51 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 8)

Câu 1:

Với mọi $n \in N *; k \in N; n ⩾ k$ . Chọn kết luận đúng.

A. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

B. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n + k)!}$

C. $A_{n}^{1} = 1$

D. $C_{n}^{0} = 0$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ ; $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ ; $A_{n}^{1} = n$ ; $C_{n}^{0} = 1$ . Vậy đáp án A đúng.

Câu 2:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ dưới.

Cho hàm số ax^3 + bx^2 + cx + d (a,b,c thuộc R; a khác 0) có đồ thị như hình vẽ dưới. (ảnh 1)

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2

B. 0

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Từ đồ thị đã cho, ta thấy hàm số có 2 cực trị.

Câu 3:

Khối đa diện đều loại {3; 5} có số đỉnh, số cạnh và số mặt lần lượt bằng

A. 20; 30; 12

B. 30; 12; 20

C. 12; 30; 20

D. 20; 12; 30

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Khối đa diện đều loại {3; 5} là khối hai mươi mặt đều nên có 12 đỉnh, 30 cạnh và 20 mặt.

Câu 4:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ trên đoạn $[- 2; 2]$ là

A. 3

B. -2

C. -1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $y = x^{3} - 3 x + 1 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} - 3$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

$y (- 2) = - 1, y (- 1) = 3, y (1) = - 1, y (2) = 3$

$\Rightarrow \max_{[- 2; 2]} y = 3$ .

Câu 5:

Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là $1 + 2 i$ ?

A. $z^{2} - 2 z + 5 = 0$

B. $z^{2} + 2 z + 3 = 0$

C. $z^{2} - 2 z + 3 = 0$

D. $z^{2} + 2 z + 5 = 0$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Thử lần lượt từng phương trình ta thấy phương trình ở đáp án A thỏa mãn.

Câu 6:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $|z| = |\bar{z}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

.B. $z \cdot \bar{z}$ là một số thực

C.

z \cdot \bar{z}

là một số thực dương.

D.

z \cdot \bar{z}

là một số phức.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $z \cdot \bar{z} = a^{2} + b^{2} \geq 0, \forall a, b \in ℝ$ . Do đó, $z \cdot \bar{z}$ là một số thực dương. Vậy đáp án D sai.

Câu 7:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x + 1) < \log_{\frac{1}{2}} (2 x - 1)$ chứa bao nhiêu số nguyên?

A. 0.

B. 2.

C. Vô số.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\log_{\frac{1}{2}} (x + 1) < \log_{\frac{1}{2}} (2 x - 1) \Leftrightarrow x + 1 > 2 x - 1$ $> 0 \Leftrightarrow x \in (\frac{1}{2}; 2) .$

Mà x nguyên nên x = 1.

Câu 8:

Tìm nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = \sin 2 x$ , biết $F (\frac{π}{6}) = 0$ .

A. $F (x) = \sin^{2} x - \frac{1}{4}$

B. $F (x) = {cos}^{2} x - \frac{1}{4}$

C. $F (x) = - \frac{1}{2} cos2 x + \frac{π}{6}$

D. $F (x) = - \frac{1}{2} cos2 x$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$F (x) = \int f (x) d x = \int \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} cos 2 x + C = - \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} x) + C = \sin^{2} x - \frac{1}{2} + C$ .

Suy ra: $F (\frac{π}{6}) = 0 \Leftrightarrow C - \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow C = \frac{1}{4}$ .

Vậy $F (x) = \sin^{2} (x) - \frac{1}{4}$ .

Câu 9:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{1\}$ , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R/{1} , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như hình vẽ: (ảnh 1)

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

A. 0

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = - 1; \lim_{x \to - \infty} y = 2$ nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = -1; y = 2.

Ta có $\lim_{x \to - 1} y = - \infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1.

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là .

Câu 10:

Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

A. $\frac{27 \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{27 \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Lăng trụ tam giác đều nên đáy là tam giác đều và cạnh bên vuông góc đáy nên $V = S \cdot h = (\frac{3^{2} \sqrt{3}}{4}) \cdot 3 = \frac{27 \sqrt{3}}{4}$

.

Câu 11:

Gọi $l, h, R$ lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A. $l^{2} = h R$

B. $R^{2} = h^{2} + l^{2}$

C. $\frac{1}{l^{2}} = \frac{1}{h^{2}} + \frac{1}{R^{2}}$

D. $l^{2} = h^{2} + R^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác vuông , theo định lí Pythagore: $S A^{2} = S O^{2} + O A^{2} \Leftrightarrow l^{2} = h^{2} + R^{2}$ .

Câu 12:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2}$ là

A. $2 x + C .$

B. $x^{3} + C .$

C. $x + C .$

D. $\frac{x^{3}}{3} + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C$ .

Câu 13:

Cho mặt cầu có R là bán kính, S là diện tích mặt cầu và V là thể tích của khối cầu đó. Công thức nào sau đây sai?

A. $S = 4 π R^{2}$

B. $V = \frac{4}{3} π R^{3}$

C. $3 V = S \cdot R$

D. $S = π R^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có thể tích khối cầu với bán kính R là $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Diện tích khối cầu với bán kính R là $S = 4 π R^{2}$ .

Suy ra $\frac{V}{S} = \frac{R}{3} \Leftrightarrow 3 V = S \cdot R$ .

Câu 14:

Tập nghiệm của phương trình ${(\frac{1}{7})}^{x^{2} - 2 x - 3} = 7^{x + 1}$ là

A. $S = \{- 1; 2\}$

B. $S = \{- 1; 4\}$

C. $S = \{- 1\}$

D. $S = \{2\}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có:

${(\frac{1}{7})}^{x^{2} - 2 x - 3} = 7^{x + 1}$ $\Leftrightarrow 7^{- x^{2} + 2 x + 3} = 7^{x + 1} \Leftrightarrow - x^{2} + x + 2 = 0 \Leftrightarrow$

Tập nghiệm của phương trình là S = {-1;2}

Câu 15:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 2}{x - 2}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$

C. Hàm số nghịch biến trên $ℝ \ \{2\}$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có , do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 2$ ) và $(2; + \infty)$ .

Câu 16:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. (ảnh 1)

Hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f(x) đổi dấu 4 lần qua các giá trị của x, mà hàm số liên tục trên R nên có 4 cực trị.

Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0

và điểm

I (1; 2; - 3)

. Mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc (P) có phương trình:

A. $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 2$

B. $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4$

C. $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 16$

D. $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 4$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Bán kính mặt cầu (S) là khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P)

.

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và bán kính R = 2 là

$(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 4$ .

Câu 18:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ biết $u_{6} = 2$ và $u_{8} = 8$ . Công bội q của cấp số nhân đã cho bằng

A. $\sqrt{2}$

B. $\pm \frac{1}{2}$

C. 4

D. $\pm 2$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có .

Câu 19:

Trong không gian $O x y z$ , gọi đường thẳng $Δ$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(α) : x - 3 y + z = 0$ ; $(β) : x + y - z + 4 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ ?

A. $\vec{u_{1}} = (4; 2; 2)$

B. $\vec{u_{2}} = (2; 2; 4)$

C. $\vec{u_{4}} = (2; 2; 2)$

D. $\vec{u_{3}} = (2; 4; 2)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ là $\vec{n_{α}} = (1; - 3; 1)$ .

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(β)$ là $\vec{n_{β}} = (1; 1; - 1)$ .

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ là $\vec{u_{Δ}} = [\vec{n_{α}}, \vec{n_{β}}] = (2; 2; 4)$ .

Câu 20:

Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là

A. $B h$

B. $\frac{1}{3} B h$

C. $\frac{4}{3} B h$

D. $3 B h$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V = $\frac{1}{3} B h$ .

Câu 21:

Trong không gian $O x y z$ . Cho mặt phẳng $(P) : x + 3 y - 2 z + 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua $A (1; 1; 5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:

A. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + 4 t \\ z = 5 - 2 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 - 3 t \\ z = 5 + 2 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 5 - 2 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 5 - 2 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Từ $(P) : x + 3 y - 2 z + 1 = 0 \Rightarrow$ vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 3; - 2)$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua A(1;1;5) và vuông góc với mặt phẳng (P). Vậy $d : \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 - 3 t \\ z = 5 + 2 t \end{cases}$ .

Câu 22:

Cho hàm bậc bốn y = f(x) có đồ thị trong hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình $f (x) = \frac{3}{4}$ là:

Cho hàm bậc bốn y = f(x) có đồ thị trong hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình f(x) = 3/4 là: (ảnh 1)

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có đồ thị như sau:

Đồ thị hàm số y = f(x) có hai điểm chung với đường thẳng $y = \frac{3}{4}$ nên phương trình có hai nghiệm.

Câu 23:

Một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Lẫy ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp đó. Tính xác suất thẻ lấy được ghi số lẻ và chia hết cho 3

A. 0,3

B. 0,25

C. 0,15

C. 0,45

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: .

Gọi A là biến cố lấy được thẻ ghi số lẻ và chia hết cho 3.

$A = \{3; 9; 15\} \Rightarrow n (A) = 3$ .

Vậy .

Câu 24:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Từ BBT ta thấy mệnh đề hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$

Câu 25:

Cho ba hàm số

y = \log_{a} x; y = \log_{b} x; y = \log_{c} x

với

a, b, c

là ba số thực dương, khác 1 có đồ thị như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây sai?

A. $0 < a < 1 < c$

B. $0 < a < 1 < b .$

C. $1 < c < b$

D. $b > 1.$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Kẻ đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số và $y = \log_{c} (x)$ tại B(b;1) và C (c;1).

Từ đồ thị suy ra b < c.

Câu 26:

Đường cong trong hình vẽ dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$

B. $y = \frac{x - 1}{x + 1}$

C. $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$

D. $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị ta thấy hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 1, do đó chọn đáp án D.

Câu 27:

Đường cong trong hình vẽ dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$

B. $y = \frac{x - 1}{x + 1}$

C. $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$

D. $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị ta thấy hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 1, do đó chọn đáp án D.

Câu 28:

Đường cong trong hình vẽ dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$

B. $y = \frac{x - 1}{x + 1}$

C. $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$

D. $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị ta thấy hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 1, do đó chọn đáp án D.

Câu 29:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên R và $\int_{0}^{6} f (x) d x = 12$ . Tính $\int_{0}^{2} f (3 x) d x$ .

A. $\int_{0}^{2} f (3 x) d x = 6$

B. $\int_{0}^{2} f (3 x) d x = 4$

C. $\int_{0}^{2} f (3 x) d x = - 4$

D. $\int_{0}^{2} f (3 x) d x = 36$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đặt t = 3x => dt = 3dx.

.

Câu 30:

Biết $\int_{2}^{3} f (x) d x = 5$ . Khi đó $\int_{2}^{3} [3 - 5 f (x)] d x$ bằng:

A. -15

B. -26

C. -22

D. -28

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có . $\int_{2}^{3} [3 - 5 f (x)] d x = \int_{2}^{3} 3 d x - \int_{2}^{3} 5 f (x) d x = 3 - 25 = - 2 2$

Câu 31:

Tập xác định của hàm số $y = {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}$ là:

A. $(0; + \infty)$

B. $ℝ$

C. $[1; + \infty)$

D. $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}$ xác định khi $x - 1 > 0$ , tức là x > 1.

Vậy tập xác định của hàm số $y = {(x - 1)}^{\frac{1}{5}}$ là $(1; + \infty)$ .

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A (1;2;3) trên mặt phẳng (Oyz) là:

A. $N (1; 0; 3) .$

B. $P (1; 0; 0) .$

C. $Q (0; 2; 0) .$

D. $M (0; 2; 3) .$

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A (1;2;3) trên mặt phẳng (Oyz) là M (0;2;3)

Câu 33:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho hai vectơ $\vec{u} = (2; 3; - 1)$ và $\vec{v} = (5; - 4; m)$ . Tìm m để $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ .

A. $m = - 2.$

B. $m = 2.$

C. $m = 0.$

D. $m = 4.$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot 5 - 3 \cdot 4 - m = 0 \Leftrightarrow m = - 2.$

Câu 34:

Mặt phẳng $(P) : \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{- 2} = 1$ có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\vec{n} = (2; 3; 2)$

B. $\vec{n} = (3; 2; - 3)$

C. $\vec{n} = (3; 2; 3)$

D. $\vec{n} = (2; 3; - 2)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có:

Do đó, một vectơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n} = (3; 2; - 3)$ .

Câu 35:

Số phức liên hợp của $z = 1 - 2 i$ là

A. $\bar{z} = - 1 - 2 i .$

B. $\bar{z} = - 1 + 2 i .$

C. $\bar{z} = 2 - i .$

D. $\bar{z} = 1 + 2 i .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Số phức liên hợp của $z = 1 - 2 i$ là $\bar{z} = 1 + 2 i .$

Câu 36:

Số phức $z = a + b i$ , $(a, b \in ℝ)$ có điểm biểu diễn như hình vẽ bên. Tìm a,b .

Số phức z= a +bi, (a,b thuộc R) có điểm biểu diễn như hình vẽ bên. Tìm a,b . (ảnh 1)

A. $a = - 4; b = - 3.$

B. $a = 3; b = - 4.$

C. $a = - 4; b = 3.$

D. $a = 3; b = 4.$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có:

Câu 37:

Cho đồ thị của hàm số $(C) : y = f (x)$ như hình vẽ. Biết (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là $x = - 1; x = 1; x = 2$ và diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C); O x; x = - 1; x = 1$ bằng $S_{1} = 15$ và hai diện tích hình phẳng giới bởi $(C); O x; x = 1; x = 2$ bằng $S_{2} = 3$ .

Cho đồ thị của hàm số (C): y = f(x) như hình vẽ. Biết (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là x = -1; x = 1; x = 2 và diện tích hình phẳng (ảnh 1)

Giá trị của $\int_{- 1}^{2} f (x) d x$ bằng:

A. 20

B. -10

C. 18

D. 12

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Từ giả thiết và hình vẽ, ta có:

Suy ra .

Câu 38:

Cho hàm số $y = m x^{4} + (m - 1) x^{2} + 1 - m$ . Tìm tất cả các giá trị của m tham số để hàm số chỉ có một điểm cực trị.

A. $0 \leq m \leq 1$

B. $[_{m > 1}^{m < 0}$

C. 0< m < 1

D. $[_{m \leq 0}^{m \geq 1}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Hàm số chỉ có 1 điểm cực trị $\Leftrightarrow a b \geq 0$ (a,b không đồng thời bằng 0)

.

Câu 39:

Cho phương trình ${\log_{3}}^{2} (3 x) + \log_{3} (x) + m - 1$ (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0;1)?

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Câu 40:

Trong không gian, cho vật thể (T) được giới hạn bởi hai mặt phẳng x = -1 và x = 1. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành x, $(x \in [- 1; 1])$ là một hình vuông có cạnh bằng $2 \sqrt{1 - x^{2}}$ . Thể tích của vật thể (T) bằng:

A. $\frac{16 π}{3}$

B. $π$

C. $\frac{16}{3}$

D. $\frac{8}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có diện tích của thiết diện là:

Thể tích của vật thể (T) bằng: $\int_{- 1}^{1} (4 - 4 x^{2}) d x = \frac{16}{3} (đvtt)$

Câu 41:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA bằng 2a. Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SC bằng:

A. $\frac{2 a \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{a}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{5}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cách 1:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A trùng với O; và giả sử a =1 vẫn không làm mất tính tổng quát của bài toán.

Khi đó, .

$\vec{M N} = (1; 2; - 1); \vec{S C} = (2; 2; - 2); \vec{M S} = (0; 0; 1)$

$d (M N, S C) = \frac{[[\vec{M N}, \vec{S C}] . \vec{M S}]}{|[\vec{M N}, \vec{S C}]|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Cách 2:

Kẻ PN//SC; NQ//MP

Kẻ $A K ⊥ M Q$ ; dễ thấy $A K ⊥ (M N P Q)$

$d (M N, S C) = d (S C, (M N P)) = d (S, (M N P)) = d (A, (M N P)) = d (A, (M P N Q)) = A K$

$A K = \frac{A M \cdot A Q}{M Q} = \frac{a \cdot a}{a \sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Cách 3: (PB bổ sung) Gọi Kẻ E là trung điểm SB, dễ thấy MN//EC

$d (M N, S C) = d (M N, (S C B)) = \frac{1}{2} d (A, (S B C)) = \frac{1}{2} A E = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Câu 42:

Cho số phức z thỏa mãn $(2 - i) z - (2 + i) \bar{z} = 2 i$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z|$ bằng:

A. 1.

B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

D. 2

Xem đáp án

Câu 43:

Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8,4%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo (lãi kép). Hỏi sau ít nhất n năm $(n \in ℕ^{*})$ thì người đó có được số tiền nhiều hơn 200 triệu đồng.

A. n = 8

B. n = 9

C. n = 10

D. n = 7

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có .

Câu 44:

Cho hình trụ có tâm hai đường tròn đáy lần lượt là O và O’, bán kính đáy hình trụ bằng a. Trên đường tròn đáy (O) và (O’) lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho AB tạo với trục của hình trụ một góc $30 °$ và có khoảng cách đến trục của hình trụ bằng $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Tính thể tích khối chop O.O’AB.

A. $\frac{2 π a^{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3}}{4}$

C. $\frac{3 a^{3}}{4}$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Kẻ đường sinh AC của hình trụ

$\Rightarrow A C // O O' \Rightarrow (A B, O O') = (A B, A C) = \hat{B A C} = 30 °$ .

$O O^{'} // A C \subset (A B C) \Rightarrow O O^{'} // (A B C) \Rightarrow d (O O^{'}, A B) = d (O O^{'}, (A B C)) = d (O, (A B C))$

Kẻ .

Câu 45:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in (- 2023; 2023)$ để hàm số $y = |8^{x} - 3 (m + 2) 4^{x} + 3 m (m + 4) 2^{x}|$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ ?

A. 2022

B. 2020

C. 4039

D. 4037

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Câu 46:

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn $0 \leq x \leq 2023$ và $1 \leq y \leq 2023$ và $4^{x + 1} + \log_{2} (y + 3) = 2^{y + 4} + \log_{2} (2 x + 1) .$

A. 2022

B. 1011

C. 4039

D. 4037

Xem đáp án

Câu 47:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn $f (x) + f^{'} (x) = 2 x e^{x}$ , $\forall x \in ℝ$ ; $f (\frac{1}{2}) = 0$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2 f (x)$ ; $y = f^{'} (x)$ và trục tung bằng

A. $\frac{2 e \sqrt{e} - 5}{2}$

B. $3 - e$

C. $3 - e^{2}$

D. $\frac{e \sqrt{e} - 5}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $f (x) + f^{'} (x) = 2 x e^{x} \Leftrightarrow e^{x} f (x) + e^{x} f^{'} (x) = 2 x e^{2 x} \Leftrightarrow {[e^{x} f (x)]}^{'} = 2 x e^{2 x}$

nên

Mặt khác $f (\frac{1}{2}) = 0$ suy ra .

Do đó .

Phương trình hoành độ giao điểm của và là

.

Câu 48:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$ và điểm $M (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ . Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích lớn nhất của tam giác OAB.

A. $2 \sqrt{2}$

B. $2 \sqrt{7}$

C. 4

D. $\sqrt{7}$

Xem đáp án

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại đỉnh A và D. Biết độ dài AB = 4a, AD = 3a, CS = 5a và tam giác SBC đều và góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng $60 ° .$ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

A. $\frac{27 \sqrt{10} a^{3}}{4}$

B. $\frac{27 a^{3}}{4}$

C. $\frac{27 \sqrt{10} a^{3}}{8}$

D. $\frac{27 a^{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi M là trung điểm của $B C \Rightarrow S M ⊥ B C (1)$ (Do tam giacSBC đều).

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại đỉnh A và D. Biết độ dài AB = 4a, AD = 3a, CS = 5a và tam giác SBC đều (ảnh 2)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại đỉnh A và D. Biết độ dài AB = 4a, AD = 3a, CS = 5a và tam giác SBC đều (ảnh 3)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại đỉnh A và D. Biết độ dài AB = 4a, AD = 3a, CS = 5a và tam giác SBC đều (ảnh 4)

$V_{B . S M D} = \frac{1}{3} B M \cdot d (Δ S M D) = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{10}}{2} \cdot \frac{45 a^{2}}{8} = \frac{15}{16} a^{3} \sqrt{10} \Rightarrow V = \frac{18}{5} \cdot \frac{15}{16} a^{3} \sqrt{10} = \frac{27 a^{3} \sqrt{10}}{8} .$

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho hai đường thẳng $Δ : \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{2}$ và $Δ^{'} : \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 2}{2}$ . Mặt phẳng $(P) : 2 x + m y + n z + p = 0$ (m; n; p $\in ℝ$ ) chứa đường thẳng $Δ$ tạo với đường thẳng $Δ'$ một góc lớn nhất. Khi đó tích của m; n; p bằng:

A. 60

B. -30

C. -20

D. 30

Xem đáp án

Câu 51:

Trên tập hợp số phức, xét phương trình bậc hai $z^{2} - 2 (2 m - 3) z + m^{2} = 0 = 0$ (với m là số thực). Tính tổng tất cả các giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $2 (z_{1} |z_{2}| + z_{2} |z_{1}|) = |z_{1} z_{2}| .$

A. $\frac{12}{7}$

B. $\frac{185}{63}$

C. 0

D. $\frac{11}{9}$

Xem đáp án