Chủ nhật, 03/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Thi thử THPT Quốc gia Toán Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 14)

Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 14)

Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 14)

  • 197 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm M (-4;5) là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điểm M (-4;5) là điểm biểu diễn của số phức z = -4 + 5i


Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCcó đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a3 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Thể tích của khối chóp S.ABC  V=13SABCSA=132a234a3=a3 .


Câu 3:

Cho hàm số y=x+2x1 . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định của hàm số y=x+2x1  là x10x1.

Khi đó tập xác định của hàm số đã cho là D=\1 .

Ta có: y'=3x12<0,  x1.

Vậy hàm số nghịch biến trên ;11;+.


Câu 4:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – z + 3 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P):2xz+3=0  có một vectơ pháp tuyến là n=2;0;1.


Câu 5:

Tập nghiệm của bất phương trình 52x+3>125  là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: 52x+3>12552x+3>522x+3>2x>52 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 52x+3>125  là 52;+.


Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCSA vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều cạnh bằng a,  SA=a3 . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều cạnh bằng a, SA = a căn 3 (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

SAABC  nên SC,ABC=SC,SA=SCA^  SASC .

Xét ΔSAC  vuông tại A có: .tanSCA^=SAAC=a3a=3

Suy ra SC,ABC=SCA^=60° .


Câu 7:

Cho logab=3, logac=4 . Khi đó P=logaa3cb2  bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có P=logaa3cb2=logaa3clogab2=logaa3+logaclogab2

          =3+12logac2logab=3+12423=5 .


Câu 8:

Cho cấp số cộng un , biết u5u1=20 . Tìm công sai d  của cấp số cộng.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: u5u1=20u1+4du1=204d=20d=5 .

Vậy công sai d  của cấp số cộng đã cho là 5.


Câu 9:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng OxyOxz bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng Oxy và Oxz lần lượt là k=0;0;1  j=0;1;0 .

kj  nên góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oxz bằng 90° .


Câu 10:

Biết fxdx=5xln5+3x+C . Khi đó f(x)  bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có fxdx=5xln5+3x+Cfx=5xln5+3x+C'=5x+3 .


Câu 11:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x12=y+31=z3 . Phương trình tham số của đường thẳng d

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Từ phương trình đường thẳng d:x12=y+31=z3 , ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng d  ud=2;1;3 .

Chọn điểm A1;3;0d .

Phương trình tham số của đường thẳng d  là x=1+2ty=3tz=3t


Câu 12:

Nếu 13fx dx=5  35fx dx=1  thì 15fx dx  bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: 15fx dx=13fx dx+35fx dx=5+1=4.


Câu 13:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z22x+4y6z2=0 . Đường kính mặt cầu (S)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S): x2+y2+z22x+4y6z2=0  có tâm I (1;-2;3), bán kính là

R=12+22+322=4.

Vậy đường kính của mặt cầu (S) là 2R = 8.


Câu 14:

Hàm số y=x+2022x+2023  cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Vì hàm số y=x+2022x+2023  cắt trục hoành (y = 0) nên xét phương trình hoành độ giao điểm như sau: x+2022x+2023=0x=2022.

Vậy hàm số y=x+2022x+2023  cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là (-2022;0).


Câu 15:

Tập nghiệm của bất phương trình log13x3<2  

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: log13x3<2x3>9x>3x>12x>3x>12.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=12;+


Câu 16:

Tìm số phức liên hợp của số phức z=i3i+1 .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có z=i3i+1=3+iz¯=3i .


Câu 17:

Môđun của số phức z=3+4i bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: z=3+4i=32+42=5 .

Vậy môđun của số phức z = 3 +4i bằng 5.


Câu 18:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'x=2x+1x+223x14,x . Số điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét f'x=02x+1x+223x14=0x=12x=2x=13 .

Nhận thấy phương trình f'(x)  chỉ có 1 nghiệm bội lẻ là x=12 .

Do đó hàm số f(x)  chỉ có 1 điểm cực trị tại x=12 .


Câu 19:

Cho tập hợp A có 10 phần tử, số tập con gồm 2 phần tử của A
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Số tập con gồm 2 phần tử của A C102 .


Câu 20:

Cho hàm số y=fx=ax3+bx2+cx+d  có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Cho hàm số y = f(x) = ã^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ dưới đây.   Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào? (ảnh 1)

Hàm số y = f(x)  đồng biến trên khoảng nào?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0;1).


Câu 21:

Tập xác định của hàm số y=π+1x  

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

π+1  là một hằng số nên tập xác định của hàm số đã cho là D= .


Câu 22:

Đường thẳng nào dưới đây là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=x32x+1 ?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: limx±y=limx±x32x+1=12  nên đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận ngang là y=12 .


Câu 23:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau   Điểm cực tiểu của của hàm số đã cho là (ảnh 1)

Điểm cực tiểu của của hàm số đã cho là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Từ bảng biến thiên ta suy ra điểm cực tiểu của của hàm số đã cho là x = 3.


Câu 24:

Trên khoảng 0;+ , đạo hàm của hàm số y=log2023x  

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: y'=log2023x'=1xln2023 .


Câu 25:

Nếu 06fxdx=3  thì 06x+fxdx  bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: 06x+fx dx=06x dx+06fx dx=x2206+3=18+3=21 .

Câu 26:

Cho hình nón có bán kính đáy r = 3 và độ dài đường sinh l = 6. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: Sxq=πrl=π.3.6=18π .


Câu 27:

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?   (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang là y = 2.

· Phương án A sai: Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng vì y=2x2x1=2x1x1=2 .

· Phương án B sai: Đồ thị hàm số chỉ có tiệm cận đứng x = 1 limx1+2x+1x1=+ ; limx12x+1x1= .

· Phương án C sai: Đồ thị hàm số chỉ có tiệm cận ngang y = 1 limx±x+2x+1=1 .

· Phương án D đúng: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang là y = 2 vì: limx1+2x1x+1= ; limx12x1x+1=+ ; limx±2x1x+1=2 .


Câu 28:

Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5, đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Thể tích khối lăng trụ bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Vì khối lăng trụ đã cho là khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5 nên ta có chiều cao của khối lăng trụ h = 5.

Đáy là hình vuông cạnh bằng 4 nên ta có diện tích đáy S=42=16.

Thể tích khối lăng trụ với S = 16 là diện tích đáy và h = 5 là chiều cao khối lăng trụ là:

V = S.h = 16.5 = 80


Câu 29:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1;-2;0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – 2y + 2z + 1 = 0 là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi d  là đường thẳng cần tìm.

Ta có: dPud=nP=1;2;2 .

Phương trình đường thẳng d  đi qua điểm A (1;-2;0) và có vectơ chỉ phương ud=1;2;2  d:x11=y+22=z2 .

 


Câu 30:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;2;-1). Khi đó, điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (yOz) có tọa độ bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi H  là hình chiếu của điểm M  lên mặt phẳng (yOz)  nên H (0;2;-1).

Gọi M'  là điểm đối xứng với M  qua mặt phẳng (yOz) .

Suy ra H  là trung điểm của MM'  nên 

xM'=2xHxM=203=3yM'=2yHyM=222=2zM'=2zMzM=211=1.

Vậy điểm đối xứng với M  qua mặt phẳng (yOz)  có tọa độ bằng (-3;2;-1).

 


Câu 31:

Cho mặt cầu (S) tâm O , bán kính R = 3. Một mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P) bằng 1. Tính chu vi đường tròn (C).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho mặt cầu (S) tâm O , bán kính R = 3. Một mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ tâm O đến  (ảnh 1)

Gọi r  là bán kính đường tròn (C)  ta có: r=R2d2O,P=22 .

Chu vi đường tròn (C) C=2πr=2π.22=4π2 .

Câu 32:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f’(x) = 4 – 3sin x và f(0) = 5. Tìm hàm số f(x).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: fx=43sinxdx=4x+3cosx+C .

Mặt khác f0=53+C=5C=2 .

Vậy hàm số fx=4x+3cosx+2 .


Câu 33:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |z – (1 – 2i)| = 2 là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi M(x;y)  là điểm biểu diễn của số phức z  trên mặt phẳng tọa độ Oxy .

Ta có: z12i=2  

x+iy12i=2x1+y+2i=2x12+y+22=2.

x12+y+22=4.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z  thỏa mãn điều kiện đề bài là đường tròn x12+y+22=4 .


Câu 34:

Tổng các nghiệm thực của phương trình log2x2+x+1=2+log2x  bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: log2x2+x+1=2+log2xlog2x2+x+1=log24x .

x>0x2+x+1=4xx>0x23x+1=0x1=352x2=3+52x1+x2=3.


Câu 35:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau   Tìm m để phương trình 3f(x) – m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt (ảnh 1)

Tìm m để phương trình 3f(x) – m = 0 3 nghiệm thực phân biệt

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có:  3fxm=0fx=m3(*).

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy phương trình (*) có 3 nghiệm thực phân biệt 2<m3<46<m<12 .


Câu 36:

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1;2;3;4;5;6. Cho ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là một số chia hết cho 5.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Số các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 A63=120nΩ=120 .

Gọi biến cố A: “số được chọn là một số chia hết cho ”.

Giả sử số tự nhiên có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 có dạng abc¯ .

· Chữ số c = 5 có 1 cách chọn;

· Chữ số  b (bc) có 5 cách chọn;

· Chữ số a (ab;  ac) có 4 cách chọn.

Suy ra nA=1.5.4=20 .

Vậy xác suất cần tìm là PA=nAnΩ=20120=16 .


Câu 37:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y=x36x  y=x2  bằng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: x36x=x2x3x26x=0x=3x=0x=2 .

Ta có S=23x3x26xdx=20x3x26xdx+03x3x26xdx

=14x413x362x220+14x413x362x203=25312.

          


Câu 38:

Trên tập hợp số phức, xét phương trình z2mz+m+8=0  (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm z1,z2  phân biệt thỏa mãn z1z12+mz2=m2m8z2 ?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Xét phương trình z2mz+m+8=0  Δ=m24m32 .

· Trường hợp 1: Δ>0m24m32>0m>8m<4 .

Khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.

Ta có z12=mz1m8  suy ra z12+mz2=mz1+z2m8=m2m8 .

z1z12+mz2=m2m8z2 .

Suy ra  m2m8z1=m2m8z2(*).

Nếu z1.z2=0  thì m+8=0m=8  không thỏa mãn.

Nếu z1.z20  thì (*) m2m8>0z1=z2

 m2m8>0z1=z2m2m8>0m=0hệ vô nghiệm.

· Trường hợp 2: Với .

Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt và z1=z2 , ta có  

z1z12+mz2=m2m8z2m2m8z1=m2m8z2

 

m2m80m1+332m1332

Kết hợp điều kiện m  ta được m3;  4;  5;  6;  7 .

VậyT1o| có tất cả là 5 số nguyên cần tìm.


Câu 39:

Có bao nhiêu số nguyên x  thỏa mãn

log3x2+1log3x+31322x10?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

log3x2+1log3x+31322x10log3x2+1log3x+310322x10log3x2+1log3x+310322x10

log3x2+1log3x+312x132log3x2+1log3x+312x132x2+1x+31x+31>02x125x2+1x+312x125x2+10  (luôn  đúng)

x2x300x>31x6x2x300x631<x5x=6

x  nên x30;29;28;...;6;5;6

Vậy có 27  số nguyên x  thỏa mãn đề bài.


Câu 40:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y=mx4+m24x2+2  có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Nếu m = 0 thì y=4x2+2 . Đây là hàm số bậc hai có hệ số a < 0 nên nó có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. Vậy m = 0  thỏa đề.

Nếu m0  ta có:

y'=4mx3+2m24x=2x2mx2+m24

y'=0x=0x2=4m22m

Do đó, để hàm số đã cho có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu thì

m<04m22m0m<04m202m<0

m  nên m2;1;0 .

Kết hợp c 2 trường hợp ta có .

Vậy có 3 giá trị nguyên của m  thỏa mãn đề bài.


Câu 41:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=a2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB SC
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a căn 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC. (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a căn 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC. (ảnh 2)

Gọi O là tâm hình vuông ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

Ta có: AB//CD CDSCD  nên AB//(SCD).

Khi đó dAB,SC=dAB,SCD=dM,SCD.

Trong (SMN) kẻ  MISN, ISN(1).

Lại có:  CDMNCDSOCDSMNCDMI(2).

Từ (1) và (2) ta có MISCDdM,SCD=MI.

Xét tam giác SAC SA=SC=AC=a2  nên ΔSAC  đều.

Do đó SO=a232 .

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD

Suy ra MN = AB = a.

Xét ΔSCD  cân tại C (do SC - SD) có SN là đường trung tuyến.

SNCD.

Áp dụng định lí Pythagore trong ΔSCN  có:

SSMN=12MISN=12SOMNMISN=SOMN

MI=SOMNSN=a62aa72=a427. .

Vậy dAB,CD=a427.


Câu 42:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d1:x13=y+12=z22 , d2:x42=y42=z+31 . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1,d2  
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Hai đường thẳng d1,d2  có vectơ chỉ phương u1=3;2;2;u2=2;2;1 .

Lấy điểm A1+3t;1+2t;22td1  B4+2u;4+2u;3ud2 .

Đường thẳng AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳnkhi

ABu1=0ABu2=012u17t=299u12t=21u=1t=1

Suy ra A4;1;0,  B2;2;2,  AB=2;1;2 .

Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1,d2  

x22=y21=z+22.


Câu 43:

Cho hàm số fx=e2x+1 khi x04x+2 khi x<0 . Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên  thoả mãn F(-2) = 5. Biết rằng F1+3F1=ae2+b  (trong đó a,b là các số hữu tỉ). Khi đó a + b bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có Fx=e2x+1dx=e2x2+x+C1 khi x04x+2dx=2x2+2x+C2 khi x<0 .

Do F2=5222+22+C2=5C2=1 .

Do F(x)  liên tục tại x = 0 nên limx0+Fx=limx0Fx=F0

e202+0+C1=202+20+C212+C1=1C1=12

Do đó Fx=e2x2+x+12     khi   x02x2+2x+1    khi   x<0 .

Suy ra F1+3F1=12e2+92 . Khi đó a=12 ; b=92 .

Vậy a + b = 5.


Câu 44:

Cho hình nón (N) có đỉnh S, chiều cao h = 3. Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác đều. Khoảng cách từ tâm đáy hình nón đến mặt phẳng (P) bằng 6 . Thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón (N) bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho hình nón (N) có đỉnh S, chiều cao h = 3. Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác đều (ảnh 1)

Ta có: SO = 3.

Kẻ OHABAH=HB .

Kẻ OKSH  (1)

Dễ dàng có được SOABSHABABSHOABOK  (2)

Từ (1) và (2) ta có: OKSAB .

dO;P=dO;SAB=OK=6.

Tam giác vuông SOH vuông tại O ta có: 

1OK2=1SO2+1OH2OH=SO2OK2SO2OK2=32623262=32

Tam giác vuông SOH vuông tại O có 

SH=SO2+OH2=32+322=33

Tam giác vuông SAH vuông tại H 

SH=SA2AH2=AB2AB24=AB32AB32=33AB=6

Xét tam giác vuông OAH, ta có:

OA=HA2+OH2=AB22+OH2=32+322=33

Vậy thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón (N) 

V=13πr2h=13πOA2SO=13π273=27π

.


Câu 45:

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức w=z+3i1z+3+i  là số thuần ảo. Xét các số phức z1,  z2S  thỏa mãn z1z2=2 , giá trị lớn nhất của P=z13i2z23i2  bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: z=x+yi  x,y .

w=z+3i1z+3+i=(x1)+(y+3)i(x+3)+(y+1)i=(x1)+(y+3)i(x+3)(y+1)i(x+3)+(y+1)i(x+3)(y+1)i

w=x1x+3+y+3y+1+x+3y+3x1y+1ix+32+y+12

là số thuần ảo (x1)(x+3)+(y+3)(y+1)=0x2+y2+2x+4y=0 .

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của z1,z2  ta có

M,NC:x2+y2+2x+4y=0

(C) có tâm I(-1;-2), bán kính R=5 .

Các số phức z1,z2S  thỏa mãn

z1z2=2xNxM2+yNyM2=2MN=2

Gọi A(0;3) nên ta có IA=0+12+3+22=26 .

Xét P=z13i2z23i2=AM2AN2

=AM2AN2=AI+IM2AI+IN2

=IA2+IM2+2AI.IMIA2IN22AI.IN=2AIIMIN

=2AI.NM=2.IA.MN.cosAI,NM2.IA.MN=2.26.2=226

(Do M,NCIM=IN ).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ AI,NM cùng hướng.

Vậy giá trị lớn nhất của P=z13i2z23i2  bằng 226 .


Câu 46:

Cho hình lăng trụ đứng ABC/A’B’C’ có đáy là tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AA, biết hai mặt phẳng (MBC) (MB’C’) vuông góc với nhau. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho hình lăng trụ đứng ABC/A’B’C’ có đáy là tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AA’ (ảnh 1)

Vì ABC là tam giác vuông cân tại A, a.

AB=AC=a22SΔABC=12a22.a22=14a2

ΔABC  ΔA'B'C'  cân tại A và A' nên ta dễ dàng có được ΔMA'C'=ΔMA'B'=ΔMAC=ΔMAB .

Suy ra MB=MC=MB'=MC' .

Gọi I, I' là trung điểm của BC và B'C'.

Suy raMIBC ; MI'B'C'  và MI = MI'.

Ta có: (MBC)(MB'C')=Mx  với Mx//BC//B'C' .

Trong (MBC) có: MIBCBC//MxMIMx .

Tương tự ta cũng có: MI'Mx .

Ta có: (MBC)(MB'C')=MxMIMx;MIMBCMI'Mx;MI'MB'C' .

Suy ra nên góc giữa hai mặt phẳng (MBC) và (MB'C') bằng IMI'^ .

Mà hai mặt phẳng (MBC) và (MB'C') vuông góc với nhau nên IMI'^=90° .

Ta có ΔIMI'  vuông cân tại  M MI'I^=45°MI'A'^=45° .

MA'I'^=90°A'MI'^=45°  nên ΔMA'I'  vuông cân tại A'.

ABC.A'B'C'  là hình lăng trụ có đáy là tam giấcBC là tam giác vuông cân tại A, BC = a nên AI=A'I'=BC2=a2

M'A=A'I'=a2AA'=2MA'=a

Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là:

 VABC.A'B'C'=AA'.SΔABC=AA'12A'I'B'C'=a12a2a=a34.


Câu 47:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x+11=y+21=z11  và mặt cầu S:x2+y2+z22x4y+6z13=0 . Lấy điểm M(a;b;c) với a<0 thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, Clà tiếp điểm) thỏa mãn AMB^=60°;BMC^=90°;CMA^=120° . Tổng a+b+c bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: (x+1)/1=(y+2)/1 = (z-1)/1 và mặt cầu  (S): x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13 = 0. Lấy điểm M(a;b;c)  (ảnh 1)

Mặt cầu (S)  tâm I1;2;3;R=33.

Đặt MA=MB=MC=a

Xét ΔMAB  MA=MBAMB^=60°ΔMAB  đều nên AB = a.

Xét ΔMBC    MB=MCBMC^=90°ΔMBCvuông cân tại M nên BC=a2 .

Xét ΔMBC  MC=MA=aMAC^=120°  nên áp dụng định lí Côsin ta có CA=a3 .

Từ các kết quả trên ta có ΔABC  vuông tại B (định lí Pythagore đảo).

ΔABC ngoại tiếp đường tròn đường kính AC bán kính R=HA=AC2=a32  (với H là trung điểm của AC).

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔIAM  có:

1HA2=1AM2+1IA243a2=1a2+1332a=3=MA=MB=MC

Áp dụng định lí Pythagore trong ΔIAM  có:

MI2=MA2+IA2=32+332=36.

Md  nên gọi Mt1;t2;t+1 .

MI2=t22+t42+t+42=36

3t24t=0t=0t=43M1;2;1M13;23;73

hoành độ của M âm nên ta chọn M(-1;-2;1).

a+b+c=2.


Câu 48:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x)x.f'(x).lnx=2x2.f2x,x1;+ . Biết f(x)>0,x1;+  f(e)=1e2 . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x.f(x),y=0,x=e,x=e2 .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: f(x)xf'(x)lnx=2x2f2x1xf(x)f'(x)lnx=2xf2x

1xf(x)f'(x)lnxf2x=2xlnxf(x)'=2xlnxf(x)=2xdxlnxf(x)=x2+C

Mặt kháclnef(e)=e2+CC=0f(x)=lnxx2 .

Suy ra y=xf(x)=lnxx,x1;+ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=lnxx,y=0,x=e,x=e2  

S=ee2lnxxdx=ee2lnxxdx=ee2lnxdlnx=12lnx2ee2=32 .


Câu 49:

Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với y20  thỏa mãn:

log2023x+1y+1+x2y2+2xy2y+2y3?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: log2023x+1y+1+x2y2+2xy2y+2y3

12log2023x+12y+12+y2x2+2x+1y2y2y2+2y+1y2

12log2023y2x+12y2y+12+y2x+12y2y+12

12log2023y2x+12+y2x+1212log2023y2y+12+y2y+121.

Xét hàm số ft=12log2023t+t .

Ta có f't=121ln2023.t+1>0,t>0 .

Nên f(t)  đồng biến trên 0;+ , khi đó:

1y2x+12y2y+12x+1y+1xyx,y>0.

Với  y = n 1n20  thì ta có được n  giá trị nguyên dương x  tương ứng.

Nên số cặp nguyên dương (x;y)  thỏa mãn là k=120k=210 .


Câu 50:

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [-2023;2023] của tham số thực m để hàm số y=e3x3m+2e2x+3mm+4ex  đồng biến trên khoảng ;ln2 ?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt t=ex0<t<2t'=ex>0 .

Khi đó, bài toán trở thành có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 2023;2023  của tham số thực m  để hàm số y=t33m+2t2+3mm+4t  đồng biến trên khoảng (0;2).

Xét hàm số ft=t33m+2t2+3mm+4t

f't=3t26m+2t+3mm+4

=3t22m+4t+mm+4=3tmtm+4            .

Trường hợp 1: Hàm số ft=t33m+2t2+3mm+4t  đồng biến và không nhận giá trị âm trên (0;2)

ft0f't0,t0;2f003tmtm+40,t0;2

000m+402m0m4m2 .

m2023;2023,m  nên có 4042 giá trị m .

Trường hợp 2: Hàm số ft=t33m+2t2+3mm+4t  nghịch biến và không nhận giá trị dương trên (0;2) ft0f't0,t0;2

f003tmtm+40,t0;2000m02m+402m0

.

m2023;2023,m  nên có 3 giá trị m .

Vậy có tất cả 4045 giá trị m  thỏa mãn.


Bắt đầu thi ngay