53 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 17)

Câu 1:

Số cực trị của hàm số $f (x) = \frac{x - 2023}{2 x + 1}$ là

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $f^{'} (x) = \frac{4047}{{(2 x + 1)}^{2}} > 0 \forall x \neq - \frac{1}{2}$ .

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Câu 2:

Cho hàm số $(C) : y = x^{3} + 3 x^{2}$ . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1;4) là

A. $y = 9 x - 5$

B. $y = - 9 x + 5$

C. $y = - 9 x - 5$

D. $y = 9 x + 5$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x$ .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C) : y = x^{3} + 3 x^{2}$ tại điểm M(1;4) là:

$y = f^{'} (1) . (x - 1) + 4$ $\Leftrightarrow y = 9 (x - 1) + 4 \Leftrightarrow y = 9 x - 5$ .

Câu 3:

Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{\frac{5 + (x - 4) e^{x}}{x e^{x} + 1}}$ , trục hoành và hai đường thẳng x = 0;x = 1 quanh trục hoành có thể tích $V = π [a + b \ln (e + 1)]$ , trong đó a,b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a + b = 9

B. a + b = 5

C. a - 2b = 13

D. a - 2b = -3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{\frac{5 + (x - 4) e^{x}}{x e^{x} + 1}}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0, x = 1$ quanh trục hoành là:

$V = π \int_{0}^{1} \frac{5 + (x - 4) e^{x}}{x e^{x} + 1} d x =$ $π \int_{0}^{1} \frac{5 + x e^{x} - 4 e^{x}}{x e^{x} + 1} d x$ $= π \int_{0}^{1} (1 + \frac{4 - 4 e^{x}}{x e^{x} + 1}) d x$

$= π (\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} \frac{4 - 4 e^{x}}{x e^{x} + 1} d x)$

Đặt $I = \int_{0}^{1} \frac{4 - 4 e^{x}}{x e^{x} + 1} d x = 4 \int_{0}^{1} \frac{1 - e^{x}}{x e^{x} + 1} d x = 4 \int_{0}^{1} \frac{\frac{1}{e^{x}} - 1}{x + \frac{1}{e^{x}}} d x$ .

Đặt $t = x + \frac{1}{e^{x}} \Rightarrow d t = (1 - \frac{1}{e^{x}}) d x$ . Đổi cận ta có: $x = 0 \Rightarrow t = 1$ $x = 1 \Rightarrow t = 1 + \frac{1}{e}$ .

$I = 4 \int_{1}^{1 + \frac{1}{e}} - \frac{d t}{t} = {4 (- \ln t)|}_{1}^{1 + \frac{1}{e}} = 4 (- \ln (1 + e) + 1)$

Nên $V = π \{1 + 4. [1 - \ln (1 + e)]\} = π [5 - 4 \ln (1 + e)]$ .

Do đó $a = 5; b = - 4 \Rightarrow a - 2 b = 13$ .

Câu 4:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ . Có bao nhiêu giá trị thực m để đường thẳng d: y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB (O là gốc tọa độ) có diện tích $\sqrt{3}$ .

A. 2

B. 0

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là

$\frac{2 x + 1}{x + 1} = - 2 x + m \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 x^{2} + (m - 4) x + m - 1 = 0 (*) \\ x \neq - 1 \end{cases} .$

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 nên ta có $\{\begin{cases} Δ = m^{2} + 8 > 0 \\ 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \forall m \in ℝ$ .

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (*), ta có $x_{1} + x_{2} = \frac{m - 4}{2}; x_{1} . x_{2} = \frac{m - 1}{- 2}$ .

Do đó $A (x_{1}; - 2 x_{1} + m)$ , $B (x_{2}; - 2 x_{2} + m)$ ;

$A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(- 2 (x_{2} - x_{1}))}^{2}} = \sqrt{5} \sqrt{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}}$

$= \sqrt{5} \sqrt{{(\frac{m - 4}{2})}^{2} + 4 \frac{m - 1}{2}} = \sqrt{5} \sqrt{\frac{m^{2} + 8}{4}}$ ;

$h_{O} = d (O, d) = \frac{|m|}{\sqrt{5}}$

.

Ta có

$S_{O A B} = \frac{1}{2} A B . h_{O} \Leftrightarrow 2 \sqrt{3} = |m| \sqrt{\frac{m^{2} + 8}{4}}$ $\Leftrightarrow m^{4} + 8 m^{2} - 48 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - 2. \end{array}$

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn điều kiện đề bài

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD. Có đáy là hình vuông ABCD cạnh

2 a, S A ⊥ (A B C D)

và

S B = a \sqrt{5}

. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB; AD. Tính côsin góc giữa hai đường thẳng SM và BN

A. $\frac{\sqrt{10}}{5}$

B. $\frac{1}{\sqrt{10}}$

C. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có

$S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = a; S M = S N = M N = a \sqrt{2}; B N = \sqrt{A B^{2} + A N^{2}} = a \sqrt{5}$

$\cos (S M; B N) = |\cos (\vec{S M}; \vec{B N})| = \frac{|\vec{S M} . \vec{B N}|}{S M . B N} = \frac{|\vec{S M} . \vec{S N} - \vec{S M} . \vec{S B}|}{S M . B N}$

$= \frac{|\frac{S M^{2} + S N^{2} - M N^{2}}{2} - \frac{S M^{2} + S B^{2} - B M^{2}}{2}|}{S M . B N} = \frac{|a^{2} - \frac{2 a^{2} + 5 a^{2} - a^{2}}{2}|}{a \sqrt{2} . a \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

.

Câu 6:

Cho 2 số thực x,y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} \geq 3$ và $\log_{x^{2} + y^{2}} [x (4 x^{2} - 3 x + 4 y^{2}) - 3 y^{2}] \geq 2$ . Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x - y, khi đó biểu thức T = 2(M + m) có giá trị gần nhất với số nào sau đây?

A. 9

B. 8

C. 7

D. 10

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\log_{x^{2} + y^{2}} [x (4 x^{2} - 3 x + 4 y^{2}) - 3 y^{2}] \geq 2 \Leftrightarrow \log_{x^{2} + y^{2}} [(x^{2} + y^{2}) (4 x - 3)] \geq 2$

$1 + \log_{x^{2} + y^{2}} (4 x - 3) \geq 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 \leq 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + y^{2} \leq 1$

Giả sử M là giá trị lớn nhất của P.

Gọi $Δ_{1} : x - y - M = 0$ để tồn tại giá trị lớn nhất thì $d (I; (Δ)) \leq R$ .

$\Leftrightarrow \frac{|2 - M|}{\sqrt{2}} \leq 1 \Leftrightarrow M \leq 2 + \sqrt{2}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của P là $M = 2 + \sqrt{2}$ .

Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của P.

Gọi $Δ_{2} : x - y - m = 0$ .

Dựa vào miền nghiệm của P ta thấy P đạt giá trị nhỏ nhất khi $Δ_{2}$ đi qua điểm $A (\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow m = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $T = 2 (M + m) = 2 (2 + \sqrt{2} + \frac{3 - \sqrt{3}}{2}) \approx 8,096$ .

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u} = (2; 3; - 1)$ và $\vec{v} = (5; - 4; m)$ . Tìm tất cả giá trị m để $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ .

A. m = 2

B. m = 4

C. m = -4

D. m = -2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ $\Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$ $\Leftrightarrow 2.5 + 3 (- 4) + (- 1) m = 0$ $\Leftrightarrow - m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ .

Câu 8:

Cho hàm số $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ . Giá trị f’(2) bằng

A. 2

B. $\frac{4}{5}$

C. $\frac{4}{2 \ln 5}$

D. $\frac{4}{3 \ln 2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ $\Rightarrow f^{'} (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{'}}{x^{2} + 1} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ $\Rightarrow f^{'} (2) = \frac{2.2}{2^{2} + 1} = \frac{4}{5}$ .

Câu 9:

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng $50 π$ và độ dài đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy. Bán kính r của đường tròn đáy là

A. $r = \frac{5}{2}$

B. $r = 5$

C. $r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

D. $r = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Diện tích xung quanh của hình trụ $S_{x q} = 2 π r l$ và $l = 2 r$ .

Ta có $S_{x q} = 2 π r l \Leftrightarrow$ $2 π r l = 50 π$ $\Leftrightarrow 2 π r 2 r = 50 π$ $\Leftrightarrow r = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

Câu 10:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định trên $ℝ$ thỏa mãn $f (0) = 2 \sqrt{2}$ , $f (x) > 0$ và $f (x) . f^{'} (x) = (2 x + 1) \sqrt{1 + f^{2} (x)}, \forall x \in ℝ$ . Giá trị f(2) là

A. $5 \sqrt{4}$

B. $4 \sqrt{5}$

C. $3 \sqrt{5}$

D. 9

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $f (x) . f^{'} (x) = (2 x + 1) \sqrt{1 + f^{2} (x)}, \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow \frac{f (x) . f^{'} (x)}{\sqrt{1 + f^{2} (x)}} = 2 x + 1, \forall x \in ℝ$ $\Leftrightarrow \frac{2 f (x) . f^{'} (x)}{2 \sqrt{1 + f^{2} (x)}} = 2 x + 1, \forall x \in ℝ$

$\Rightarrow \int \frac{2 f (x) . f^{'} (x)}{2 \sqrt{1 + f^{2} (x)}} d x = \int (2 x + 1) d x$ $\Rightarrow \sqrt{1 + f^{2} (x)} = x^{2} + x + C$ .

Cho x = 0 ta được: $C = \sqrt{1 + f^{2} (0)} = \sqrt{1 + {(2 \sqrt{2})}^{2}} = 3$ .

Do đó $\sqrt{1 + f^{2} (x)} = x^{2} + x + 3$ .

Lại cho x = 2 ta được: $\sqrt{1 + f^{2} (2)} = 4 + 2 + 3 = 9$ $\Rightarrow 1 + f^{2} (2) = 81$ $\Rightarrow f^{2} (2) = 80$

$\Rightarrow f (2) = 4 \sqrt{5}$ (do $f (x) > 0$ ).

Vậy $f (2) = 4 \sqrt{5}$ .

Câu 11:

Thể tích của khối hộp chữ nhật có các kích thước 4; 5; 6 là

A. 20

B. 40

C. 60

D. 120

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Thể tích của khối hộp chữ nhật có các kích thước 4; 5; 6 là $4.5.6 = 120$ .

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ . Tâm và bán kính mặt cầu là

A. I(-2;1;2), R = 2

B. I(2;-1;-2), R = 4

C. I(2;-1;-2), R = 2

D. I(2;-1;-2), R = 16

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;-2) và bán kính R = 2.

Câu 13:

Cho hình chóp đều S.ABC có $\hat{A S B} = 30 °, S A = 1$ . Lấy B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho chu vi tam giác AB’C’ nhỏ nhất. Tỉ số $\frac{V_{S . A B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}}$ gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

A. 0,5

B. 0,6

C. 0,55

D. 0,65

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Trải hình, ta có $A \equiv A^{'}, S A = S B = 1$ , $\hat{A S B} = 30 °$

$\Rightarrow Δ S A A^{'}$ vuông cân tại S $\Rightarrow \hat{S A A^{'}} = 45 °$ .

Ta có chu vi $Δ A B^{'} C^{'}$ là $2 p = A B^{'} + A C^{'} + B^{'} C^{'} \geq A A^{'}$ .

Do đó chu vi $Δ A B^{'} C^{'}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow B^{'}, C^{'} \in A A^{'}$ .

Gọi I là trung điểm của BC và H là giao điểm của SI và B'C'.

Ta có

$S H = S A . \sin \hat{S A H} = 1. \sin 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}; S I = S B . \sin \hat{S B I} = 1. \sin 75 ° = \frac{\sqrt{2}}{4} (1 + \sqrt{3})$ .

Vì $B^{'} C^{'} // B C$ nên $\frac{V_{S . A B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}} = \frac{S B^{'}}{S B} . \frac{S C^{'}}{S C} = \frac{S H}{S I} . \frac{S H}{S I} = {(\frac{S H}{S I})}^{2} = 4 - 2 \sqrt{3}$ .

Vậy tỉ số $\frac{V_{S . A B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}}$ gần giá trị 0,55 nhất trong các giá trị đã cho.

Câu 14:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để hàm số $y = {(3 a - 11)}^{x}$ nghịch biến trên $ℝ$ ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện $0 < 3 a - 11 < 1 \Leftrightarrow \frac{11}{3} < a < 4$ .

Do đó không có giá trị nguyên của a thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 15:

Có bao nhiêu cách lấy một quả cầu từ hộp chứa 15 quả cầu màu đỏ và 14 quả cầu màu vàng?

A. 210

B. 29

C. 14

D. 15

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo quy tắc cộng ta có: 15 + 14 = 29(cách)

Câu 16:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy và đi qua điểm A(2;2;2) có phương trình là

A. $y - 2 = 0$

B. $x + y + z - 1 = 0$

C. $z - 2 = 0$

D. $x - 2 = 0$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $(O x y) : z = 0$ , suy ra mặt phẳng cần tìm $(P) : z - a = 0 (a \neq 0)$ .

Điểm $A (2; 2; 2) \in (P) \Rightarrow a = 2 \Rightarrow (P) : z - 2 = 0$ .

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy và đi qua điểm A(2;2;2) có phương trình là

A. $y - 2 = 0$

B. $x + y + z - 1 = 0$

C. $z - 2 = 0$

D. $x - 2 = 0$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $(O x y) : z = 0$ , suy ra mặt phẳng cần tìm $(P) : z - a = 0 (a \neq 0)$ .

Điểm $A (2; 2; 2) \in (P) \Rightarrow a = 2 \Rightarrow (P) : z - 2 = 0$ .

Câu 18:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x + 2$ có đồ thị là (C). Số giao điểm của (C) và trục hoành là

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

$x^{3} - 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 1 \end{array}$

Vậy có hai giao điểm.

Câu 19:

Cho hàm số $y = \frac{|\sin^{2} x - (m + 1) \sin x + 2 m + 2|}{\sin x - 2}$ (với m là tham số thực). Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. -1

C. $\frac{- 3}{2}$

D. $\frac{- 1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $y = - |\frac{\sin^{2} x - (m + 1) \sin x + 2 m + 2}{2 - \sin x}|$ vì $\sin x < 2, \forall x \in ℝ$

Đặt $t = \sin x, (t \in [- 1; 1])$ , đặt $f (t) = \frac{t^{2} - (m + 1) t + 2 m + 2}{2 - t}$ .

Ta có: $f^{'} (t) = \frac{- t^{2} + 4 t}{{(2 - t)}^{2}}$ , $f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 0, t = 4$ (loại)

Khi đó: $\{\begin{cases} f (- 1) = m + \frac{4}{3} \\ f (0) = m + 1 = \min_{t \in [- 1; 1]} f (t) = a \\ f (1) = m + 2 = \max_{t \in [- 1; 1]} f (t) = A \end{cases}$

Nên $\max_{t \in [- 1; 1]} |f (t)| = \frac{|A + a| + |A - a|}{2} = \frac{|2 m + 3| + 1}{2} \geq \frac{1}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 2 m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{- 3}{2}$ .

Câu 20:

Cho $\int_{- 1}^{2} f (x) d x = 3, \int_{- 1}^{2} g (x) d x = - 1$ . Khi đó $I = \int_{- 1}^{2} [x + 2 f (x) - 3 g (x)] d x$ bằng

A. 10

B. $\frac{21}{2}$

C. $\frac{19}{2}$

D. $\frac{17}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$I = \int_{- 1}^{2} [x + 2 f (x) - 3 g (x)] d x = \int_{- 1}^{2} x d x + 2 \int_{- 1}^{2} f (x) d x - 3 \int_{- 1}^{2} g (x) d x = \frac{3}{2} + 2.3 - 3. (- 1) = \frac{21}{2}$

Câu 21:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {(x - 2)}^{2} - 1$ , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{7}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $S = \int_{1}^{2} |{(x - 2)}^{2} - 1| d x = \frac{2}{3}$ .

Câu 22:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\sqrt{5} - 2)}^{x + 1} > 9 - 4 \sqrt{5}$ là

A. $(1; + \infty)$

B. $(- 1; 1)$

C. $(- \infty; 1]$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${(\sqrt{5} - 2)}^{x + 1} > 9 - 4 \sqrt{5}$ $\Leftrightarrow {(\sqrt{5} - 2)}^{x + 1} > {(\sqrt{5} - 2)}^{2}$ $\Leftrightarrow x + 1 < 2 \Leftrightarrow x < 1$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (- \infty; 1)$ .

Câu 23:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3. Các mặt bên (SAB), (SAC), (SBC) lần lượt tạo với đáy các góc là $30 °, 45 °, 60 °$ . Tính thể tích của khối chóp S.ABC. Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) nằm trong tam giác ABC.

A. $V = \frac{27 \sqrt{3}}{2 (4 + \sqrt{3})}$

B. $V = \frac{27 \sqrt{3}}{8 (4 + \sqrt{3})}$

C. $V = \frac{27 \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}}$

D. $V = \frac{27 \sqrt{3}}{4 (4 + \sqrt{3})}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC).

Đặt SH = h

Hạ HI, HJ, HK lần lượt vuông góc với các cạnh AB, BC. AC.

Xét $Δ S H I$ : $\tan 30 ° = \frac{S H}{H I} \Rightarrow H I = h \sqrt{3}$

Xét $Δ S H J$ : $\tan 60 ° = \frac{S H}{H J} \Rightarrow H J = \frac{h}{\sqrt{3}}$

Xét $Δ S H K$ : $\tan 45 ° = \frac{S H}{H K} \Rightarrow H K = h$

Xét $Δ A B C$ : $S_{A B C} = S_{H A B} + S_{H B C} + S_{H A C} = \frac{1}{2} H I . A B + \frac{1}{2} H J . B C + \frac{1}{2} H K . A C$

$= \frac{1}{2} . h \sqrt{3} .3 + \frac{1}{2} . \frac{h}{\sqrt{3}} .3 + \frac{1}{2} . h .3 = \frac{h (4 + \sqrt{3}) \sqrt{3}}{2}$ .

Mà $S_{A B C} = \frac{\sqrt{3} . A B^{2}}{4} = \frac{\sqrt{3} {.3}^{2}}{4}$ .

Nên $\frac{h (4 + \sqrt{3}) \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} {.3}^{2}}{4} \Leftrightarrow h = \frac{9}{2 (4 + \sqrt{3})}$ .

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . h . S_{A B C} = \frac{27 \sqrt{3}}{8 (4 + \sqrt{3})}$ .

Câu 24:

Cho đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ

Hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [1;3] tại $x_{0}$ . Khi đó giá trị của $x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 2 023$ bằng bao nhiêu?

A. 2024

B. 2023

C. 2021

D. 2022

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị ta thấy: $\max_{[1; 3]} f (x) = f (2) \Rightarrow x_{0} = 2$

Từ đó:

x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 2 023 = 2^{2} - 3.2 + 2 023 = 2 021

.

Câu 25:

Thể tích của khối nón có chiều cao h = 3 và bán kính r = 4 bằng:

A. $12 π$

B. $48 π$

C. $4 π$

D. $16 π$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Thể tích của khối nón đã cho là $V = \frac{1}{3} π . r^{2} . h = \frac{1}{3} π {.4}^{2} .3 = 16 π$ .

Câu 26:

Cho một hình chóp có số đỉnh là 2023, số cạnh của hình chóp đó là:

A. 1012

B. 4044

C. 4046

D. 1011

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Vì số đỉnh của hình chóp là 2023 nên số đỉnh của mặt đáy là 2022.

Do vậy số cạnh của mặt đáy là 2022 và số cạnh bên là 2022.

Vậy số cạnh của hình chóp là: 2022 + 2022 = 4044.

Câu 27:

Cho log3 = a, log2 = b. Khi đó giá trị của $\log_{125} 30$ được tính theo a là:

A. $\frac{1 + a}{3 (1 - b)}$

B. $\frac{4 (3 - a)}{3 - b}$

C. $\frac{a}{3 + b}$

D. $\frac{a}{3 + a}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\log_{125} 30 = \frac{\log (3.10)}{\log (5^{3})} = \frac{\log 3 + 1}{3 \log 5} = \frac{\log 3 + 1}{3 (\log \frac{10}{2})} = \frac{\log 3 + 1}{3 (\log 10 - \log 2)} = \frac{1 + a}{3 (1 - b)}$ .

Câu 28:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2}{4 x + 3}$ là:

A. $\int \frac{2}{4 x + 3} d x = 2 \ln |4 x + 3| + C$

B. $\int \frac{2}{4 x + 3} d x = \frac{1}{2} \ln |4 x + 3| + C$

C. $\int \frac{2}{4 x + 3} d x = \frac{1}{4} \ln |4 x + 3| + C$

D. $\int \frac{2}{4 x + 3} d x = 2 \ln |2 x + \frac{3}{2}| + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int \frac{2}{4 x + 3} d x = \frac{1}{2} \ln |4 x + 3| + C$ .

Câu 29:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2}{4 x + 3}$ là:

A. $\int \frac{2}{4 x + 3} d x = 2 \ln |4 x + 3| + C$

B. $\int \frac{2}{4 x + 3} d x = \frac{1}{2} \ln |4 x + 3| + C$

C. $\int \frac{2}{4 x + 3} d x = \frac{1}{4} \ln |4 x + 3| + C$

D. $\int \frac{2}{4 x + 3} d x = 2 \ln |2 x + \frac{3}{2}| + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int \frac{2}{4 x + 3} d x = \frac{1}{2} \ln |4 x + 3| + C$ .

Câu 30:

Cho tứ diện ABCD có các mặt bên ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

A. $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

B. $\sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{2}$

D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi I là trung điểm của AD thì $\hat{B I C} = ((A B D), (A C D)) = 90 ° \Rightarrow Δ I B C$ vuông tại .

Vì $Δ A B D = Δ C B D$ nên $I B = I C = \sqrt{2}$ $\Rightarrow I A = \sqrt{A C^{2} - I C^{2}} = \sqrt{2}$

$\Rightarrow I A = I B = I C = I D = \sqrt{2}$ .

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng $\sqrt{2}$ .

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;-2;3). Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho $A B = 2 \sqrt{3}$ .

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 20$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi H là trung điểm của AB thì IH vuông góc với AB và $I H = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$ .

Suy ra bán kính mặt cầu là: $R = I A = \sqrt{3 + 13} = 4$ .

Vậy phương trình mặt cầu là ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16$ .

Câu 32:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số

y = (m – 3)x – (2m + 1)cos x luôn nghịch biến trên $ℝ$ . Số phần tử của S là

A. 6

B. 7

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y = (m - 3) x - (2 m + 1) \cos x$ nghịch biến trên $ℝ$ khi và chỉ khi

$y' = m - 3 + (2 m + 1) \sin x \leq 0 \forall x \Leftrightarrow (1 + 2 m) \sin x \leq 3 - m \forall x (1)$ .

Vì m để nguyên nên ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: $m > - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow (1) : \sin x \leq \frac{3 - m}{1 + 2 m} \forall x \Leftrightarrow 1 \leq \frac{3 - m}{1 + 2 m} \Leftrightarrow m \leq \frac{2}{3} \Rightarrow m \in (- \frac{1}{2}; \frac{2}{3}]$ .

Trường hợp 2: $m < - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow (1) : \sin x \geq \frac{3 - m}{1 + 2 m} \forall x \Leftrightarrow - 1 \geq \frac{3 - m}{1 + 2 m} \Leftrightarrow m \geq - 4 \Rightarrow m \in [- 4; - \frac{1}{2})$ .

Kết hợp với điều kiện $m \in ℤ$ $\Rightarrow m \in \{- 4; - 3; - 2; - 1; 0\}$ .

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 33:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, $S A = 2 a \sqrt{2}$ . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh OA, biết tam giác SBD vuông tại S. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) bằng

A. $\frac{3 a \sqrt{5}}{10}$

B. $\frac{2 a \sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{4 a \sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{2 a \sqrt{10}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi H là trung điểm của OA.

Qua H vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC tại L.

Trong (SLH) vẽ HK vuông góc với SL.

$\begin{array}{l} H K ⊥ S L \\ H K ⊥ B C \end{array}\} \Rightarrow H K ⊥ (S B C) \Rightarrow d (H, (S B C)) = H K .$

Ta có: $Δ S H D = Δ S H B (cgc-cgc)$ , suy ra $Δ S B D$ vuông cân tại S.

Lại có: H là trung điểm của OA và $S H ⊥ O A$ ( Vì: $S H ⊥ (A B C D)$ ).

Do đó $Δ S A O$ cân tại S.

Suy ra: $S A = S O = O B = O D = 2 a \sqrt{2}$ nên: $B D = 4 a \sqrt{2} = A C \Rightarrow A H = a \sqrt{2}$

Vậy, cạnh của hình vuông có $A D = D C = A B = B C = 4 a$ và $S H = \sqrt{S O^{2} - H O^{2}} = a \sqrt{6}$

Mặt khác: $H L // A B \Rightarrow \frac{C H}{A C} = \frac{H L}{A B} = \frac{3}{4}$

$\Rightarrow d (H, (S B C)) = \frac{3}{4} d (A, (S B C)) = \frac{3}{4} d (D, (S B C))$

Lại có: $d (H, (S B C)) = H P = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H L^{2}}}} = \frac{3 a \sqrt{10}}{5}$

$\Rightarrow d (D, (S B C)) = \frac{4 a \sqrt{10}}{5}$

.

Câu 34:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn 1;2023], ,f(1) = 1 và f(2023) = 2. Tích phân $I = \int_{1}^{2 023} f^{'} (x) d x$ bằng

A. 2022

B. 1

C. 2023

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $I = \int_{1}^{2023} f' (x) d x = {f (x)|}_{1}^{2023} = f (2023) - f (1) = 1$ .

Câu 35:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-5;5] để hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} + (m + 3) x - 1$ không có cực trị?

A. 6

B. 8

C. 5

D. 7

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Xét $y = x^{3} - 2 x^{2} + (m + 3) x - 1 \Rightarrow y' = 3 x^{2} - 4 x + m + 3$ .

Để hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} + (m + 3) x - 1$ không có cực trị thì y' không đổi dấu.

Nên: $Δ^{'} \leq 0$ . Do đó: $Δ^{'} = {(- 2)}^{2} - 3 (m + 3) = 4 - 3 m - 9 = - 3 m - 5 \leq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{- 5}{3}$

Kết hợp với điều kiện $m \in [- 5; 5]$ và $m \in ℤ$ $\Rightarrow m \in \{- 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$ .

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 36:

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 2 z - 10 = 0$ và $(Q) : x + 2 y + 2 z - 5 = 0$ bằng

A. $\frac{5}{3}$

B. $\frac{7}{3}$

C. 5

D. $\frac{5}{9}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Vì $\frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{2}{2} \neq \frac{- 10}{- 5}$ nên hai mặt phẳng (P) và (Q) song song.

Chọn $M (10; 0; 0) \in (P)$ .

Khi đó, $d ((P), (Q)) = d (M, (Q))$ $= \frac{|10 - 5|}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}$ .

Câu 37:

Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm trên $ℝ$ , f(2) = 16 và $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4$ . Tích phân $\int_{0}^{4} x f^{'} (\frac{x}{2}) d x$ bằng

A. 112

B. 144

C. 56

D. 12

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Xét tích phân $I = \int_{0}^{4} x f^{'} (\frac{x}{2}) d x$

Đặt: $t = \frac{x}{2} \Rightarrow d t = \frac{1}{2} d x$ ; Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0; x = 4 \Rightarrow t = 2$ .

Khi đó: $I = \int_{0}^{4} x f^{'} (\frac{x}{2}) d x = \int_{0}^{2} 4 t f^{'} (t) d t = \int_{0}^{2} 4 x f^{'} (x) d x$ .

Đặt: $\{\begin{cases} u = 4 x \\ d v = f^{'} (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} u = 4 d x \\ v = f (x) \end{cases}$ .

Khi đó: $I = \int_{0}^{2} 4 x f^{'} (x) d x = {4 x f (x)|}_{0}^{2} - \int_{0}^{2} 4 f (x) d x$ $= 8 f (2) - 4.4$ $= 8.16 - 16 = 112$ .

Câu 38:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành AB = 3, AD = 4, $\hat{B A D} = 120 °$ . Cạnh bên $S A = 2 \sqrt{3}$ và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD và BC, $α$ là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MNP). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $α \in (0 °; 30 °)$

B. $α \in (30 °; 45 °)$

C. $α \in (45 °; 60 °)$

D. $α \in (60 °; 90 °)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Với mọi điểm $P \in B C$ ta có $(M N P) \equiv (B C N M) \equiv (M B C)$ , do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MNP) bằng góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MBC).

Gọi H là hình chiếu của B lên AC thì $B H ⊥ (S A C)$ nên $Δ M H C$ là hình chiếu của $Δ M B C$ lên (SAC).

Do đó $S_{Δ M H C} = S_{Δ M B C} . \cos α$ ; $((M B C), (S A C)) = α$ .

Gọi K là hình chiếu của A lên BC thì $M K ⊥ B C$ .

Ta có $A K = A B . \sin \hat{A B K} = 3. \sin 60 ° = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow M K = \sqrt{M A^{2} + A K^{2}} = \frac{\sqrt{39}}{2} \Rightarrow S_{Δ M B C} = \frac{1}{2} B C . M K = \sqrt{39}$

.

Ta có $K B = A B . \cos \hat{A B K} = \frac{3}{2} \Rightarrow K C = \frac{5}{2}$

$\Rightarrow A C = \sqrt{A K^{2} + K C^{2}} = \sqrt{13} \Rightarrow B H = \frac{B C . A K}{A C} = \frac{6 \sqrt{39}}{13}$

$\Rightarrow C H = \sqrt{B C^{2} - B H^{2}} = \frac{10 \sqrt{13}}{13}$ $\Rightarrow S_{Δ M H C} = \frac{1}{2} C H . M A = \frac{5 \sqrt{39}}{13}$

Suy ra $\cos α = \frac{S_{Δ M H C}}{S_{Δ M B C}} = \frac{5 \sqrt{39}}{13 \sqrt{39}} = \frac{5}{13} \Rightarrow α \in (60 °; 90 °)$ .

Câu 39:

Số nghiệm của phương trình $\log_{3} |x^{2} - \sqrt{2} x| = \log_{5} (x^{2} - \sqrt{2} x + 2)$ là

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $x \neq 0; x \neq \sqrt{2}$ .

Đặt $\log_{3} |x^{2} - \sqrt{2} x| = \log_{5} (x^{2} - \sqrt{2} x + 2) = t$ . Khi đó ta có

$\{\begin{cases} |x^{2} - \sqrt{2} x| = 3^{t} \\ x^{2} - \sqrt{2} x + 2 = 5^{t} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |x^{2} - \sqrt{2} x| = 3^{t} \\ x^{2} - \sqrt{2} x = 5^{t} - 2 \end{cases}$

Từ đó suy ra $|5^{t} - 2| = 3^{t} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 5^{t} - 2 = 3^{t} (1) \\ 5^{t} - 2 = - 3^{t} (2) \end{array}$ .

· Phương trình (1) tương đương $5^{t} - 3^{t} - 2 = 0 \Leftrightarrow 1 - {(\frac{3}{5})}^{t} - 2. {(\frac{1}{5})}^{t} = 0$ .

Xét hàm số $g (t) = 1 - {(\frac{3}{5})}^{t} - 2. {(\frac{1}{5})}^{t}$ .

Khi đó $g^{'} (t) = - {(\frac{3}{5})}^{t} \ln \frac{3}{5} - 2. {(\frac{1}{5})}^{t} \ln \frac{1}{5} > 0, \forall t$ $\Rightarrow g (t)$ đồng biến trên $ℝ$ .

Suy ra phương trình g(t) = 0 có không quá một nghiệm.

Dễ dàng thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình g(t) = 0.

Suy ra t = 1 cũng là nghiệm duy nhất của phương trình g(t) = 0.

Với t = 1 ta có:

$\log_{5} (x^{2} - \sqrt{2} x + 2) = 1$ $\Leftrightarrow x^{2} - \sqrt{2} x = 3 \Leftrightarrow x^{2} - \sqrt{2} x - 3 = 0$ (với $Δ = 14 > 0$ ).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

· Phương trình (2) tương đương với $5^{t} + 3^{t} - 2 = 0$ .

Xét hàm số $h (t) = 5^{t} + 3^{t} - 2$ .

Khi đó $h^{'} (t) = 5^{t} \ln 5 + 3^{t} \ln 3 > 0, \forall t$ $\Rightarrow h (t)$ đồng biến trên $ℝ$ .

Lập luận tương tự phương trình (1), ta có phương trình (2) có duy nhất một nghiệm t = 0.

Với t = 0 , ta có: $\log_{5} (x^{2} - \sqrt{2} x + 2) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - \sqrt{2} x = - 1 \Leftrightarrow x^{2} - \sqrt{2} x + 1 = 0$

(vô nghiệm do $Δ = - 2 < 0$ ).

Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 40:

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên $ℝ \ \{- 2; 1\}$ và có bảng biến thiên như sau:

$Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên R\{-2;1} và có bảng biến thiên như sau: Đồ thị hàm số f(x) có bao nhiêu đường tiệm cận? (ảnh 1)$

Đồ thị hàm số f(x) có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = 4$ , suy ra đồ thị hàm số f(x) có một tiệm cận ngang là y = 4

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = + \infty$ suy ra đồ thị hàm số f(x) có một tiệm cận đứng là x = -2

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = 2$ suy ra đường thẳng x = 1 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số f(x) .

.

Vậy đồ thị của hàm số f(x) có 2 đường tiệm cận.

Câu 41:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0;2)

B. (-2;-1)

C. (-2;0)

D. (-1;1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng (-2;-1) đồ thị hàm số là một đường đi lên.

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-2;-1).

Câu 42:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình là $x - y + 2 z - 3 = 0$ . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

A. $\vec{n} = (1; 1; - 2)$

B. $\vec{n} = (1; - 1; 2)$

C. $\vec{n} = (1; 2; - 3)$

D. $\vec{n} = (- 1; 2; - 3)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng $(P) : x - y + 2 z - 3 = 0$ .

Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (1; - 1; 2)$ .

Câu 43:

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\log_{2 023} (x^{2} + 2 022 x) = 1$ bằng

A. -2022

B. -2023

C. 2023

D. 2022

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình đã cho tương đương với $x^{2} + 2 022 x = 2 023 \Leftrightarrow x^{2} + 2 022 x - 2 023 = 0$ (1).

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nên theo Viet suy ra tổng các nghiệm là $x_{1} + x_{2} = - 2 022$ .

Câu 44:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng

(-2023;2023) để hàm số $y = \frac{2 023}{m \log_{3}^{2} x - 4 \log_{3} x + m + 3}$ xác định trên khoảng $(0; + \infty)$ ?

A. 4040

B. 4044

C. 4039

D. 4046

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x > 0 .

Hàm số đã cho xác định trên $(0; + \infty)$ thì $m \log_{3}^{2} x - 4 \log_{3} x + m + 3 \neq 0, \forall x \in (0; + \infty)$

$\Leftrightarrow m (\log_{3}^{2} x + 1) \neq 4 \log_{3} x - 3, \forall x \in (0; + \infty)$ $\Leftrightarrow m \neq \frac{4 \log_{3} x - 3}{\log_{3}^{2} x + 1}, \forall x \in (0; + \infty)$

Để hàm số $y = \frac{2023}{m \log_{3}^{2} x - 4 \log_{3} x + m + 3}$ xác định trên khoảng $(0; + \infty)$ thì phương trình $m = \frac{4 \log_{3} x - 3}{\log_{3}^{2} x + 1}$ vô nghiệm trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Xét hàm số $y = \frac{4 t - 3}{t^{2} + 1}$ với $t = \log_{3} x$

Khi đó $y^{'} = \frac{- 4 t^{2} + 6 t + 4}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ ; $y^{'} = 0 \Rightarrow - 4 t^{2} + 6 t + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - \frac{1}{2} \\ t = 2 \end{array}$ .

Ta có $\lim_{t \to - \infty} y = \lim_{t \to - \infty} y = 0$ .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra $m \in (- \infty; - 4) \cup (1; + \infty)$ .

Kết hợp điều kiện $m \in (- 2023; 2023) \Rightarrow m \in (- 2023; - 4) \cup (1; 2023)$ .

Vì $m \in ℤ$ suy ra có 4039 giá trị m thỏa mãn.

Câu 45:

Tập xác định của hàm số $y = {(1 + x)}^{- 2 023}$ là

A. $(- 1; + \infty)$

B. $ℝ \ \{- 1\}$

C. $(- \infty; - 1)$

D. $ℝ \ \{1\}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định: $1 + x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq - 1$

Vậy tập xác định của hàm số $y = {(1 + x)}^{- 2 023}$ là $ℝ \ \{- 1\}$ .

Câu 46:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = -3, x = 2 (như hình vẽ). Đặt $a = \int_{- 3}^{1} f (x) d x, b = \int_{1}^{2} f (x) d x$ .

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. S = -a - b

B. S = a + b

C. S = a - b

D. S = b - a

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $S = \int_{- 3}^{2} |f (x)| d x = - \int_{- 3}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x = - a + b$

Câu 47:

Cho hàm số bậc ba $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị là (C) và hàm số $y = g (x) = - f (m x + 1), m > 0$ (như hình vẽ). Với giá trị nào của m để hàm số y = g(x) nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng 3?

Cho hàm số bậc ba y = f(x) = ã^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) = -f(mx+1), m>0 (như hình vẽ) (ảnh 1)

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Từ đồ thị ta có $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

$g (x) = - f (m x + 1) \Rightarrow g^{'} (x) = - m . f^{'} (m x + 1)$

$\Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow m . f^{'} (m x + 1) = 0 (m > 0) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m x + 1 = 0 \\ m x + 1 = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{- 1}{m} \\ x = \frac{1}{m} \end{array}$ .

Bảng xét dấu của g'(x)

Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng $(\frac{- 1}{m}; \frac{1}{m})$ .

Để hàm số y = g(x) nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng 3 thì $\frac{1}{m} - \frac{- 1}{m} = 3 \Leftrightarrow \frac{2}{m} = 3 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}$ .

Câu 48:

Cho hàm số bậc ba $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị là (C) và hàm số $y = g (x) = - f (m x + 1), m > 0$ (như hình vẽ). Với giá trị nào của m để hàm số y = g(x) nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng 3?

Cho hàm số bậc ba y = f(x) = ã^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) = -f(mx+1), m>0 (như hình vẽ) (ảnh 1)

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Từ đồ thị ta có $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

$g (x) = - f (m x + 1) \Rightarrow g^{'} (x) = - m . f^{'} (m x + 1)$

$\Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow m . f^{'} (m x + 1) = 0 (m > 0) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m x + 1 = 0 \\ m x + 1 = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{- 1}{m} \\ x = \frac{1}{m} \end{array}$ .

Bảng xét dấu của g'(x)

Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng $(\frac{- 1}{m}; \frac{1}{m})$ .

Để hàm số y = g(x) nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng 3 thì $\frac{1}{m} - \frac{- 1}{m} = 3 \Leftrightarrow \frac{2}{m} = 3 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}$ .

Câu 49:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oxz) là

A. $P (0; 2; 3)$

B. $M (1; 0; 3)$

C. $N (0; 2; 0)$

D. $Q (1; 2; 0)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (Oxz) đi qua điểm O(0;0;0), có vectơ pháp tuyến $\vec{j} = (0; 1; 0)$

Phương trình (Oxz) là y = 0

Đường thẳng $Δ$ qua và vuông góc với (Oxz) có phương trình $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + t \\ z = 3 \end{cases}$ .

Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A lên (Oxz) nên $A^{'} = Δ \cap (O x z)$ suy ra A'(1;0;3).

Vậy A' trùng với điểm M đề bài cho.

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’có

A^{'} (\sqrt{3}; - 1; 1)

, hai đỉnh B, C thuộc trục Oz và AA’ = 1 (C không trùng với O). Biết vectơ

\vec{u} = (a; b; 2)

(với

a, b \in ℝ

) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A’C. Tính

T = a^{2} + b^{2}

.

A. T = 15

B. T = 14

C. T = 16

D. T = 9

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm của BC.

Do tam giác ABC đều nên $A I ⊥ B C \Rightarrow A^{'} I ⊥ B C \Rightarrow I$ là hình chiếu của A' trên BC. Vì $B, C \in O z$ nên I là hình chiếu của A' trên $O z \Rightarrow I (0; 0; 1)$ .

Ta có $\vec{A^{'} I} = (- \sqrt{3}; 1; 0) \Rightarrow A^{'} I = 2$ .

Trong tam giác vuông AA'I có: $A I = \sqrt{A^{'} I^{2} - A {A^{'}}^{2}} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ .

Vì tam giác ABC đều nên $B C = \frac{2}{\sqrt{3}} A I = \frac{2}{\sqrt{3}} . \sqrt{3} = 2 \Rightarrow C I = 1$ .

Gọi $C (0; 0; c) \in O z$ .

Do $C I = 1; I (0; 0; 1); C \neq O \Rightarrow C (0; 0; 2) \Rightarrow \vec{A^{'} C} (- \sqrt{3}; 1; 1)$ .

Mà $\vec{u} = (a; b; 2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A'C nên $\vec{A^{'} C}$ và $\vec{u}$ cùng phương.

Suy ra $\frac{a}{- \sqrt{3}} = \frac{b}{1} = \frac{2}{1} \Rightarrow \{\begin{cases} a = - 2 \sqrt{3} \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow a^{2} + b^{2} = {(- 2 \sqrt{3})}^{2} + 2^{2} = 16$ .

Câu 51:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng tổng quát $u_{n} = 3 n - 2$ với $n \geq 1$ . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. -2

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $u_{n + 1} - u_{n} = 3 (n + 1) - 2 - (3 n - 2) = 3, \forall n \in ℕ^{*}$ .

Suy ra công sai của cấp số cộng đã cho là d = 3.

Câu 52:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $A D = 2 A B, A C = \sqrt{5}$ , SA vuông góc với đáy và SA = 6. Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. 4

B. 12

C. 6

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có:

$A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ $\Leftrightarrow A B^{2} + 4 A B^{2} = {(\sqrt{5})}^{2} \Leftrightarrow A B = 1$ .

Suy ra: $S_{A B C D} = A B . B C = 1.2 = 2$ .

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: $V = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} .2.6 = 4$ .

Câu 53:

Một chuồng có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ nâu. Người ta bắt lần lượt từng con ra khỏi chuồng cho đến khi bắt được cả 3 con thỏ trắng mới thôi. Xác suất để cần phải bắt đến ít nhất 5 con thỏ là

A. $\frac{29}{35}$

B. $\frac{4}{35}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{31}{35}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Xét biến cố đối $\bar{A}$ : “bắt được 3 con thỏ trắng trong 3 hoặc 4 lần”

· Trường hợp 1: Bắt được 3 con thỏ trắng trong 3 lần đầu:

Ta có $n (Ω) = 7.6.5$ và $n (\bar{A_{1}}) = 3!$ . Suy ra $p (\bar{A_{1}}) = \frac{3!}{7.6.5}$

· Trường hợp 2: Bắt được 3 con thỏ trắng trong 4 lần đầu ( lần 4 bắt được con màu trắng; lần 1, 2 và 3 bắt được 2 con thỏ trắng và 1 con thỏ nâu)

Ta có $n (Ω) = 7.6.5.4$ và $n (\bar{A_{2}}) = C_{4}^{1} . C_{3}^{2} .3!$ . Suy ra $p (\bar{A_{2}}) = \frac{C_{4}^{1} . C_{3}^{2} .3!}{7.6.5.4}$

Suy ra: $p (\bar{A}) = p (\bar{A_{1}}) + p (\bar{A_{2}}) = \frac{4}{35}$ $\Rightarrow p (A) = 1 - \frac{4}{35} = \frac{31}{35}$ .

Vậy xác suất để cần phải bắt đến ít nhất 5 con thỏ là $p (A) = \frac{31}{35}$ .