50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc (2023) Đề thi thử Toán THPT Chuyên Vĩnh Phúc có đáp án

Câu 1:

r = \sqrt{3}

và độ dài đường sinh l = 4. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

A. $S_{x q} = 12 π \cdot$

B. $S_{x q} = 8 \sqrt{3} π \cdot$

C. $S_{x q} = 4 \sqrt{3} π \cdot$

D. $S_{x q} = \sqrt{39} π \cdot$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có:

S_{x q} = 2 π r l = 8 \sqrt{3} π

Câu 2:

Một vật chuyển động theo quy luật

s = \frac{1}{3} t^{3} - t^{2} + 9 t

với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. $89 (m / s) \cdot$

B. $71 (m / s) \cdot$

C. $109 (m / s) \cdot$

D. $\frac{25}{3} (m / s) \cdot$

Xem đáp án

Chọn A

Vì $s = \frac{1}{3} t^{3} - t^{2} + 9 t \Rightarrow v = t^{2} - 2 t + 9$ .

Xét hàm $f (t) = t^{2} - 2 t + 9 \Rightarrow f^{'} (t) = 2 t - 2 = 0 \Rightarrow t = 1$ .

BBT của hàm số $f (t) = t^{2} - 2 t + 9$

Một vật chuyển động theo quy luật s = 1/3 t^3 - t^2 + 9t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu (ảnh 1)

Dựa vào BBT ta thấy: $\max_{[0; 10]} f (t) = f (10) = 89$ .

Vậy vận tốc của vật đạt được lớn nhất bằng 89 (m/s)

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a Gọi M là trung điểm của CD. Tính khoảng cách từ M đến (SAB)

A. $a \sqrt{2} \cdot$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot$

C. a

D. 2a

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a Gọi M là trung điểm của CD. Tính khoảng cách từ M đến (SAB) (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm AB nên ta có

M H ⊥ A B \Rightarrow M H ⊥ (S A B) \Rightarrow d (M, (S A B)) = M H = a

Câu 4:

Cho a là số thực dương khác 1. Giá trị của biểu thức

\log_{a} (\frac{a^{2} \sqrt[3]{a^{2}} \sqrt[5]{a^{4}}}{\sqrt[15]{a^{7}}})

bằng

A. 3

B. $\frac{9}{5} \cdot$

C. $\frac{12}{5} \cdot$

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

\log_{a} (\frac{a^{2} \sqrt[3]{a^{2}} \sqrt[5]{a^{4}}}{\sqrt[15]{a^{7}}}) = \log_{a} (\frac{a^{2} a^{\frac{2}{3}} a^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{7}{15}}}) = \log_{a} \frac{a^{\frac{52}{15}}}{a^{\frac{7}{15}}} = \frac{52}{15} - \frac{7}{15} = 3

Câu 5:

Biết phương trình

\log_{9}^{2} x + \log_{3} \frac{x}{27} = 0

có hai nghiệm

x_{1}, x_{2}

với

x_{1} < x_{2}

. Hiệu

x_{2} - x_{1}

bằng

A. $\frac{80}{3}$

B. $\frac{6560}{729}$

C. $\frac{80}{27}$

D. $\frac{6560}{27}$

Xem đáp án

Chọn B

Điều kiện: x > 0.

Ta có $\log_{9}^{2} x + \log_{3} \frac{x}{27} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \log_{3}^{2} x + \log_{3} x - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{3} x = 2 \\ \log_{3} x = - 6 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 9 \\ x = \frac{1}{729} \end{array}$ .

Ta có $x_{2} - x_{1} = 9 - \frac{1}{729} = \frac{6560}{729}$ .

Câu 6:

Với a là số thực thoả mãn

0 < a \neq 1

, giá trị biểu thức

a^{3 \log_{a} 2}

bằng

A. 2

B. 3

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

a^{3 \log_{a} 2} = {(a^{\log_{a} 2})}^{3} = 2^{3} = 8

Câu 7:

Hàm số

y = x^{4} - 2

nghịch biến trên khoảng nào?

A. $(\frac{1}{2}; + \infty)$

B. $(- \infty; \frac{1}{2})$

C. $(0; + \infty)$

D. $(- \infty; 0)$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $y^{'} = 4 x^{3}$ .

Giải phương trình $y^{'} < 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} < 0 \Leftrightarrow x < 0$ .

Vậy hàm số

y = x^{4} - 2

nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 0)

Câu 8:

Phương trình

\log_{2} (x + 1) = 4

có nghiệm là

A. x = 15

B. x = 16

C. x = 3

D. x = 4

Xem đáp án

Chọn A

$\log_{2} (x + 1) = 4 \Leftrightarrow x + 1 = 2^{4} \Leftrightarrow x = 15.$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 15

Câu 9:

Hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x + 1

đạt cực tiểu tại điểm

A. x = -1

B. x = 3

C. x = 1

D. x = -3

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $y^{'} = x^{2} + 2 x - 3$ và ${y^{'}}^{'} = 2 x + 2$ .

Phương trình $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 3. \end{array}$ .

Vì ${y^{'}}^{'} (1) = 4 > 0$ nên x = 1 là điểm cực tiểu.

Câu 10:

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?

A. $y = - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 1$

B. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

C. $y = x^{3} - 3 x^{2} - 1$

D. $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Chọn B

Đường cong có dạng hàm bậc ba với a > 0 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

nên là đồ thị của hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} + 1

Câu 11:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?

A. $y = \frac{x - 2}{x + 1}$

B. $y = 3 x^{3} + 3 x - 2$

C. $y = x^{4} + 3 x^{2}$

D. $y = 2 x^{3} - 5 x + 1$

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ không xác định tại x = -1 nên không thể đồng biến trên R => loại A.

Hàm số $y = 3 x^{3} + 3 x - 2 \Rightarrow y^{'} = 9 x^{2} + 3 > 0, \forall x \in ℝ$ . Do đó, hàm số $y = 3 x^{3} + 3 x - 2$ luôn đồng biến trên R.

Hàm số $y = x^{4} + 3 x^{2} \Rightarrow y^{'} = 4 x^{3} + 6 x; y^{'} = 0$ có một nghiệm duy nhất x = 0 và đổi dấu khi đi qua nghiệm đó nên không thể đồng biến trên R => loại C.

Hàm số $y = 2 x^{3} - 5 x + 1 \Rightarrow y^{'} = 6 x^{2} - 5; y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu khi đi qua hai nghiệm đó nên không thể đồng biến trên R => loại D.

Câu 12:

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Gọi a là góc giữa mặt bên và mặt đáy. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $cos α = \frac{\sqrt{14}}{14}$

B. $cos α = \frac{\sqrt{2}}{4}$

C. $cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $cos α = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Gọi a là góc giữa mặt bên và mặt đáy. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó, $\{\begin{cases} O M ⊥ B C \\ S M ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow$ góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABCD) chính là góc $\hat{S M O}$ .

Xét tam giác SMO vuông tại O có $O M = \frac{A B}{2} = a; S M = \sqrt{S B^{2} - B M^{2}} = 2 a \sqrt{2} .$

Do đó, $cos α = \cos \hat{S M O} = \frac{O M}{S M} = \frac{a}{2 a \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

Câu 13:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V = 32. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Thể tích khối đa diện MNPQABCD bằng

A. 28

B. 16

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Chọn A

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V = 32. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Thể tích khối đa diện MNPQABCD bằng (ảnh 1)

\frac{V_{S . M N P}}{V_{S . A B C}} = \frac{1}{8}, \frac{V_{S . M P Q}}{V_{S . A C D}} = \frac{1}{8} \Rightarrow V_{S . M N P} = \frac{1}{8} V_{S . A B C}, V_{S . M P Q} = \frac{1}{8} V_{S . A C D} \Rightarrow V_{S . M N P} + V_{S . M P Q} = \frac{1}{8} (V_{S . A B C} + V_{S . A C D}) = \frac{1}{8} V = V_{S . M N P Q} \Rightarrow V_{M N P Q A B C D} = V - V_{S . A B C D} = V - \frac{1}{8} V = \frac{7}{8} V = \frac{7}{8} \cdot 32 = 28.

Câu 14:

Tính thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là

A. $V = B h \cdot$

B. $V = \frac{1}{6} B h \cdot$

C. $V = \frac{1}{2} B h \cdot$

D. $V = \frac{1}{3} B h \cdot$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 15:

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', biết rằng thể tích khối chóp A'.AB'C bằng 9 (đvdt). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho

A. $V = 1 (đ v d t) .$

B. $V = 27 (đ v d t) .$

C. $V = \frac{3}{2} (đ v d t) .$

D. $V = \frac{3}{4} (đ v d t) .$

Xem đáp án

Chọn B

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', biết rằng thể tích khối chóp A'.AB'C bằng 9 (đvdt). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho (ảnh 1)

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A^{'} B^{'} C^{'}} . d (A, (A^{'} B^{'} C^{'})) = 3. \frac{1}{3} S_{Δ A^{'} B^{'} C^{'}} . d (A, (A^{'} B^{'} C^{'})) = 3. V_{A . A^{'} B^{'} C^{'}} = 3. V_{A^{'} . A B^{'} C^{'}} = 3.9 = 27.

Câu 16:

Hàm số

f (x) = \log_{2} (x^{2} - 2)

có đạo hàm là

A. $f^{'} (x) = \frac{1}{(x^{2} - 2) \ln 2} \cdot$

B. $f^{'} (x) = \frac{\ln 2}{(x^{2} - 2)} \cdot$

C. $f^{'} (x) = \frac{2 x \ln 2}{(x^{2} - 3)} \cdot$

D. $f^{'} (x) = \frac{2 x}{(x^{2} - 2) \ln 2} \cdot$

Xem đáp án

Chọn D

Áp dụng công thức

{(\log_{a} u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u \ln a} \cdot

{(\log_{2} (x^{2} - 2))}^{'} = \frac{{(x^{2} - 2)}^{'}}{(x^{2} - 2) \ln 2} = \frac{2 x}{(x^{2} - 2) \ln 2} \cdot

Câu 17:

Một phòng có 12 người. Cần lập một tổ đi công tác gồm 3 người, một người là tổ trưởng, một người làm tổ phó và một người làm thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập?

A. 1320

B. 1230

C. 220

D. 1728

Xem đáp án

Chọn C

Số cách chọn

A_{12}^{3} = 1320

Câu 18:

Cho đa giác đều P gồm 16 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh là đỉnh của P. Tính xác suất để tam giác chọn được là tam giác vuông.

A. $\frac{3}{14}$

B. $\frac{1}{5}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{6}{7}$

Xem đáp án

Chọn B

Số tam giác tạo thành khi chọn ngẫu nhiên 3 điểm là: $|Ω| = C_{16}^{3} = 560$

Gọi A là biến cố: “tam giác chọn được là tam giác vuông”

Số đường chéo đi qua tâm là 8 => số hình chữ nhật nhận 2 đường chéo đi qua tâm làm 2 đường chéo là: $C_{8}^{2} = 28$ .

Số tam giác vuông được tạo thành là:

n_{A} = 4 C_{8}^{2} = 112

\Rightarrow P_{A} = \frac{n_{A}}{|Ω|} = \frac{1}{5}

Câu 19:

Biết rằng đồ thị hàm số

y = x^{4} - 2 a x^{2} + b

có một điểm cực trị (1;2). Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của độ thị đã cho.

A. $\sqrt{5}$

B. $\sqrt{2}$

C. 2

D. $\sqrt{26}$

Xem đáp án

Chọn B

TXĐ: R

Ta có: $y' = 4 x^{3} - 4 a x$ , xét $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = a \end{array}$

Vì đồ thị hàm số có một điểm cực trị là (1;2) nên a = 1

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \end{array}$ thế vào phương trình $y = x^{4} - 2 a x^{2} + b$ ta có $[\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = b \\ x = 1 \Rightarrow y = b - 1 \\ x = - 1 \Rightarrow y = b - 1 \end{array}$

Mà (1;2) là một điểm cực trị nên $b - 1 = 2 \Rightarrow b = 3$

Vậy đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ có điểm CĐ A(0 ; 3) và hai điểm CT $B (1; 2); C (- 1; 2)$

Khoảng cách giữa điểm CĐ và điểm CT của đồ thị hàm số đã cho là

A B = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}

Câu 20:

Đạo hàm của hàm số

y = 4^{x^{2} + x + 1}

A. $y' = (2 x + 1) 4^{x^{2} + x + 1} . \ln 2$

B. $y' = (2 x + 1) 4^{x^{2} + x + 1} . \ln 4$

C. $y' = \frac{(2 x + 1) 4^{x^{2} + x + 1}}{\ln 4}$

D. $y' = 4^{x^{2} + x + 1} . \ln 2$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

(a^{u})' = u' . a^{u} . \ln a

\Rightarrow y' = (4^{x^{2} + x + 1})' = (2 x + 1) 4^{x^{2} + x + 1} . \ln 4

Câu 21:

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x + 5}

?

A. x = -1

B. x = 1

C. y = 2

D. y = -1

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 1}{x + 5} = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{5}{x}} = 2$ ; $\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1}{x + 5} = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{5}{x}} = 2$ .

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2

Câu 22:

Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng 1. Mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 1. Khoảng cách từ tâm của đáy tới mặt phẳng (P) bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{3} .$

B. $\frac{\sqrt{7}}{7} .$

C. $\frac{\sqrt{21}}{7} .$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng 1. Mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 1. Khoảng cách từ tâm của đáy tới mặt phẳng (P) bằng (ảnh 1)

Gọi thiết diện qua đỉnh là tam giác vuông cân SAB và gọi H là trung điểm AB.

Kẻ $O K ⊥ S H \Rightarrow d (O, (S A B)) = O K$

Ta có SO = 1; OA = 1; $A B = 1 \Rightarrow H A = \frac{1}{2}$ .

Trong tam giác AHO có $O H = \sqrt{O A^{2} - H A^{2}} = \sqrt{1^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Trong tam giác SOH có $\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O H^{2}} = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} \Rightarrow O K^{2} = \frac{3}{7} \Rightarrow O K = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .

Vậy $d (O, (S A B)) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Câu 23:

Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,4%/ tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền ( cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi?

A. $102423000$ (đồng)

B. $102160000$ (đồng)

C. $102017000$ (đồng)

D. $102424000$ (đồng)

Xem đáp án

Chọn D

Sau 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền là

100000000. {(1 + 0, 4 %)}^{6} \approx 102424000

(đồng).

Câu 24:

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x + 2022}{x - 1}$ có phương trình là

A. x = 1

B. x = 3

C. y = 3

D. y = 1

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} y = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{3 x + 2022}{x - 1} = + \infty; \lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{3 x + 2022}{x - 1} = - \infty$ .

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 1

Câu 25:

Trên đoạn [-2;1], hàm số

y = x^{3} + 3 x^{2} - 1

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A. x = -2

B. x = -1

C. x = 0

D. x = 1

Xem đáp án

Chọn C

Đạo hàm $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \in [- 2; 1] \\ x = - 2 \in [- 2; 1] \end{array}$ .

$y (- 2) = 3, y (1) = 3, y (0) = - 1$ .

Vậy trên [-2;1], hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0

Câu 26:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = (x - 1) (x^{2} - 3 x + 3), \forall x \in ℝ$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; - 1)$

B. (1;3)

C. (-1;3)

D. $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A

Vì $x^{2} - 3 x + 3 > 0, \forall x \in ℝ$ nên $f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow x < 1$ .

Suy ra hàm số nghịch biến trên

(- \infty; 1)

, do đó hàm số cũng nghịch biến trên

(- \infty; - 1)

Câu 27:

Cho $α, β$ là các số thực. Đồ thị các hàm số $y = x^{α}, y = x^{β}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ được cho trong hình vẽ bên.

Cho anpha, beta là các số thực. Đồ thị các hàm số y = x^anpha, y = x ^ beta trên khoảng 0 đến dương vô cùng được cho trong hình vẽ bên. (ảnh 1)

A. $β < 0 < 1 < α$

B. $α < 0 < 1 < β$

C. $0 < β < 1 < α$

D. $0 < α < β < 1$

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào đồ thị, suy ra

0 < β < 1 < α

Câu 28:

Hình tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 2

B. 4

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Chọn D

Hình tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? (ảnh 1)

Mỗi mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện là một mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều. Do đó tứ điện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.

Câu 29:

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước bằng

a, a \sqrt{2}, a \sqrt{3}

là

A. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3} \cdot$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{2} \cdot$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6} \cdot$

D. $a^{3} \sqrt{6} \cdot$

Xem đáp án

Chọn D

Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = a . a \sqrt{2} . a \sqrt{3} = a^{3} \sqrt{6} \cdot

Câu 30:

Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng cạnh a

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} \cdot$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} \cdot$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} \cdot$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} \cdot$

Xem đáp án

Chọn C

Vì đáy là tam giác đều nên $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Vậy

V = S . h = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .

Câu 31:

Cho a, b là các số thực thoã mãn

{(\sqrt{2} - 1)}^{a} > {(\sqrt{2} - 1)}^{b}

. Kết luận nào sau đây đúng?

A. a > b

B. a = b

C. a < b

D. $a \geq b \cdot$

Xem đáp án

Chọn C

Vì

0 < \sqrt{2} - 1 < 1

nên ta có

{(\sqrt{2} - 1)}^{a} > {(\sqrt{2} - 1)}^{b} \Leftrightarrow a < b .

Câu 32:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị đạo hàm y = f'(x) như hình sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

A. (1;2)

B. (3;4)

C. (2;3)

D. (-1;0)

Xem đáp án

Chọn A

Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi $f' (x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2.$

Vậy hàm số nghịch biến trên $(1; 2) .$

Câu 33:

Tìm tập xác định D của hàm số

y = {(x^{2} - 3 x)}^{- 4}

A. $D = ℝ \ \{0; 3\}$

B. $D = (- \infty; 0) \cup (3; + \infty)$

C. D = R

D. (0;3)

Xem đáp án

Chọn A

Hàm số xác định khi và chỉ khi $x^{2} - 3 x \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Vậy tập xác định

D = ℝ \ \{0; 3\}

Câu 34:

Tổng các nghiệm của phương trình

3^{x^{2} - 3 x} = \frac{1}{9}

bằng

A. 3

B. 4

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $3^{x^{2} - 3 x} = \frac{1}{9} = 3^{- 2} \Leftrightarrow x^{2} - 3 x = - 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \end{array}$

Vậy tổng các nghiệm là 3

Câu 35:

Có bao nhiêu giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x - 3$ với trục Ox

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x - 3$ với trục Ox

$x^{3} + 3 x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = a \in (0; 1)$

Vậy đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x - 3$ cắt trục Ox tại một điểm.

Câu 36:

Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên dưới. Hỏi hàm số

g (x) = f (x^{2} - 5)

có bao nhiêu khoảng nghịch biến?

A. 3

B. 2

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $g' (x) = 2 x . f' (x^{2} - 5) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} - 5 = - 4 \\ x^{2} - 5 = - 1 \\ x^{2} - 5 = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ x = \pm \sqrt{7} \end{array}$

Bảng xét dấu g'(x)

Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên dưới. Hỏi hàm số g(x) = f(x^2 - 5) có bao nhiêu khoảng nghịch biến? (ảnh 2)

Vậy hàm số g(x) có 4 khoảng nghịch biến.

Câu 37:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $g (x) = |f (x) - 3 m|$ có 5 điểm cực trị?

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $h (x) = f (x) - 3 m$ . Số cực trị của hàm số $g (x) = |h (x)|$ bằng tổng số cực trị của hàm h(x) và số nghiệm đơn của phương trình h(x) = 0.

+ Ta có hàm f(x) có 2 điểm cực tri nên hàm h(x) cũng có 2 điểm cực trị.

+ Xét phương trình $h (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) = 3 m$ (1).

Để hàm g(x) có 5 điểm cực trị thì phương trình (1) có 3 nghiệm đơn

\Leftrightarrow 4 < 3 m < 11 \Leftrightarrow \frac{4}{3} < m < \frac{11}{3}

. Vì m là số nguyên nên

m \in \{2; 3\}

Câu 38:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2 ; $A C = \sqrt{3}$ . Góc $\hat{C A A'} = 90^{0}$ , $\hat{B A A'} = 120^{0}$ . Gọi M là trung điểm cạnh BB'. Biết CM vuông góc với A'B, tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

A. $V = \frac{1 + \sqrt{33}}{8} .$

B. $V = \frac{1 + \sqrt{33}}{4} .$

C. $V = \frac{3 (1 + \sqrt{33})}{4} .$

D. $V = \frac{3 (1 + \sqrt{33})}{8} .$

Xem đáp án

Chọn C

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2 ; AC = căn bậc hai 3 Góc CAA' = 90 độ, góc BAA' = 120 độ (ảnh 1)

Đặt $A' A = x (x > 0)$ . Ta có $\{\begin{cases} C A ⊥ A B \\ C A ⊥ A A' \end{cases} \Rightarrow C A ⊥ (A B B' A') \Rightarrow C A ⊥ A' B$

Lại có $A' B ⊥ C M$ nên $A' B ⊥ (C M A) \Rightarrow A' B ⊥ A M$ .

Xét tam giác BAA' có $A B = 2, A A' = x$ và $\hat{B A A'} = 120^{0}$ . Theo Định lý hàm số cos ta có

$A' B = \sqrt{x^{2} + 2^{2} - 2. x .2. c o s 120^{0}} = \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} \Rightarrow I A' = \frac{2}{3} A' B = \frac{2}{3} \sqrt{x^{2} + 2 x + 4}$

Xét tam giác ABM có $A B = 2, B M = \frac{x}{2}$ và $\hat{M B A} = 60^{0}$ . Theo Định lý hàm số cos ta có

$A M = \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} + 2^{2} - 2. \frac{x}{2} .2. c o s 60^{0}} = \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - x + 4} \Rightarrow I A = \frac{2}{3} A M = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - x + 4}$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông A'IA có $I A'^{2} + I A^{2} = A' A^{2} \Leftrightarrow \frac{4}{9} (x^{2} + 2 x + 4) + \frac{4}{9} (\frac{x^{2}}{4} - x + 4) = x^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{4}{9} x^{2} - \frac{4}{9} x - \frac{32}{9} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ (Do x > 0)

Xét tứ diện C.ABA' có $C A ⊥ (A B A')$ nên $V_{C . A B A'} = \frac{1}{3} S_{Δ A B A'} . C A = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} A B . A A' . \sin 120^{0} . \sqrt{3} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} .2. (\frac{1 + \sqrt{33}}{2}) . \frac{\sqrt{3}}{2} . \sqrt{3} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

Vậy $V_{A B C . A' B' C'} = 3. V_{C . A B A'} = \frac{3 (1 + \sqrt{33})}{4} .$

Câu 39:

Cho khối chóp S.ABC có

\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 60 °

, SA = a, SB = 2a, SC = 4a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{8 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{4 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi B', C' lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh SB, SC sao cho SB' = SC' = SA = a.

Khi đó, ta có SAB'C' là tứ diện đều cạnh a, suy ra $V_{S A B' C'} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ .

Lại có: $\frac{V_{S . A B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S B'}{S B} . \frac{S C'}{S C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$ .

Suy ra

V_{S . A B C} = 8 V_{S . A B' C'} = 8. \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}

Câu 40:

Giả sử phương trình $25^{x} + 15^{x} = {6.9}^{x}$ có một nghiệm duy nhất được viết dưới dạng $\frac{a}{\log_{b} c - \log_{b} d}$ với a là số nguyên dương và b, c, d là các số nguyên tố. Tính $S = a^{2} + b + c + d$ .

A. S = 14

B. S = 11

C. S = 19

D. S = 12

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $25^{x} + 15^{x} = {6.9}^{x} \Leftrightarrow 5^{2 x} + {(3.5)}^{x} - {6.3}^{2 x} = 0 \Leftrightarrow {(\frac{5}{3})}^{2 x} + {(\frac{5}{3})}^{x} - 6 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(\frac{5}{3})}^{x} = 2 \\ {(\frac{5}{3})}^{x} = - 3 (p t v n) \end{array} \Leftrightarrow x = \log_{\frac{5}{3}} 2 = \frac{\log_{2} 2}{\log_{2} \frac{5}{3}} = \frac{1}{\log_{2} 5 - \log_{2} 3}$ .

Từ đây suy ra

a = 1, b = 2, c = 5, d = 3

. Vậy

S = 1^{2} + 2 + 5 + 3 = 11

Câu 41:

Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn [-2022;2022] của tham số m để đồ thị hàm số

y = \frac{\sqrt{x - 3}}{x^{2} + x - m}

có đúng hai đường tiệm cận.

A. 2010

B. 2008

C. 2009

D. 2011

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 3 \\ x^{2} + x - m \neq 0 \end{cases}$

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = 0 \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang

Suy ra, đồ thị hàm số đã cho có đúng 2 tiệm cận $|\Leftrightarrow x^{2} + x - m = 0|$ (1) có đúng 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng 3. (2)

Xét (1) $\Leftrightarrow x^{2} + x = m$

$h (x) = x^{2} + x; h^{'} (x) = 2 x + 1 h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$

Bảng biến thiên

Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn [-2022;2022] của tham số m để đồ thị hàm số y = căn bậc hai x - 3 / x^2 + x - m có đúng hai đường tiệm cận. (ảnh 1)

Từ BBT suy ra

(2) $\Leftrightarrow m \geq 12$

Mà $m \in ℤ; m \in [- 2022; 2022]$ nên $m \in \{12; ......; 2022\}$

Vậy số giá trị nguyên thoả ycbt là: 2022 - 12 + 1 = 2011.

Câu 42:

Có tất cả bao nhiêu bộ ba số thực (x; y; z) thoả mãn đồng thời các điều kiện dưới đây $2^{\sqrt[3]{x^{2}}} {.4}^{\sqrt[3]{y^{2}}} {.16}^{\sqrt[3]{z^{2}}} = 128$ và ${(x y^{2} + z^{4})}^{2} = 4 + {(x y^{2} - z^{4})}^{2}$

A. 4

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

● ${(x y^{2} + z^{4})}^{2} = 4 + {(x y^{2} - z^{4})}^{2} \Leftrightarrow {(x y^{2} + z^{4})}^{2} - {(x y^{2} - z^{4})}^{2} = 4$

$\Leftrightarrow (x y^{2} + z^{4} - x y^{2} + z^{4}) (x y^{2} + z^{4} + x y^{2} - z^{4}) = 4$

$\Leftrightarrow 2 z^{4} .2 x y^{2} = 4 \Leftrightarrow x y^{2} . z^{4} = 1$ (1)

● $2^{\sqrt[3]{x^{2}}} {.4}^{\sqrt[3]{y^{2}}} {.16}^{\sqrt[3]{z^{2}}} = 128$

$\Leftrightarrow 2^{\sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{y^{2}} + 4 \sqrt[3]{z^{2}}} = 2^{7} \Leftrightarrow \sqrt[3]{x^{2}} + 2 \sqrt[3]{y^{2}} + 4 \sqrt[3]{z^{2}} = 7 \Leftrightarrow 7 \geq 7 \sqrt[7]{\sqrt[3]{x^{2} . y^{4} . z^{8}}} \Leftrightarrow x^{2} . y^{4} . z^{8} \leq 1$

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^{2}} = \sqrt[3]{y^{2}} = \sqrt[3]{z^{2}} = 1 \Leftrightarrow x^{2} = y {}^{2}= z^{2} = 1$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} = y {}^{2}= z^{2} = 1 \\ x . y^{2} . z^{4} = 1 \end{cases} (*)$

Suy ra $x . x^{2} . x^{4} = 1 \Leftrightarrow x^{7} = 1 \Leftrightarrow x = 1$

$\begin{array}{l} (*) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y^{2} = 1 \\ z^{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ [\begin{array}{l} y = 1 \\ y = - 1 \end{array} \\ [\begin{array}{l} z = 1 \\ z = - 1 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = - 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 1 \\ z = 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 1 \\ z = - 1 \end{cases} \end{cases} \end{array}$

<=> có 4 bộ (x; y; z) thoả yêu cầu bài toán.

Câu 43:

Cho hình chóp tứ giác có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Tính theo a thể tích của khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chóp đã cho

A. $\frac{a^{3}}{12}$

B. $\frac{5 a^{3}}{12}$

C. $\frac{5 a^{3}}{24}$

D. $\frac{3 a^{3}}{8}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp tứ giác có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Tính theo a thể tích của khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chóp đã cho (ảnh 1)

Gọi (H) là khối đa diện thoả mãn (Các trung điểm như hình vẽ)

Ta có

V_{(H)} = V_{S . A B C D} - V_{S . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} - 4 V_{B^{'} . B E F} = \frac{2 a^{3}}{3} - \frac{a^{3}}{12} - 4. \frac{a^{3}}{24} = \frac{5 a^{3}}{12}

Câu 44:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

A B = a, A D = 2 a, S A ⊥ (A B C D)

và SA = a. Gọi N là trung điểm của CD. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBN)

A. $\frac{a \sqrt{33}}{33}$

B. $\frac{4 a \sqrt{33}}{33}$

C. $\frac{a \sqrt{33}}{11}$

D. $\frac{2 a \sqrt{33}}{33}$

Xem đáp án

Chọn B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA vuông góc mặt phẳng ABCD và SA = a. Gọi N là trung điểm của CD. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBN) (ảnh 1)

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BN và SH.

Khi đó $B N ⊥ A H, B N ⊥ S A \Rightarrow B N ⊥ A K$ , suy ra $A K ⊥ (S B N)$ hay $d (A, (S B N)) = A K$ .

Ta có $B N = \sqrt{{(2 a)}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{17}}{2}, S_{Δ A B N} = \frac{1}{2} S_{A B C D} = a^{2} \Rightarrow A H = \frac{2 S_{Δ A B N}}{B N} = \frac{4 a}{\sqrt{17}}$ .

Vậy

\frac{1}{A K^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{17}{16 a^{2}} = \frac{33}{16 a^{2}} \Rightarrow A K = \frac{4 a \sqrt{33}}{33}

Câu 45:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a, b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ

Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d (a, b, c, d thuộc R) có đồ thị như hình vẽ Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình (ảnh 1)

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f^{2} (x) - (m + 5) |f (x)| + 4 m + 4 = 0$ có 7 nghiệm phân biệt là

A. 3

B. 6

C. -6

D. 4

Xem đáp án

Chọn A

Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d (a, b, c, d thuộc R) có đồ thị như hình vẽ Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình (ảnh 2)

Dựa vào giả thiết ta vẽ được đồ thị hàm số $|f (x)|$ như bên trên

Ta có: $f^{2} (x) - (m + 5) |f (x)| + 4 m + 4 = 0 \Leftrightarrow (|f (x)| - 4) (|f (x) - m - 1|) = 0$

TH1: $|f (x)| = 4$ thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

TH2: $|f (x)| = m + 1$ theo yêu cầu bài toán thì phương trình cần có 4 nghiệm phân biệt, nên:

$0 < m + 1 < 4 \Leftrightarrow - 1 < m < 3$ . Do $m \in ℤ$ nên $m \in \{0; 1; 2\}$ .

Vậy tổng tất cả các giá trị của m bằng 3

Câu 46:

Khối tròn xoay sinh bởi một tam giác đều cạnh a (kể cả điểm trong) khi quay quanh một đường thẳng chứa một cạnh của tam giác có thể tích bằng

A. $\frac{π a^{3}}{4} .$

B. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

C. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{12} .$

D. $\frac{π a^{3}}{8} .$

Xem đáp án

Chọn A

Khối tròn xoay sinh bởi một tam giác đều cạnh a (kể cả điểm trong) khi quay quanh một đường thẳng chứa một cạnh của tam giác có thể tích bằng (ảnh 1)

Gọi D là trung điểm BC khi quay tam giác ABC quay quanh cạnh BC ta được hai hình nón đỉnh B và đỉnh C. Gọi thể tích hai khối nón đỉnh B, C lần lượt là $V_{1}, V_{2}$ .

Ta có: $B D = \frac{a}{2}, A D = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow V = 2 V_{1} = 2. \frac{1}{3} . π . A D^{2} . B D = \frac{π a^{3}}{4}$ .

Câu 47:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số

g (x) = f^{3} (x) + 3 f^{2} (x) + 2020

là

A. 3

B. 7

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $g (x) = f^{3} (x) + 3 f^{2} (x) + 2020$

$\Rightarrow g^{'} (x) = f^{'} (x) [3 f^{2} (x) + 6 f (x)] = 3 f^{'} (x) f (x) [f (x) + 2]$

Ta có $g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} f^{'} (x) = 0 \\ f (x) = 0 \\ f (x) = - 2 \end{matrix} (1)$ .

Kết hợp với bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy (1) có 5 nghiệm bội lẻ nên hàm số g(x) có 5 điểm cực trị.

Câu 48:

Cho y = f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

g (x) = f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - x

trên đoạn [-1;2] bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. $f (- 1) + \frac{2}{3}$

C. $f (2) + \frac{2}{3}$

D. $f (1) - \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $g (x) = f (x) + \frac{1}{3} x^{3} - x \Rightarrow g^{'} (x) = f^{'} (x) + x^{2} - 1$

Ta có $g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) + x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = - x^{2} + 1$

Xét sự tương giao giữa đồ của hàm số f'(x) và $- x^{2} + 1$ trên mặt phẳng tọa độ:

Cho y = f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ: Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(x) + 1/3 x^3 - x trên đoạn [-1;2] bằng (ảnh 2)

Từ hình vẽ ta thấy được $g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = - x^{2} + 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

Bảng biến thiên:

Cho y = f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ: Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(x) + 1/3 x^3 - x trên đoạn [-1;2] bằng (ảnh 3)

Vậy

\min_{x \in [- 1; 2]} g (x) = g (1) = f (1) - \frac{2}{3}

.

Câu 49:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng

(- 8; + \infty)

để phương trình

x^{2} + x (x - 1) 2^{x + m} + m = (2 x^{2} - x + m) {.2}^{x - x^{2}}

có nhiều hơn hai nghiĉ̣m phân biệt?

A. 8

B. 6

C. 7

D. 5

Xem đáp án

Chọn C

$(x^{2} + m) + (x^{2} - x) 2^{x^{2} + m - (x^{2} - x)} = [(x^{2} + m) + (x^{2} - x)] 2^{2 - x^{2}} (1) .$

Đặt $x^{2} + m = a, x^{2} - x = b$ ta có phương trình (1) trở thành

$a + b {.2}^{a - b} = (a + b) {.2}^{- b} \Leftrightarrow a {.2}^{b} + b {.2}^{a} = a + b \Leftrightarrow a (2^{b} - 1) + b (2^{a} - 1) = 0 (2) .$

Trường hợp 1: Nếu $a b \neq 0$ thì phương trình $(2) \Leftrightarrow \frac{2^{a} - 1}{a} + \frac{2^{b} - 1}{b} = 0 (3)$ .

$+ a > 0 \Rightarrow 2^{a} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{2^{a} - 1}{a} > 0.$

$+ a < 0 \Rightarrow 2^{a} - 1 < 0 \Rightarrow \frac{2^{a} - 1}{a} > 0$ . Do đó $\frac{2^{a} - 1}{a} > 0$ , với $a \neq 0$ .

Tương tự $\frac{2^{b} - 1}{b} > 0$ với $b \neq 0$ . Do vậy phương trình (3) vô nghiệm.

Trường hợp 2: Nếu ab = 0 thì $(1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = - m \\ x^{2} - x = 0 \end{array}$

Do m nguyên và $m \in (- 8; + \infty)$ nên $m = - 7, m = - 6, m = - 5, m = - 4, m = - 3, m = - 2, m = - 1$ . Do đó có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 50:

Tìm số các giá tri nguyên của tham số m thuộc khoảng (-20;20) đề hàm số

f (x) = \frac{1}{7} x^{7} + \frac{6}{5} x^{5} - \frac{m^{3}}{4} x^{4} + (5 - m^{2}) x^{3} - 3 m x^{2} + 10 x + 2020

đồng biến trên (0;1)

A. 19

B. 20

C. 21

D. 22

Xem đáp án

Chọn D

$f^{'} (x) = x^{6} + 6 x^{4} - m^{3} x^{3} + 3 (5 - m^{2}) x^{2} - 6 m x + 10 f^{'} (x) \geq 0 \Leftrightarrow x^{6} + 6 x^{4} - m^{3} x^{3} + 3 (5 - m^{2}) x^{2} - 6 m x + 10 \geq 0 \Leftrightarrow x^{6} + 6 x^{4} + 15 x^{2} + 10 \geq m^{3} x^{3} + 3 m^{2} x^{2} + 6 m x \Leftrightarrow {(x^{2} + 2)}^{3} + 3 (x^{2} + 2) \geq {(m x + 1)}^{3} + 3 (m x + 1)$

Đặt $g (t) = t^{3} + 3 t \Rightarrow g^{'} (t) = 3 t^{2} + 3 > 0 \forall t$ .

Do $g (x^{2} + 2) \geq g (m x + 1)$ và y = g(t) đồng biến nên ta được

$x^{2} + 2 \geq m x + 1, \forall x \in (0; 1) \Leftrightarrow m \leq x + \frac{1}{x}, \forall x \in (0; 1)$

$\Rightarrow m \leq \min_{[0; 1]} h (x)$ , với $h (x) = x + \frac{1}{x}$ .

$h' (x) = \frac{1 - x^{2}}{x^{2}} < 0, \forall x \in (0; 1) \Rightarrow \min_{[0; 1]} h (x) = h (1) = 2 \Rightarrow m \leq 2$ .

Do m nguyên và thuộc khoảng (-20;20) nên $m \in \{- 19; - 18; \dots; 1; 2\}$ .

Do đó có 22 giá trị của m.