R^{2}}{6 h^{2}} {(h - x)}^{2} 2 x$ $\overset{}{\leq} \frac{π R^{2}}{6 h^{2}} \frac{{(h - x + h - x + 2 x)}^{3}}{27} = \frac{4 π R^{2} h}{81} .$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $h - x = 2 x \Leftrightarrow x = \frac{h}{3} = \frac{12}{3} = 4.$