Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 13)
-
166 lượt thi
-
49 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong không gian, cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AM thì đường gấp khúc ABC tạo thành một hình nón. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó
Đáp án đúng là: A
Ta có hình nón có bán kính đường tròn đáy , đường sinh .
Do đó diện tích xung quanh của hình nón là .
Câu 2:
Thể tích của khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh a và chiều cao 4a bằng
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Câu 3:
Họ các nguyên hàm của hàm số là
Đáp án đúng là: B
Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng , ta có:
.Câu 4:
Tập xác định của hàm số là
Đáp án đúng là: A
Điều kiện .
Vậy tập xác định của hàm số là
Câu 5:
Trong không gian Oxyz, vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nào sau đây?
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là: .
Câu 6:
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình bên?
Đáp án đúng là: B
Nhìn vào đồ thị là đồ thị của hàm số trùng phương bậc bốn.
Câu 7:
Trong không gian Oxyz, cho hai vec tơ và . Tính độ dài .
Đáp án đúng là: C
Ta có ; .
Suy ra .
Vậy .
Câu 8:
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 5 và chiều cao h = 6. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Đáp án đúng là: D
Thể tích khối lăng trụ: .Câu 11:
Với n là số nguyên dương bất kỳ, , công thức nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là: B
Công thức đúng là .
Câu 13:
Diện tích S của mặt cầu bán kính r được tính theo công thức nào dưới đây?
Đáp án đúng là: B
Diện tích mặt cầu bán kính r là .
Câu 14:
Diện tích S của mặt cầu bán kính r được tính theo công thức nào dưới đây?
Đáp án đúng là: B
Diện tích mặt cầu bán kính r là .
Câu 15:
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình và đi qua điểm M (1;1;0). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M?
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;1) và bán kính .
Để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M
.
Thử đáp án A ta có .
Do đó mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M.
Câu 16:
Cho cấp số cộng có số hạng đầu và công sai Giá trị của bằng
Đáp án đúng là: A
Ta có
Câu 18:
Phần ảo của số phức z = 3 – 4i bằng
Đáp án đúng là: A
Từ định nghĩa số phức, phần ảo của số phức z = 3 - 4i là -4.
Câu 19:
Đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sau đây?
Đáp án đúng là: A
Vì (hoặc ) nên đường thẳng là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .
Câu 20:
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là
Đáp án đúng là: B
Chọn ngẫu nhiên 2 số khác nhau từ 25 thẻ nên .
Gọi A là biến cố: “hai số có tổng là một số chẵn”.
- TH1: Chọn 2 số đều lẻ trong tổng số 13 số lẻ: cách chọn
- TH2: Chọn 2 số đều chẵn trong tổng số 12 số chẵn: cách chọn
.
Xác suất .
Câu 21:
Trên đoạn [0;2] hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào sau đây?
Đáp án đúng là: C
Ta có:
.
Khi đó: .
Vậy khi x = 2.
Câu 23:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) bằng
Đáp án đúng là: B
Gọi H là trung điểm AC.
Ta có
.
Câu 26:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm nào dưới đây?
Đáp án đúng là: B
Điểm N (1;-3;2) thuộc đường thẳng vì (thỏa mãn).
Câu 27:
Cho số phức z thỏa mãn (1 – 3i)z + 1 + 7i = 0. Tổng phần thực và phần ảo của z là
Đáp án đúng là: A
Ta có:
.
Vậy tổng phần thực và phần ảo của z là 2 + (-1) = 1.
Câu 28:
Tính tích phân bằng cách đặt mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: D
Đặt
Đổi cận ;
.
Khi đó ta có .
Câu 30:
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm nào sau đây?
Đáp án đúng là: C
Cho x = 0 ta được y = -2, suy ra đồ thị cắt trục Oy tại điểm Q (0;-2).
Câu 31:
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu . Tâm mặt cầu (S) có tọa độ là
Đáp án đúng là: C
Mặt cầu (S) có tâm I (-2;6;0).
Câu 32:
Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
Đáp án đúng là: C
Xét hàm số có tập xác định và .
Do đó hàm số này đồng biến trên .
Câu 34:
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là
Đáp án đúng là: D
Dựa vào bảng biến thiên ta có
Câu 35:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng
Đáp án đúng là: C
Ta có:
(Vì )
Nên suy ra .
Do đó .
Câu 36:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A (4;-3;2). Hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox, Oy, Oz theo thứ tự là M; N; P. Phương trình mặt phẳng (MNP) là
Đáp án đúng là: C
Ta có tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên các trục là .
Câu 37:
Cho hàm số có đồ thị là đường cong như hình vẽ.
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là
Đáp án đúng là: C
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là y = 2
Câu 38:
Đáp án đúng là: C
Gọi M,N lần lượt là điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng toa độ.
thuộc đường thẳng x + y - 3 = 0.
.
Gọi K là điểm biểu diễn số phức w .
=> K thuộc đường tròn tâm I (2;4), bán kính R = 1.
Đặt A (2;3). Ta có .
Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d
Dựng A" sao cho .
Ta có .
Mà .
Vậy .
Câu 39:
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: x > -25
T a có:
Bảng xét dấu
Vậy nên có 26 giá trị.
Câu 40:
Đáp án đúng là: B
Xét hàm số .
và .
Ta thấy f'(t) đổi dấu từ "-" sang "+" khi qua t = 0 nên .
Do đó .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi .
Hay
Đặt .
Ta có: .
Vì .
Lấy vế theo vế ta được:
Xét hàm số , có .
Yêu cầu bài toán có nghiệm
Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Câu 41:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y + z + 3 = 0, (Q): x + 2y – 2z – 5 = 0 và mặt cầu . Gọi M là điểm di động trên (S) và N là điểm di động trên (P) sao cho MN luôn vuông góc với (Q). Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng MN bằng
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;3) và bán kính R = 5.
Mặt phẳng (P) có VTPT , mặt phẳng (Q) có VTPT .
Đường thẳng đi qua hai điểm M,N nhận làm VTCP, luôn cắt (P), gọi là góc giữa và(P), H là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
Ta có
vuông tại H
.
.
Vậy giá trị lớn nhất của MN bằng
Câu 42:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, từ điểm A (1;1;0) ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có tâm I (-1;1;1), bán kính R =1. Gọi M (a;b;c) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Đáp án đúng là: D
Do AM là tiếp tuyến của mặt cầu (S) nên nên tam giác IAM vuông tại M
Xét , có:
=> M thuộc mặt cầu tâm A bán kính là 2.
Khi đó M thuộc đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu tâm I bán kính R=1 và mặt cầu tâm A bán kính R=2.
Ta có .
Gọi E là tâm đường tròn giao tuyến.
Khi đó: .
Xét có: .
=> M thuộc mặt cầu tâm bán kính hay .
Do .
Khi đó ta có được
.
Ta có .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
.
Câu 43:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có 10 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-3;3]?
Đáp án đúng là: C
Đặt . Vì suy ra .
Với mỗi giá trị cho ta 2 nghiệm .
Với mỗi giá trị cho ta 1 nghiệm .
Phương trình trở thành .
Xét hàm trên đoạn [0;4]
.
Do đó, hàm số có tối đa 3 cực trị trên đoạn [0;4].
Suy ra phương trình có tối đa 4 nghiệm t.
Giả sử cả 4 nghiệm t đó đều thuộc (0;2] thì cho tối đa 8 nghiệm x .
Theo yêu cầu bài toán ra 10 nghiệm nên không có m thỏa mãn yêu cầu.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Câu 44:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a và góc . Biết tứ giác BCC’B’ là hình thoi có nhọn, mặt phẳng (BCC’B’) vuông góc mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) bằng . Thể tích khối lăng trụ bằng
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Xét có
Xét có
Xét có
Do đó
Câu 45:
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới.
Gọi lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn và . và đồ thị luôn đi qua , trong đó là hàm số bậc hai có đồ thị qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x) và điểm M. Tính tỉ số ( và lần lượt là diện tích hai hình phẳng được tạo bởi đồ thị hai hàm như hình vẽ).
Đáp án đúng là: B
Khi ta tịnh tiến đồ thị sao cho khi đó diện tích hình phẳng không thay đổi.
đặt
.
Vì hàm số y = f(x) đạt cực trị tại và nên ta có hệ phương trình:
Mà hai đồ thị giao nhau tại 3 điểm nên ta có hệ phương trình:
Khi đó
.
Do đó .
Câu 46:
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Số nghiệm thực của phương trình là
Đáp án đúng là: D
Phương trình
* Phương trình .
* Phương trình .
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Dựa vào BBT trên ta có:
- Phương trình không có nghiệm thực.
- Phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt.
- Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
- Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
Vậy phương trình có 8 nghiệm thực phân biệt.
Câu 47:
Trên tập hợp số phức, xét phương trình là tham số thực). Gọi là một giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn . Trong khoảng (0;20) có bao nhiêu giá trị nguyên ?
Đáp án đúng là: B
Xét phương trình
Ta có: .
TH1: Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt .
Suy ra phương trình có hai nghiệm phức thỏa mãn: .
Ta có: (luôn đúng)
Vậy .
Mà .
TH2: Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt .
Ta có:
(vô lý)
Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.
Câu 48:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2;1;3), B (6;5;5). Xét khối nón (N) ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB có B là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi S là đỉnh của khối nón (N). Khi thể tích khối nón (N) nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh S và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) có phương trình 2x + by + cz + d = 0. Tính T = b + c + d.
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu (S) đường kính AB có tâm I (4;3;4), bán kính .
Giả sử thiết diện qua trục hình nón là tam giác SMN.
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón (h > 6).
I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác SMN ta có:
.
Thể tích khối nón là .
.
Bảng biến thiên
V đạt giá trị nhỏ nhất .
Ta có .
Phương trình mặt phẳng (P) qua S (-2;-3;1), có vectơ pháp tuyến là .
Suy ra b = 2; c = 1; d = 9.
Vậy T = b + c + d = 12.
Câu 49:
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên . Biết f(5) = 1 và , khi đó bằng
Đáp án đúng là: A
Ta có
Đặt
Đổi cận:
Ta được
Suy ra .
Gọi
Đặt .