Chủ nhật, 24/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Thi thử THPT Quốc gia Toán Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 11)

Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 11)

Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 11)

  • 205 lượt thi

  • 51 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tính đạo hàm của hàm số y=log22x1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có y'=22x1ln2.


Câu 2:

Với a là số dương tùy ý khác 1, logaa bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có logaa=logaa12=12.


Câu 3:

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V = 3. Thể tích khối chóp A’.AB’C’ là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V = 3. Thể tích khối chóp A’.AB’C’ là (ảnh 1)

Ta có VA'.AB'C'=VA.A'B'C'=13SA'B'C'.dA,A'B'C'=13V=1.


Câu 4:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số  f(x) có bảng biến thiên như sau:   Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Từ bảng biến thiên ta suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là B(0;1)


Câu 5:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + sinx

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có fx dx=2x+sinx dx=x2cosx+C.


Câu 6:

Cho x2+1 dx=Fx+C. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có x2+1 dx=Fx+CFx=13x3+x.

Do đó F'x=x2+1.


Câu 7:

Cho hàm số bậc bốn y=fx=ax4+bx2+c có đồ thị như hình vẽ sau

Cho hàm số bậc bốn y = f(x) = ã^4 + bx^2 + c có đồ thị như hình vẽ sau   Giá trị cực đại của hàm số là (ảnh 1)

Giá trị cực đại của hàm số là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Giá trị cực đại của hàm số là -.


Câu 8:

Số phức liên hợp của số phức z = 2 – 5i  
Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Số phức liên hợp của số phức z=25i z¯=2+5i.


Câu 9:

Tìm tập nghiệm của bất phương trình log2(x2)<2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện x2>0x>2.

log2(x2)<2x2<4x<6.

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = (2;6).


Câu 10:

Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = 2 – 3i

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điểm biểu diễn số phức z = 2 - 3i là M (2;-3).


Câu 11:

Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3 cm và thể tích bằng 814cm3. Khi đó độ dài cạnh bên của khối lăng trụ đã cho bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có diện tích đáy S=934. Vậy cạnh bên h=VS=814934=33.


Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm M (1;-2;3), N (3;0;-1) I là trung điểm của MN. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có I2;1;1. Vậy OI=2ij+k.


Câu 13:

Nghiệm của bất phương trình 3x2243 

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có 3x22433x235x25x7.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x7.


Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz véc-tơ nào sau đây không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ:x12=y+13=z1?
Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có vectơ không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng là u4=2;3;1.


Câu 15:

Cho hàm số y=2x+1x1. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=2x+1x1 là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có limx1+y=+;limx1y=.

Vậy x =  là đường tiệm cận đứng.


Câu 16:

Tính đạo hàm của hàm số fx=e2x3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có f'x=e2x3'=2x3'.e2x3=2.e2x3.


Câu 17:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:   Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? (ảnh 1)

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ;2

Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng PQ với P (1;0;1)Q (-1;2;3)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng PQ đi qua trung điểm I (0;1;2) của đoạn PQ và có vectơ pháp tuyến PQ=2;2;2=21;1;1 có phương trình tổng quát:

1x01y11z2=0xyz+3=0.


Câu 19:

Cho cấp số nhân un với số hạng đầu u1=1 và công bội q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Giả sử số hạng 1024 là số hạng thứ n.

Ta có, un=1024 un=u1.qn1=2n1 suy ra 2n1=1024n=11.


Câu 20:

Cho mặt cầu có bán kính R = 2. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Diện tích mặt cầu S=4πR2=4π.22=16π.


Câu 21:

Mô đun của số phức z = 3 – 4i bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Mô đun của số phức z=34i bằng z=32+42=5.


Câu 23:

Nếu 01fx dx=2 01gx dx=1 thì 012022fx+2023gx dx bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có 012022fx+2023gx dx=202201fx dx+202301gxdx=2021.

Câu 24:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x+11=y3=z51 và mặt phẳng P:3x3y+2z+6=0. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có ud=1;3;1;nP=3;3;2:udknP nên  không vuông góc với (P) (Loại đáp án C).

Mặt khác ud.nP=100 nên d không nằm trong hay song song góc với (P) (Loại đáp án A, B).

Vậy Chọn D.


Câu 25:

Trong một chiếc hộp có 4 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả. Xác suất để lấy được 2 quả bóng màu khác nhau là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu nΩ=C72=21.

Gọi biến cố A: “Lấy được hai quả bóng khác màu”: nA=C41.C31=12.

Xác suất lấy được hai quả bóng khác màu là: PA=nAnΩ=47.


Câu 26:

Số giao điểm của hai đường cong y=x3x22x+3 y=x2x+1 bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình:

x3x22x+3=x2x+1x32x2x+2=0x=1x=2x=1.

Vậy số giao điểm của hai đường cong là .


Câu 27:

Hàm số nào sau đây mà đồ thị có dạng như hình vẽ bên dưới?

Hàm số nào sau đây mà đồ thị có dạng như hình vẽ bên dưới?   (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị suy ra tiệm cận ngang là y = 1 nên loại C, D.

Giao điểm của đồ thị tại gốc tọa độ O (0;0) nên loại A.

Vậy hàm số có đồ thị như hình vẽ là B.


Câu 28:

Nếu 14fx dx=3 10fx dx=2 thì 044e2x+3fx dx bằng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có:

14fx dx=310fx dx+04fx dx=304fx dx=310fxdx=32=1.

Suy ra: 044e2x+3fx dx=404e2xdx+304fx dx=2e2x04+3.1=2e8+1.


Câu 29:

Nếu 14fx dx=3 10fx dx=2 thì 044e2x+3fx dx bằng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có:

14fx dx=310fx dx+04fx dx=304fx dx=310fxdx=32=1.

Suy ra: 044e2x+3fx dx=404e2xdx+304fx dx=2e2x04+3.1=2e8+1.


Câu 30:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x25x+4 và trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh trục Ox.
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: x25x+4=0x=1x=4.

Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh trục Ox 

V=π14x25x+42dx=81π10.


Câu 31:

Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là trung điểm cạnh AB. Biết đáy là hình vuông cạnh a, SMABCD,tam giác SAB đều.

Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là trung điểm cạnh AB. Biết đáy là hình vuông cạnh a, SM vuông góc (ABCD) tam giác SAB đều. (ảnh 1)

Ký hiệu φ là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD), khi đó tanφ bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

tam giác SAB đều nên M là trung điểm của AB SM=a32.

Ta có φ=SD,ABCD^=SD,DM^=SDM^.

Vì M là trung điểm của AB nên AM=AB2=a2.

Xét ΔAMD vuông tại A, có MD=AM2+AD2=a52.

Xét ΔSMD vuông tại M tanSDM^=SMMD=a32a52=155.

Câu 32:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O  cạnh 4a, SAABCD. Gọi I là trung điểm của DO. Khi đó khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAC) bằng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O  cạnh 4a, SA vuông góc (ABCD). Gọi I là trung điểm của DO (ảnh 1)

Xét ΔABD vuông tại A, có BD=AB2+AD2=42a.

Ta có: SAABCDSAOI

  IOACIOSACdI;SAC=IO=BD4=4a24=a2.


Câu 33:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên:   Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) + m = 0  (ảnh 1)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) + m = 03 nghiệm phân biệt?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

fx+m=0fx=m có 3 nghiệm phân biệt, suy ra: 4<m<00<m<4.

Vậy m1;2;3.


Câu 34:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho a=1;2;1 b=x;1x;2. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của x để a+b=5.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: a+b=1+x;3x;3.

Suy ra: a+b=5

1+x2+3x2+32=5

2x24x6=0

x22x3=0

x=1x=3.

Vậy x1;3.


Câu 35:

Cho số phức z=a+bi a,bthỏa mãn 7a+4+2bi=10+65ai. TínhP=a+bz

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: 7a+4+2bi=10+65ai7a+4=102b=65aa=2b=8.

Suy ra: P=2+822+82=668=2417.


Câu 36:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1;1;1), B (2;1;0), C (2;0;2). Gọi (P) là mặt phẳng chứa BC và cách A một khoảng lớn nhất. Hỏi vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1;1;1), B (2;1;0), C (2;0;2). Gọi (P) là mặt phẳng chứa BC  (ảnh 1)

Kẻ AHP,AIBC. Ta có: dA;P=AHAI.

Khi đó AH lớn nhất khi H trùng với I

Suy ra: AIP.

 Gọi BC:B2;1;0u=BC=0;1;2. Suy ra: BC:x=2y=1tz=2tt.

Gọi I2;1t;2t. Ta có: AI=1;t;2t1AIBC

AI.BC=t+22t1=05t=2t=25. Suy ra: AI=1;25;15. 

Chọn n=5;2;1.


Câu 37:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên  f'x=x2x1. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Yêu cầu bài toán f'x>0x2x1>0x1>0x>1.


Câu 38:

Gọi S là tập nghiệm của phương trình 4x3.2x+1+8=0. Tổng tất cả các phần tử của S bằng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có 4x3.2x+1+8=02x26.2x+8=02x=22x=4x=1x=2S=3.

Câu 39:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa chữ số 1 và chữ số 3?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi số có dạng a1a2a3a4a5a6a7¯

TH1: a1=0

Có 4 cách chọn vị trí cho bộ số {1;2;3}

Hoán vị hai số 1 và 3 là 2!

Chọn ba chữ số khác nhau vào ba vị trí còn lại có A63 cách

4.2!.A63 số

TH2: Sắp xếp bất kì số có 7 chữ số khác nhau bao gồm cả số 0 đứng đầu

Có 5 cách chọn vị trí cho bộ số {1;2;3}

Hoán vị hai số 1 và 3 là 2!

Chọn bốn chữ số khác nhau vào bốn vị trí còn lại có A74 cách

5.2!.A74 số

Vậy 5.2!.A744.2!.A63=7440 số.


Câu 40:

Cho hàm số fx=3x+1ax2a+b   khi   x>2khi   x2. Biết 02fx2+1xdx=5. Tính giá trị của biểu thức T=2ab2+1.
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Hàm số liên tục tại x=23.2+1=2a2a+bb=7

Đặt t=x2+1dt=2xdx

Đổi cận x=0t=1x=2t=5

Suy ra 1215ftdt=515fxdx=1012ax2a+7dx+253x+1dx=10

ax222ax+7x21=49212a+7=492a=63

Vậy T=2.6372+1=78.


Câu 41:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên   f(0) = 0. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ bên dưới.

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và f(0) = 0. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ bên dưới. (ảnh 1)

Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số y=2fsinx3cos2xa+9 đồng biến trên khoảng 0;π2?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: y=2fsinx312sin2xa+9=2fsinx+6sin2x+6a

Đặt t=sinx,  t0;1.

Khi đó, ta có: y=2ft+6t2+6a=2ft+6t2+6a2

Ta có: y'=2ft+6t2+6a2f't+12t2ft+6t2+6a2.

Để hàm số đồng biến trên (0;1) thì

y'>0,t0;12ft+6t2+6a2f't+12t>0,t0;1.(1)

Dựa vào đồ thị f'(t) ta thấy 2f't+12t>0,t0;1.

Do đó, 12ft+6t2+6a>0,t0;1

a<2ft+6t2+6,t0;1amin0;12ft+6t2+6.

Xét hàm số gt=2ft+6t2+6 trên [0;1].

Ta có: g't=2f't+12t>0,t0;1 suy ra hàm số g(t) đồng biến trên (0;1)

Do đó, min0;1gt=g0=2f0+6.02+6=6.

Vậy a6. Mà a* suy ra a1,2,3,4,5,6.


Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AB song song với CD, CD = 7 AB.  Gọi M trên cạnh SA sao cho SMSA=k, 0<k<1. Tìm giá trị của k  để (CDM) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AB song song với CD, CD = 7 AB.  Gọi M trên cạnh SA sao cho SM/SA = k (ảnh 1)

Ta có: CMDSAB=Δqua  M// CD

Gọi N=ΔSBN=CDMSB. Khi đó, ta có: SMSA=SNSB=k

Đồng thời (CDM) chia khối chóp thành hai phần: S.CMND và ABCDMN.

Ta có: VS.CDMN=VS.DMC+VS.MNC.

Lại có: VS.DMCVS.DAC=SMSA=kVS.MNCVS.ABC=SMSA.SNSB=k2

Suy ra VS.CDMN=VS.DMC+VS.MNC=kVS.DAC+k2VS.ABC.

CD=7ABSACD=7.SABCVS.ACD=7VS.ABC.

Do đó, ta có:

VS.CDMN=7kVS.ABC+k2VS.ABC=k2+7kVS.ABC=18k2+7kVS.ABCD.

Lại có VS.CDMN=12VS.ABCD (do (CDM) chia thành hai phần có thể tích bằng nhau)

Suy ra 18k2+7kVS.ABCD=12VS.ABCDk2+7k=4k=7+652.


Câu 43:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiệnz+12i1+i42. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = z - iz trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) là hình phẳng (H) có diện tích bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: z+12i1+i42z+12i4

Ta có 

w=z1iw1i=zw1i+12i=z+12iw13i1i=z+12i

w13i=1i.z+12i42.

Do đó tập hợp các số phức w là hình tròn tâm I (1;3) với bán kính R=42.

Vậy diện tích hình phẳng (H) là: S=πR2=32π.


Câu 44:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu S:x+12+y+12+z+12=9 và điểm A (2;3;-1). Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S) có tâm I (-1;-1;-1), R = 3.

Gọi M(x;y;z)S(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=9  (1)

Do AM tiếp xúc với (S) nên AM2=IA2R2=259=16

(x2)2+(y3)2+(z+1)2=16  (2)

Từ phương trình (1), (2) ta được: 3x+4y2=0

luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là: 3x+4y2=0.


Câu 45:

Cửa hàng A có đặt trước sảnh một cái nón lớn với chiều cao 1,35m và sơn cách điệu hoa văn trang trí một phần mặt ngoài của hình nón ứng với cung nhỏ AB như hình vẽ. Biết AB=1,45 m,​​ ACB^=150° và giá tiền trang trí là 2.000.000 đồng mỗi mét vuông. Hỏi số tiền mà cửa hàng A cần dùng để trang trí là bao nhiêu?

Cửa hàng A có đặt trước sảnh một cái nón lớn với chiều cao 1,35m và sơn cách điệu hoa văn trang trí một phần mặt ngoài của hình nón ứng  (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cửa hàng A có đặt trước sảnh một cái nón lớn với chiều cao 1,35m và sơn cách điệu hoa văn trang trí một phần mặt ngoài của hình nón ứng  (ảnh 2)

Dựng đường kính AM, I là hình chiếu vuông góc của O lên AB.

Suy ra I là trung điểm của AB.

Do ACB^=150°Số đo cung lớnsđAB=300°

Ta có sđAB=sđAM+sđMBsđMB=120°OAI^=60°.

Xét ΔOAIR=OA=AIcosOAI^=0,725cos60°=1,45  m.

Xét ΔSOA vuông tại O, có SA=SO2+OA21,981  m.

Diện tích xung quanh của khối nón:

Sxq=π.SA.OA=π.1,981.1,45=9,024 m.

Diện tích phần trang trí: S=16.Sxq=1,504​​  m2.

Số tiền cửa hàng cần phải trả: 1,504.2000000=3.008.000 đồng.


Câu 46:

Có tất cả bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn:

log2023x2+2log2023x+147293x10?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: x+14>0x>14

Xét phương trình:

log2023x2+2log2023x+14=0log2023x2+2=log2023x+14x2+2=x+14x2x12=0x=4x=3
7293x1=03x1=36x1=6x=7

Lập trục xét dấu vế trái của bất phương trình:

Có tất cả bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn:  (log2023(x^2 + 2) - log2023(x + 14))(729 - 3^(x-1)>= 0? (ảnh 1)

Nghiệm của bất phương trình: x(14;3][4;7]

Do x nên x13;...;3;4;...;7. Có 15 giá trị nguyên thỏa mãn.


Câu 47:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (0;2;2), B (2;-2;0). Gọi I11;1;1 I23;1;1 là tâm của hai đường tròn nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây cung AB. Biết rằng luôn có một mặt cầu (S) đi qua cả hai đường tròn ấy. Tính bán kính R của (S).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (0;2;2), B (2;-2;0). Gọi I1 (1;1;-1) và I2 (3;1;1) là tâm của hai đường tròn  (ảnh 1)

Gọi d1 là đường thẳng đi qua I1 và vuông góc với mặt phẳng I1AB, khi đó d1 chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm I1.

d2 là đường thẳng đi qua I2 và vuông góc với mặt phẳng I2AB, khi đó d2 chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm I2.

Do đó, mặt cầu (S) đi qua cả hai đường tròn tâm I1 I2 có tâm I là giao điểm của d1, d2 và bán kính R = IA.

Ta có I1A=1;1;3;I1B=1;3;1. Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là :

I1A;I1B=10;4;2=25;2;1.

Phương trình đường thẳng d1 d1:x=1+5ty=1+2tz=1+t.

Ta có I2A=3;1;1,I2B=1;3;1. Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là :

I2A;I2B=2;4;10=21;2;5.

Phương trình đường thẳng d2 d2:x=3+sy=12sz=1+5s.

Xét hệ phương trình 1+5t=3+s1+2t=12s1+t=1+5st=13s=13. Suy ra I83;53;23.

Bán kính mặt cầu (S) R=IA=832+2532+2+232=1293.


Câu 48:

Cho hàm số fx=x2+a+xx2+1+ax. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a20;20 sao cho đồ thị hàm số y=fx có cùng một điểm cực trị Ax0;y0 y0<5?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

fx=x2+a+xx2+1+ax=a+xx+x2+1.

Đặt gx=x+x2+1>0  x.

f'x=gx+a+xgxx2+1.

f'x=0a=x+x2+1. (1)

Yêu cầu bài toán f'x=0 có nghiệm duy nhất a<0.

Cho hàm số f(x) = x^2 + (a + x)căn(x^2 +1) + ax . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc (-20;20) sao cho đồ thị  (ảnh 1)

y0<5fx0<5 

a+x0x0+x02+1<5

x02+1x0+x02+1>5

x02+1x02+1x0>5

x02+1>5x02+1x0

5x0>4x02+1x0>025x02>16x02+16x0>43. (2)

Từ (1) và (2), ta có a>43+432+1=3a<3.

a20;20 a nên a19;18;...;4. Vậy có 16 giá trị a thỏa mãn.


Câu 49:

Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi mS có đúng một số phức zm=4 zz6 là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S.
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điều kiện z6

Giả sử z=x+yix,y

Ta có zm=4xm+yi=4xm2+y2=16C.

Lại có

zz6=1+6z6=1+6x6+yi=1+6x6yix62+y2=1+6x6x62+y26yx62+y2i.

Khi đó zz6 là số thuần ảo khi 1+6x6x62+y2=0

x62+y2+6x6=0x32+y2=9 (C').

Như vậy (C) có tâm I (m;0), bán kính R = 4 và (C') có tâm I' (3;0), bán kính R' = 3.

Do đó II'=3m;0II'=m3.

Yêu cầu bài toán C và (C') tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài

II'=RR'=1II'=R+R'=7m3=1m3=7m=4m=2m=10m=4S=12.


Câu 50:

Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn bất phương trình

x+2y.log2x2+y2log2x+2y2y+x<6x+y125y?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x2+y2>0x+2y>0.

Ta có:

       x+2y.log2x2+y2log2x+2y2y+x<6x+y125y

x+2y.log2x2+y2x+2y+x+2y.x2y<6x+y125y

x+2y.log2x2+y2x+2y+x24y26x12y+5y2<0

x+2y.log2x2+y2x+2y+x2+y26x+2y<0

log2x2+y2x+2y+x2+y2x+2y6<0

Đặt t=x2+y2x+2y>0. Khi đó bất phương trình trở thành: log2t+t6<0 với mọi t>0.

Xét hàm ft=log2t+t6,  với t>0.

Ta có: f't=1tln2+1>0,  t>0 nên hàm ft đồng biến trên khoảng 0;+.

Mặt khác ta có: f4=log24+46=0 nên bất phương trình tương đương:

ft<f4t<4x2+y2x+2y<4x2+y24x8y<0x22+y42<20

Suy ra: x22<20220<x<2+20.

x nguyên nên x2;1;0;1;2;3;4;5;6.

Lần lượt thay x vào hệ điều kiện x2+y2>0x+2y>0x22+y42<20 để tìm y và kết hợp lại ta thu được 61 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 51:

Hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn f(0) = 22x+1.f'x3x2=8xx2+1+23fx. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=fx, y=f'x.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: 2x+1.f'x3x2=8xx2+1+23fx

2x+1.f'x+2fx=8x3+3x2+8x+6

2x+1.fx'=8x3+3x2+8x+6

2x+1.fx=8x3+3x2+8x+6dx=2x4+x3+4x2+6x+C

f(0) = 2 nên suy ra C = 2. Khi đó:

2x+1.fx=2x4+x3+4x2+6x+2=2x+1x3+2x+2fx=x3+2x+2

Suy ra: f'x=3x2+2

Phương trình hoành độ giao điểm hai đường cong y = f(x), y = f'(x) là:

x3+2x+2=3x2+2x33x2+2x=0x=0x=1x=2.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = f'(x) bằng:

S=02x3+2x+23x2+2dx=12.


Bắt đầu thi ngay