Cho mặt cầu (S) tâm O , bán kính R = 3. Một mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P) bằng 1. Tính chu vi đường tròn (C).

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1;2;3;4;5;6. Cho ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là một số chia hết cho 5.

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức $w=\frac{z+3i-1}{z+3+i}$  là số thuần ảo. Xét các số phức $z_1,z_2\in S$  thỏa mãn $\left|z_1-z_2\right|=2$ , giá trị lớn nhất của $P={\left|z_1-3i\right|}^2-{\left|z_2-3i\right|}^2$  bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oxz bằng

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2-mz+m+8=0$  (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm $z_1,z_2$  phân biệt thỏa mãn $\left|z_1\left(z_1^2+m{z}_2\right)\right|=\left(m^2-m-8\right)\left|z_2\right|$ ?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z}{3}$ . Phương trình tham số của đường thẳng d là

Cho hình lăng trụ đứng ABC/A’B’C’ có đáy là tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a. Gọi M là trung điểm của cạnh AA’, biết hai mặt phẳng (MBC) và (MB’C’) vuông góc với nhau. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng

Cho ${\text{log}}_{a}b=\mathrm{3,}{\text{\hspace{0.17em}log}}_{a}c=-4$ . Khi đó $P={\text{log}}_a\left(\frac{a^3\sqrt{c}}{b^2}\right)$  bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$ . Đường kính mặt cầu (S) là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$  có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Hàm số y = f(x)  đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f\left(x\right)-x.f^{\text{'}}\left(x\right).\ln x=2x^2.f^2\left(x\right),\forall x\in \left(1;+\infty \right)$ . Biết $f\left(x\right)>\mathrm{0,}\forall x\in \left(1;+\infty \right)$  và $f\left(e\right)=\frac{1}{e^2}$ . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x.f\left(x\right),y=\mathrm{0,}x=e,x=e^2$ .

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;2;-1). Khi đó, điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (yOz) có tọa độ bằng

Nếu ${\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=-5$  và ${\int }_3^{5}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=1$  thì ${\int }_{-1}^{5}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$  bằng

Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với $y\le 20$  thỏa mãn:

${\log }_{2023}\frac{x+1}{y+1}+x^2{y}^2+2x{y}^2\le \left(y+2\right)y^3$?

Cho khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5, đáy là hình vuông có cạnh bằng 4. Thể tích khối lăng trụ bằng