49 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 13)

Câu 1:

Trong không gian, cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AM thì đường gấp khúc ABC tạo thành một hình nón. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó

A. $S_{x q} = 2 π a^{2}$

B. $S_{x q} = 4 π a^{2}$

C. $S_{x q} = 6 π a^{2}$

D. $S_{x q} = 8 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có hình nón có bán kính đường tròn đáy $r = B M = a$ , đường sinh $l = A B = 2 a$ .

Do đó diện tích xung quanh của hình nón là . $S_{x q} = π r l = 2 π a^{2}$

Câu 2:

Thể tích của khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh a và chiều cao 4a bằng

A. $a^{3} \sqrt{3}$

B. $4 a^{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{4}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} 4 a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Câu 3:

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{2 x + 3}$ là

A. $\int f (x) d x = \frac{1}{3} e^{2 x + 3} + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{1}{2} e^{2 x + 3} + C$

C. $\int f (x) d x = e^{2 x + 3} + C$

D. $\int f (x) d x = 2 e^{2 x + 3} + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng $\int e^{a x + b} d x = \frac{1}{a} e^{a x + b} + C$ , ta có: $\int e^{2 x + 3} d x = \frac{1}{2} e^{2 x + 3} + C$

.

Câu 4:

Tập xác định của hàm số $y = {(x + 2)}^{\frac{3}{4}}$ là

A. $(- 2; + \infty)$

B. $[- 2; + \infty)$

C. $ℝ$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Điều kiện $x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > - 2$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $D = (- 2; + \infty)$

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, vectơ $\vec{n} = (1; - 1; - 3)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nào sau đây?

A. $x + y - 3 z - 3 = 0$

B. $x - y + 3 z - 3 = 0$

C. $x - y - 3 z - 3 = 0$

D. $x - 3 z - 3 = 0$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng $(P) : x - y - 3 z - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là: $\vec{n} = (1; - 1; - 3)$ .

Câu 6:

Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình bên?

A. $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

C. $y = x^{3} - 2 x^{2} - 1$

D. $y = - x^{2} + 2 x - 1$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Nhìn vào đồ thị là đồ thị của hàm số trùng phương bậc bốn.

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho hai vec tơ $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và $\vec{v} = (2; 0; - 1)$ . Tính độ dài $|\vec{u} + 2 \vec{v}|$ .

A. 2

B. $2 \sqrt{2}$

C. $\sqrt{30}$

D. $\sqrt{22}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $|\vec{u}| = \sqrt{2}; |\vec{v}| = \sqrt{5}$ ; $\vec{u} \vec{v} = 1.2 + 1.0 + 0. (- 1) = 2$ .

Suy ra ${|\vec{u} + 2 \vec{v}|}^{2} = {|\vec{u}|}^{2} + 4 \vec{u} \vec{v} + 4 {|\vec{v}|}^{2} = 2 + 4.2 + 4.5 = 30$ .

Vậy $|\vec{u} + 2 \vec{v}| = \sqrt{30}$ .

Câu 8:

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 5 và chiều cao h = 6. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. 15

B. 10

C. 180

D. 30

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Thể tích khối lăng trụ:

V = B . h = 5.6 = 30

.

Câu 9:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} x < 2$ là

A. $(0; 9)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(9; + \infty)$

D. $(- \infty; 9)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\log_{3} x < 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x < 3^{2} \end{cases} \Leftrightarrow 0 < x < 9$ .

Câu 10:

Nếu

\int_{0}^{1} f (x) d x = 3

và

\int_{0}^{3} f (x) d x = - 2

thì

\int_{1}^{3} f (x) d x

bằng

A. -6

B. -5

C. 5

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{3} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x = - 5$ .

Câu 11:

Với n là số nguyên dương bất kỳ, $n \geq 3$ , công thức nào sau đây đúng?

A. $A_{n}^{3} = \frac{n!}{3! (n - 3)!}$

B. $A_{n}^{3} = \frac{n!}{(n - 3)!}$

C. $A_{n}^{3} = \frac{(n - 3)!}{n!}$

D. $A_{n}^{3} = \frac{3! (n - 3)!}{n!}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Công thức đúng là $A_{n}^{3} = \frac{n!}{(n - 3)!}$ .

Câu 12:

Phương trình $\log (4 x + 1) = \log (2 x + 5)$ có nghiệm là

A. x = 2

B. x = 1

C. x = 3

D. x = -1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A
$\log (4 x + 1) = \log (2 x + 5) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 5 > 0 \\ 4 x + 1 = 2 x + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - \frac{5}{2} \\ x = 2 \end{cases} \Leftrightarrow x = 2$ .

Câu 13:

Diện tích S của mặt cầu bán kính r được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $S = π r^{2}$

B. $S = 4 π r^{2}$

C. $S = 2 π r^{2}$

D. $S = \frac{4}{3} π r^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Diện tích mặt cầu bán kính r là $S = 4 π r^{2}$ .

Câu 14:

Diện tích S của mặt cầu bán kính r được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $S = π r^{2}$

B. $S = 4 π r^{2}$

C. $S = 2 π r^{2}$

D. $S = \frac{4}{3} π r^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Diện tích mặt cầu bán kính r là $S = 4 π r^{2}$ .

Câu 15:

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z - 4 = 0$ và đi qua điểm M (1;1;0). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M?

A. $3 y + z - 3 = 0$

B. $2 x + 3 y + z - 5 = 0$

C. $3 y + z - 2 = 0$

D. $2 x + 3 y + z + 5 = 0$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;1) và bán kính $R = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2} - (- 4)} = \sqrt{10}$ .

Để mặt phẳng $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M

$\Leftrightarrow d (I; (α)) = R$ .

Thử đáp án A ta có $d (I; (α)) = \frac{|3. (- 2) + (- 1) - 3|}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{10} = R$ .

Do đó mặt phẳng $3 y + z - 3 = 0$ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M.

Câu 16:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 2$ và công sai $d = 5.$ Giá trị của $u_{4}$ bằng

A. 17

B. 250

C. 12

D. 22

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $u_{4} = u_{1} + 3 d = 2 + 3.5 = 17.$

Câu 17:

Nếu $\int_{0}^{1} [f (x) + 2 x] d x = 2$ thì $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

A. 4

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int_{0}^{1} [f (x) + 2 x] d x = 2$ $\Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{1} 2 x d x = 2$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x + 1 = 2 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = 1$ .

Câu 18:

Phần ảo của số phức z = 3 – 4i bằng

A. -4

B. 4

C. 3

D. -4i

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Từ định nghĩa số phức, phần ảo của số phức z = 3 - 4i là -4.

Câu 19:

Đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sau đây?

A. $y = \frac{x}{x - 2}$

B. $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

C. $y = \frac{x - 2}{x + 2}$

D. $y = \frac{- 2 x + 3}{- x + 1} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Vì $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{x - 2} = + \infty$ (hoặc $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x}{x - 2} = - \infty$ ) nên đường thẳng $x = 2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x - 2}$ .

Câu 20:

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là

A. $\frac{313}{625}$

B. $\frac{12}{25}$

C. $\frac{13}{25}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Chọn ngẫu nhiên 2 số khác nhau từ 25 thẻ nên $|Ω| = C_{25}^{2}$ .

Gọi A là biến cố: “hai số có tổng là một số chẵn”.

- TH1: Chọn 2 số đều lẻ trong tổng số 13 số lẻ: $C_{13}^{2}$ cách chọn

- TH2: Chọn 2 số đều chẵn trong tổng số 12 số chẵn: $C_{12}^{2}$ cách chọn

$\Rightarrow |A| = C_{13}^{2} + C_{12}^{2}$ .

Xác suất $P_{A} = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{C_{13}^{2} + C_{12}^{2}}{C_{25}^{2}} = \frac{12}{25}$ .

Câu 21:

Trên đoạn [0;2] hàm số $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào sau đây?

A. x = 0

B. x = 9

C. x = 2

D. x =

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 x$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow 4 x (x^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (T M) \\ x = 1 (TM) \\ x = - 1 (KTM) \end{array}$ .

Khi đó: $f (0) = 1; f (1) = 0; f (2) = 9$ .

Vậy $max_{[0; 2]} f (x) = f (2) = 9$ khi x = 2.

Câu 22:

Với mọi số thực a dương, $\log_{2} \frac{a^{2}}{4}$ bằng

A. $\log_{2} a - 2$

B. $2 (\log_{2} a - 1)$

C. $\log_{2} a - 1$

D. $2 \log_{2} a - 1$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$\log_{2} \frac{a^{2}}{4} = \log_{2} a^{2} - \log_{2} 4 = 2 \log_{2} a - 2 = 2 (\log_{2} a - 1)$

Câu 23:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) bằng

A. $\sqrt{2} a$

B. $\sqrt{3} a$

C. $2 \sqrt{2} a$

D. 2a

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi H là trung điểm AC.

Ta có $\begin{array}{l} B H ⊥ A C \\ B H ⊥ A A^{'} \end{array}\} \Rightarrow B H ⊥ (A C C^{'} A^{'})$

$\Rightarrow d (B, (A C C^{'} A^{'})) = B H = 2 a . \frac{\sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$ .

Câu 24:

Cho $\log_{2} 3 = a$ . Tính $P = \log_{8} 6$ theo a.

A. P = 3(1 + a)

B. $P = \frac{1}{3} (1 + a)$

C. $P = 1 + a$

D. $P = 2 + a$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$P = \log_{8} 6 = \log_{2^{3}} (2.3) = \frac{1}{3} \log_{2} (2.3) = \frac{1}{3} (\log_{2} 2 + \log_{2} 3)$

. $= \frac{1}{3} (1 + \log_{2} 3) = \frac{1}{3} (1 + a)$

Câu 25:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin x - 6 x^{2}$ là:

A. $\cos x - 12 x + C$

B. $- \sin x - 2 x^{3} + C$

C. $- \cos x - 2 x^{3} + C$

D. $\sin x - 12 x + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int (\sin x - 6 x^{2}) d x = - \cos x - 2 x^{3} + C$ .

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 2}{- 3}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. Điểm P (1;3;2)

B. Điểm N (1;-3;2)

C. Điểm M (-1;3;2)

D. Điểm Q (1;-3;-2)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Điểm N (1;-3;2) thuộc đường thẳng $Δ$ vì $\frac{1 - 1}{2} = \frac{- 3 + 3}{1} = \frac{2 - 2}{- 3} = 0$ (thỏa mãn).

Câu 27:

Cho số phức z thỏa mãn (1 – 3i)z + 1 + 7i = 0. Tổng phần thực và phần ảo của z là

A. 1

B. 3

C. -3

D. -6

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $(1 - 3 i) z + 1 + 7 i = 0$

$\Leftrightarrow z = \frac{- 1 - 7 i}{1 - 3 i} = \frac{(- 1 - 7 i) (1 + 3 i)}{(1 - 3 i) (1 + 3 i)} = \frac{- 1 - 3 i - 7 i - 21 i^{2}}{1 + 9} = \frac{20 - 10 i}{10} = 2 - i$ .

Vậy tổng phần thực và phần ảo của z là 2 + (-1) = 1.

Câu 28:

Tính tích phân $I = \int_{1}^{2} 2 x \sqrt{x^{2} - 1} d x$ bằng cách đặt $u = x^{2} - 1$ mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $I = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

B. $I = \int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

C. $I = 2 \int_{0}^{3} \sqrt{u} d u$

D. $I = \int_{0}^{3} \sqrt{u} d u$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt $u = x^{2} - 1$ $\Rightarrow d u = 2 x d x$

Đổi cận $x = 1 \Rightarrow u = 0$ ;

. $x = 2 \Rightarrow u = 3$

Khi đó ta có $I = \int_{0}^{1} \sqrt{u} d u$ .

Câu 29:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 - 3 i$ , $z_{2} = 4 + i$ . Số phức $z = z_{1} - z_{2}$ bằng

A. -2 - 4i

B. 2 - 4i

C. 6 + 2i

D. 2 - 2i

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $z = z_{1} - z_{2} = (2 - 3 i) - (4 + i) = - 2 - 4 i$

Câu 30:

Đồ thị hàm số $y = x^{3} + x^{2} - 2 x - 2$ cắt trục tung tại điểm nào sau đây?

A. M (0;-1)

B. P (-2;0)

C. Q (0;-2)

D. N (-1;0)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho x = 0 ta được y = -2, suy ra đồ thị cắt trục Oy tại điểm Q (0;-2).

Câu 31:

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $(S) : {(x + 2)}^{2} + {(y - 6)}^{2} + z^{2} = 4$ . Tâm mặt cầu (S) có tọa độ là

A. (-1;3;0)

B. (2;-6;0)

C. (-2;6;0)

D. (1;-3;0)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (S) có tâm I (-2;6;0).

Câu 32:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $ℝ$ ?

A. $y = - x^{3} + x + 1$

B. $y = \frac{x - 3}{x + 2}$

C. $y = x^{3} + x + 1$

D. $y = x^{4} + x^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số $y = x^{3} + x + 1$ có tập xác định $ℝ$ và $y^{'} = 3 x^{2} + 1 > 0, \forall x \in ℝ$ .

Do đó hàm số này đồng biến trên $ℝ$ .

Câu 33:

Đạo hàm của hàm số $y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ bằng

A. $y^{'} = \frac{1}{x - 1}$

B. $y^{'} = \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

C. $y^{'} = \frac{2}{x - 1}$

D. $y^{'} = 2 x - 2$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: $x^{2} - 2 x + 1 > 0 \Leftrightarrow x \neq 1$ .

Khi đó ta có $y^{'} = \frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{'}}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{2}{x - 1}$

Câu 34:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu $y_{C T}$ của hàm số đã cho là

A. $y_{C T} = - 1$

B. $y_{C T} = 0$

C. $y_{C T} = - 2$

D. $y_{C T} = - 3$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng biến thiên ta có $y_{C T} = - 3$

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và $S A = a \sqrt{6}$ . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

A. $45 °$

B. $30 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $(S B D) \cap (A B C D) = B D$

$O A \subset (A B C D), O A ⊥ B D$

$S O \subset (S B D), S O ⊥ B D$ (Vì $B D ⊥ (S A C)$ )

Nên suy ra $((S B D); (A B C D)) = \hat{A O S}$ .

Do đó $\tan \hat{A O S} = \frac{S A}{A O} = \frac{2 S A}{A C} = \frac{2. a \sqrt{6}}{2 a \sqrt{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{A O S} = 60 °$ .

Câu 36:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A (4;-3;2). Hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox, Oy, Oz theo thứ tự là M; N; P. Phương trình mặt phẳng (MNP) là

A. $\frac{x}{4} - \frac{y}{3} + \frac{z}{2} + 1 = 0$

B. $4 x - 3 y + 2 z - 5 = 0$

C. $3 x - 4 y + 6 z - 12 = 0$

D. $2 x - 3 y + 4 z - 1 = 0$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên các trục $O x; O y; O z$ là $M (4; 0; 0); N (0; - 3; 0); P (0; 0; 2)$ .

Câu 37:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a, b, c \in ℝ)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 1

B. 0

C. 2

D. -1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là y = 2

Câu 38:

Cho hai số phức

z_{1}, z_{2}

thỏa mãn

|z - 3 - 2 i| = |\bar{z} - 1|, |z_{1} - z_{2}| = 2 \sqrt{2}

và số phức w thoả mãn

|w - 2 - 4 i| = 1

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = |z_{2} - 2 - 3 i| + |z_{1} - w|

bằng

A. $\sqrt{26}$

B. $\sqrt{10}$

C. $\sqrt{17} - 1$

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi M,N lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z_{1}, z_{2}$ trên mặt phẳng toa độ.

$|z - 3 - 2 i| = |\bar{z} - 1|$ $\Rightarrow M, N$ thuộc đường thẳng x + y - 3 = 0.

$|z_{1} - z_{2}| = 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow M N = 2 \sqrt{2}$ .

Gọi K là điểm biểu diễn số phức w .

$|w - 2 - 4 i| = 1$ => K thuộc đường tròn tâm I (2;4), bán kính R = 1.

Đặt A (2;3). Ta có $P = |z_{2} - 2 - 3 i| + |z_{1} - w| = N A + M K$ .

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d $\Rightarrow A^{'} (0; 1)$

Dựng A" sao cho $\vec{A^{'} {A^{'}}^{'}} = \vec{N M}$ $\Rightarrow {A^{'}}^{'} (- 2; 3)$ .

Ta có $P = N A + M K = N A^{'} + M K = M {A^{'}}^{'} + M K \geq {A^{'}}^{'} K$ .

Mà ${A^{'}}^{'} K \geq {A^{'}}^{'} I - R = \sqrt{{(2 + 2)}^{2} + {(4 - 3)}^{2}} - 1 = \sqrt{17} - 1$ .

Vậy $P_{\min} = \sqrt{17} - 1$ .

Câu 39:

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn

(2^{x^{2}} - 4^{x}) [\log_{3} (x + 25) - 3] \leq 0

?

A. 25

B. Vô số

C. 26

D. 24

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x > -25

T a có: $2^{x^{2}} - 4^{x} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 2 x \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

$\log_{3} (x + 25) - 3 = 0 \Leftrightarrow x + 25 = 27 \Leftrightarrow x = 2$

Bảng xét dấu

Vậy $x \in \{- 24; - 23; ...; 0; 2\}$ nên có 26 giá trị.

Câu 40:

Tìm số giá trị nguyên của tham số thực m để tồn tại các số thực x;y thỏa mãn

e^{x^{2} + y^{2} - m} + e^{x + y + x y - m} = x^{2} + y^{2} + x + y + x y - 2 m + 2

.

A. 7

B. 9

C. 8

D. 6

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $f (t) = e^{t} - t - 1; \forall t \in ℝ$ .

$f^{'} (t) = e^{t} - 1$ và $f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 0$ .

Ta thấy f'(t) đổi dấu từ "-" sang "+" khi qua t = 0 nên $f (t) \geq f (0) = 0; \forall t \in ℝ$ .

Do đó $\{\begin{cases} e^{x^{2} + y^{2} - m} - (x^{2} + y^{2} - m) - 1 \geq 0, \forall x, y \in ℝ \\ e^{x + y + x y - m} - (x + y + x y - m) - 1 \geq 0, \forall x, y \in ℝ \end{cases}$ .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = m \\ x + y + x y = m \end{cases}$ .

Hay $e^{x^{2} + y^{2} - m} + e^{x + y + x y - m} = x^{2} + y^{2} + x + y + x y - 2 m + 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = m (1) \\ x + y + x y = m (2) \end{cases}$

Đặt $S = x + y; P = x . y$ .

Ta có: $\{\begin{cases} S^{2} - 2 P = m \\ S + P = m \end{cases} \Rightarrow S^{2} - S - 3 P = 0$ .

Vì $S^{2} \geq 4 P \Rightarrow S \in [0; 4]$ .

Lấy $(1) + 2. (2)$ vế theo vế ta được: $S^{2} + 2 S = 3 m (3)$

Xét hàm số $f (S) = S^{2} + 2 S; S \in [0; 4]$ , có $f^{'} (S) = 2 S + 2 > 0; \forall S \in [0; 4]$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow (3)$ có nghiệm $\Leftrightarrow f (0) \leq m \leq f (4) \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 8$

Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Câu 41:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y + z + 3 = 0, (Q): x + 2y – 2z – 5 = 0 và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 6 z - 11 = 0$ . Gọi M là điểm di động trên (S) và N là điểm di động trên (P) sao cho MN luôn vuông góc với (Q). Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng MN bằng

A. $9 + 5 \sqrt{3}$

B. 14

C. 28

D. $3 + 5 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;3) và bán kính R = 5.

Mặt phẳng (P) có VTPT $\vec{n_{P}} = (1; - 1; 1)$ , mặt phẳng (Q) có VTPT $\vec{n_{Q}} = (1; 2; - 2)$ .

Đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm M,N nhận $\vec{n_{Q}} = (1; 2; - 2)$ làm VTCP, $Δ$ luôn cắt (P), gọi $φ$ là góc giữa $Δ$ và(P), H là hình chiếu vuông góc của M lên (P).

Ta có $\sin φ = |\cos (\vec{n_{P}}, \vec{n_{Q}})| = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$Δ M N H$ vuông tại H $\Rightarrow M N . \sin φ = M H$ $\Rightarrow M N = \frac{M H}{\sin φ} = \sqrt{3} . M H$

$M H = d (M, (P)) \leq R + d (I, (P)) = 5 + 3 \sqrt{3}, \forall M \in (S)$ $\Rightarrow M N = \sqrt{3} M H \leq 9 + 5 \sqrt{3}$ .

.

Vậy giá trị lớn nhất của MN bằng $9 + 5 \sqrt{3} .$

Câu 42:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, từ điểm A (1;1;0) ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có tâm I (-1;1;1), bán kính R =1. Gọi M (a;b;c) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = |2 a - b + 2 c|$

A. $\frac{3 + \sqrt{41}}{15} .$

B. $\frac{3 + \sqrt{41}}{5} .$

C. $\frac{3 + 2 \sqrt{41}}{15} .$

D. $\frac{3 + 2 \sqrt{41}}{5} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Do AM là tiếp tuyến của mặt cầu (S) nên $A M ⊥ I M$ nên tam giác IAM vuông tại M

Xét $Δ I A M$ , có: $I A = \sqrt{5}, I M = 1$ $\Rightarrow M A = \sqrt{I A^{2} - R^{2}} = 2$

=> M thuộc mặt cầu tâm A bán kính là 2.

Khi đó M thuộc đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu tâm I bán kính R=1 và mặt cầu tâm A bán kính R=2.

$(C) \subset (P) : \{\begin{matrix} {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 4 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow (C) \subset (P) : 2 x - z + 2 = 0$

Ta có $I A : \{\begin{matrix} x = 1 - 2 t \\ y = 1 \\ z = t \end{matrix}, (t \in ℝ)$ .

Gọi E là tâm đường tròn giao tuyến.

Khi đó: $E = I A \cap (P) \Rightarrow E (\frac{- 3}{5}; 1; \frac{4}{5})$ .

Xét $Δ I A M$ có: $r = E M = \frac{M A . M I}{I A} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ .

=> M thuộc mặt cầu tâm $E (\frac{- 3}{5}; 1; \frac{4}{5})$ bán kính $R = \frac{2}{\sqrt{5}}$ hay ${(a + \frac{3}{5})}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - \frac{4}{5})}^{2} = \frac{4}{5}$ .

Do $M \in (P) \Rightarrow 2 a - c + 2 = 0 \Leftrightarrow c = 2 a + 2$ .

Khi đó ta có được $\{\begin{matrix} {(a + \frac{3}{5})}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(2 a + \frac{6}{5})}^{2} = \frac{4}{5} \\ T = |6 a - b + 4| \end{matrix}$

${(a + \frac{3}{5})}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(2 a + \frac{6}{5})}^{2} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow {(\sqrt{5} a + \frac{3}{\sqrt{5}})}^{2} + {(b - 1)}^{2} = \frac{4}{5}$ .

Ta có $6 a - b + 4 = \frac{6}{\sqrt{5}} (\sqrt{5} a + \frac{3}{\sqrt{5}}) - (b - 1) - \frac{3}{5}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

$|\frac{6}{\sqrt{5}} (\sqrt{5} a + \frac{3}{\sqrt{5}}) - (b - 1)| \leq \sqrt{[{(\sqrt{5} a + \frac{3}{\sqrt{5}})}^{2} + {(b - 1)}^{2}] [{(\frac{6}{\sqrt{5}})}^{2} + {(- 1)}^{2}]} = \frac{2 \sqrt{41}}{5}$

.

Câu 43:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f [f (|x + 1|) - 2] = m$ có 10 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-3;3]?

A. 3

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt $t = |x + 1|$ . Vì $x \in [- 3; 3]$ suy ra $t \in [0; 4]$ .

Với mỗi giá trị $t \in (0; 2]$ cho ta 2 nghiệm $x \in [- 3; 3]$ .

Với mỗi giá trị $t \in \{0\} \cup (2; 4]$ cho ta 1 nghiệm $x \in [- 3; 3]$ .

Phương trình trở thành $f (f (t) - 2) = m$ .

Xét hàm $g (t) = f (f (t) - 2)$ trên đoạn [0;4]

$g^{'} (t) = f^{'} (t) . f^{'} (f (t) - 2)$

$g^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f^{'} (t) = 0 \\ f^{'} (f (t) - 2) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 1 (L) \\ f (t) - 2 = - 1 \\ f (t) - 2 = 1 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ f (t) = 1 \\ f (t) = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = t_{1} > 2 \\ t = t_{2} > t_{1} > 2 \end{array}$

.

Do đó, hàm số $g (t) = f (f (t) - 2)$ có tối đa 3 cực trị trên đoạn [0;4].

Suy ra phương trình $f (f (t) - 2) = m$ có tối đa 4 nghiệm t.

Giả sử cả 4 nghiệm t đó đều thuộc (0;2] thì cho tối đa 8 nghiệm x .

Theo yêu cầu bài toán ra 10 nghiệm nên không có m thỏa mãn yêu cầu.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Câu 44:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a và góc $\hat{A B C} = 60 °$ . Biết tứ giác BCC’B’ là hình thoi có $\hat{B^{'} B C}$ nhọn, mặt phẳng (BCC’B’) vuông góc mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) bằng $45 °$ . Thể tích khối lăng trụ bằng

A. $\frac{a^{3}}{\sqrt{7}}$

B. $\frac{a^{3}}{3 \sqrt{7}}$

C. $\frac{3 a^{3}}{\sqrt{7}}$

D. $\frac{6 a^{3}}{\sqrt{7}}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $H N ⊥ A B; B' N ⊥ A B$

$\Rightarrow ((A B B^{'} A^{'}), (A B C)) = (H N, B^{'} N) = \hat{B^{'} N H} = 45 °$

$\Rightarrow H N = B^{'} H \Rightarrow B^{'} N = B^{'} H . \sqrt{2}$

Xét $Δ H B N$ có $B N = H N . \cot 60 ° = \frac{B^{'} H}{\sqrt{3}}$

Xét $Δ B^{'} N N$ có $B^{'} B^{2} = B^{'} N^{2} + B N^{2}$

$\Leftrightarrow 4 a^{2} = {(B^{'} H . \sqrt{2})}^{2} + {(\frac{B^{'} H}{\sqrt{3}})}^{2}$

$\Rightarrow B^{'} H = \frac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Xét $Δ A B C$ có $A B = B C . \cos \hat{A B C} = a$

$\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} . A B . B C . \sin \hat{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

Do đó $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . B^{'} H = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} . \frac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{3 a^{3}}{\sqrt{7}}$

Câu 45:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới.

Gọi $x_{1}, x_{2}$ lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn $x_{2} = x_{1} + 2$ và $f (x_{1}) - 3 f (x_{2}) = 0$ . và đồ thị luôn đi qua $M (x_{0}; f (x_{0}))$ , trong đó $x_{0} = x_{1} - 1; g (x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x) và điểm M. Tính tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ ( $S_{1}$ và $S_{2}$ lần lượt là diện tích hai hình phẳng được tạo bởi đồ thị hai hàm $f (x), g (x)$ như hình vẽ).

A. $\frac{4}{29}$

B. $\frac{5}{32}$

C. $\frac{7}{33}$

D. $\frac{6}{35}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Khi ta tịnh tiến đồ thị sao cho $x_{0} = 0$ khi đó diện tích hình phẳng không thay đổi.

$\Rightarrow x_{1} = 1; x_{2} = 3$ đặt $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d; g (x) = m x^{2} + n x + q$

$\Rightarrow f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$

.

Vì hàm số y = f(x) đạt cực trị tại $x_{1} = 1; x_{2} = 3$ và $f (1) - 3 f (3) = 0$ nên ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 3 a + 2 b + c = 0 \\ 27 a + 6 b + c = 0 \\ 80 a + 26 b + 8 c + 2 d = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = - 6 a \\ c = 9 a \\ d = 2 a \end{cases}$

$\Rightarrow f (x) = a (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2)$

Mà hai đồ thị giao nhau tại 3 điểm nên ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} g (0) = f (0) \\ g (1) = f (1) \\ g (2) = f (2) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} q = d = 2 a \\ m = - 2 a \\ n = 6 a \end{cases} \Rightarrow g (x) = a (- 2 x^{2} + 6 x + 2)$

Khi đó $S_{1} = |a| . \int_{0}^{1} |x^{3} - 4 x^{2} + 3 x| d x = \frac{5 |a|}{12};$

$S_{2} = |a| . \int_{1}^{3} |x^{3} - 4 x^{2} + 3 x| d x = \frac{8 |a|}{3}$

.

Do đó $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{5}{32}$ .

Câu 46:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Số nghiệm thực của phương trình $|f (x^{4} - 2 x^{2})| = 2$ là

A. 7

B. 9

C. 10

D. 8

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Phương trình $|f (x^{4} - 2 x^{2})| = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x^{4} - 2 x^{2}) = 2 \\ f (x^{4} - 2 x^{2}) = - 2 \end{array}$

* Phương trình $f (x^{4} - 2 x^{2}) = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{4} - 2 x^{2} = b, (- 1 < b < 0) \\ x^{4} - 2 x^{2} = c, (0 < c < 1) \\ x^{4} - 2 x^{2} = d, (2 < d < 3) \end{array}$ .

* Phương trình $f (x^{4} - 2 x^{2}) = - 2 \Leftrightarrow x^{4} - 2 x^{2} = a, (- 2 < a < - 1)$ .

Bảng biến thiên của hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2}$ như sau:

Dựa vào BBT trên ta có:

- Phương trình $x^{4} - 2 x^{2} = a, (- 2 < a < - 1)$ không có nghiệm thực.

- Phương trình $x^{4} - 2 x^{2} = b, (- 1 < b < 0)$ có 4 nghiệm thực phân biệt.

- Phương trình $x^{4} - 2 x^{2} = c, (0 < c < 1)$ có 2 nghiệm thực phân biệt.

- Phương trình $x^{4} - 2 x^{2} = d, (2 < d < 3)$ có 2 nghiệm thực phân biệt.

Vậy phương trình $|f (x^{4} - 2 x^{2})| = 2$ có 8 nghiệm thực phân biệt.

Câu 47:

Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^{2} - 6 z + m = 0 (m$ là tham số thực). Gọi $m_{0}$ là một giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1} . \bar{z_{1}} = z_{2} . \bar{z_{2}}$ . Trong khoảng (0;20) có bao nhiêu giá trị nguyên $m_{0}$ ?

A. 13

B. 10

C. 11

D. 12

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình $z^{2} - 6 z + m = 0$

Ta có: $Δ^{'} = 3^{2} - m = 9 - m$ .

TH1: Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt $z_{1}, z_{2} \Leftrightarrow Δ^{'} < 0 \Leftrightarrow 9 - m < 0 \Leftrightarrow m > 9$ .

Suy ra phương trình có hai nghiệm phức thỏa mãn: $\{\begin{cases} z_{1} = \bar{z_{2}} \\ z_{2} = \bar{z_{1}} \end{cases}$ .

Ta có: $z_{1} . \bar{z_{1}} = z_{2} . \bar{z_{2}} \Leftrightarrow z_{1} . z_{2} = z_{2} . z_{1}$ (luôn đúng)

Vậy $m \in (9; + \infty)$ .

Mà $m \in ℤ; m \in (0; 20) \Rightarrow m \in \{10; .....; 19\}$ .

TH2: Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $z_{1}, z_{2} \Leftrightarrow Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow 9 - m > 0 \Leftrightarrow m < 9$ .

Ta có: $z_{1} . \bar{z_{1}} = z_{2} . \bar{z_{2}} \Leftrightarrow z_{1} . z_{1} = z_{2} . z_{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = z_{2} (L) \\ z_{1} = - z_{2} (N) \end{array}$

$\Rightarrow z_{1} + z_{2} = 0$ (vô lý)

Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.

Câu 48:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2;1;3), B (6;5;5). Xét khối nón (N) ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB có B là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi S là đỉnh của khối nón (N). Khi thể tích khối nón (N) nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh S và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) có phương trình 2x + by + cz + d = 0. Tính T = b + c + d.

A. T = 12

B. T = 18

C. T = 24

D. T = 36

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S) đường kính AB có tâm I (4;3;4), bán kính $R = \frac{A B}{2} = 3$ .

Giả sử thiết diện qua trục hình nón là tam giác SMN.

Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón (h > 6).

I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác SMN ta có: $R = \frac{S_{S M N}}{P_{S M N}}$

$\Rightarrow 3 = \frac{\frac{1}{2} M N . S B}{\frac{1}{2} (S M + S N + M N)}$ $\Leftrightarrow 3 = \frac{r . h}{r + \sqrt{r^{2} + h^{2}}}$ $\Leftrightarrow 3 (r + \sqrt{r^{2} + h^{2}}) = r h$ $\Leftrightarrow r^{2} = \frac{9 h}{h - 6}$ .

Thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{π}{3} . \frac{9 h^{2}}{h - 6} = f (h)$ .

$f^{'} (h) = 3 π . \frac{h^{2} - 12 h}{{(h - 6)}^{2}}$

.

$f^{'} (h) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} h = 0 \\ h = 12. \end{array}$

Bảng biến thiên

V đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow h = 12$ .

Ta có $\vec{I S} = 3 \vec{B I} \Rightarrow S (- 2; - 3; 1)$ .

Phương trình mặt phẳng (P) qua S (-2;-3;1), có vectơ pháp tuyến $\vec{A B} = 2 (2; 2; 1)$ là $2 x + 2 y + z + 9 = 0$ .

Suy ra b = 2; c = 1; d = 9.

Vậy T = b + c + d = 12.

Câu 49:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ . Biết f(5) = 1 và $\int_{0}^{1} x f (5 x) d x = 1$ , khi đó $\int_{0}^{5} x^{2} f^{'} (x) d x$ bằng

A. -25

B. 23

C. 15

D. $\frac{123}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int_{0}^{1} x f (5 x) d x = 1$

Đặt $u = 5 x \Rightarrow d u = 5 d x$

Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow u = 0$

$x = 1 \Rightarrow u = 5$

Ta được $\int_{0}^{1} x f (5 x) d x = 1$ $\Rightarrow \int_{0}^{5} \frac{u}{5} f (u) \frac{d u}{5} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{25} \int_{0}^{5} u f (u) d u = 1$ $\Leftrightarrow \int_{0}^{5} u f (u) d u = 25$

Suy ra $\int_{0}^{5} x f (x) d x = 25$ .

Gọi $I = \int_{0}^{5} x^{2} f^{'} (x) d x$

Đặt $\{\begin{cases} u = x^{2} \\ d v = f^{'} (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 x d x \\ v = f (x) \end{cases}$ .

$I = x^{2} f (x) |\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} - \int_{0}^{5} f (x) .2 x d x$ $= 25 f (5) - 2 \int_{0}^{5} x f (x) d x$ $= 25 - 2.25 = - 25$