51 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 16)

Câu 1:

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x + 1} \leq 4$ là

A. $(- \infty; 1]$

B. $(1; + \infty)$

C. $[1; + \infty)$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $2^{x + 1} \leq 4 \Leftrightarrow x + 1 \leq 2 \Leftrightarrow x \leq 1$ .

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = (- \infty; 1]$ .

Câu 2:

Tích tất cả các nghiệm của phương trình ${log}_{2}^{2} x - 3 {log}_{2} x + 2 = 0$ bằng

A. 8

BB. 6

C. 16

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\log_{2}^{2} x - 3 \log_{2} x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} x = 1 \\ \log_{2} x = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 4 \end{array}$

Suy ra $x_{1} . x_{2} = 8$ .

Câu 3:

Cho $\int \frac{1}{x \ln^{2} x} d x = F (x) + C$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $F^{'} (x) = \frac{- 1}{\ln x}$

B. $F^{'} (x) = \frac{- 1}{\ln x} + C$

C. $F^{'} (x) = \frac{1}{x \ln^{2} x}$

D. $F^{'} (x) = - \frac{1}{\ln^{2} x}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Vì $\int F^{'} (x) d x = F (x) + C$ . Nên $F^{'} (x) = \frac{1}{x \ln^{2} x}$ .

Câu 4:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{- 5}$ . Hỏi d đi qua điểm nào trong các điểm sau:

A. $C (- 3; 4; 5)$

B. $D (3; - 4; - 5)$

C. $B (- 1; 2; - 3)$

D. $A (1; - 2; 3)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{- 5}$ đi qua điểm $A (1; - 2; 3)$ .

Câu 5:

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = 2, SA vuông góc với đáy và SA = 3 (tham khảo hình bên).

Thể tích khối chóp đã cho bằng

A. 12.

B. 2.

C. 6.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Thể tích khối chóp đã cho bằng $V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} A B . A C . S A = \frac{1}{6} .2.2.3 = 2$ .

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 4 z - 2 = 0$ .

Tính bán kính r của mặt cầu.

A. $r = 2 \sqrt[]{2}$

B. $r = \sqrt[]{26}$

C. $r = 4$

D. $r = \sqrt[]{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Bán kính r của mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 4 z - 2 = 0$ là

$r = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2} + 2} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

Câu 7:

Cho một tổ có 15 thành viên. Số cách chọn ra 2 người lần lượt làm tổ trưởng và tổ phó là

A. 225

B. 30

C. 210

D. 105

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Số cách chọn ra 2 người lần lượt làm tổ trưởng và tổ phó từ tổ có 15 thành viên là: $A_{15}^{2} = 210.$

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1;2;3). Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là

A. (1;-2;3)

B. (1;2;-3)

C. (-1;-2;-3)

D. (-1;2;3)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điểm A' đối xứng với A qua mặt phẳng (Oyz) nên ta có tọa độ là (-1;2;3): hoành độ đổi dấu còn tung độ và cao độ giữ nguyên.

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): x – 2z + 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\vec{n_{1}} = (1; 0; - 2)$

B. $\vec{n_{4}} = (1; - 2; 3)$

C. $\vec{n_{3}} = (1; - 2; 0)$

D. $\vec{n_{2}} = (- 1; 2; - 3)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $(P) : x - 2 z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là: $\vec{n_{1}} = (1; 0; - 2)$ .

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số $y = π^{x}$ là:

A. $y^{'} = π^{x} \ln π$

B. $y^{'} = x . π^{x - 1}$

C. $y^{'} = \frac{π^{x}}{\ln π}$

D. $y^{'} = \frac{π^{x + 1}}{x + 1}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $y = π^{x}$ $\Rightarrow y^{'} = π^{x} \ln π$ .

Câu 11:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;-1;-1) và N(5;5;1). Đường thẳng MN có phương trình là:

A. $\{\begin{cases} x = 5 + 2 t \\ y = 5 + 3 t \\ z = - 1 + t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 5 + t \\ y = 5 + 2 t \\ z = 1 + 3 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = - 1 + 3 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\vec{M N} = (4; 6; 2) \Rightarrow \vec{u_{M N}} = (2; 3; 1)$

Phương trình đường thẳng MN đi qua điểm M(1;-1;-1) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{M N}} = (2; 3; 1)$ là: $\{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

Câu 12:

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thi là đường cong trong hình bên.

Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là:

A. (0;-2)

B. (2;0)

C. (-2;0)

D. (0;2)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là (0;-2).

Câu 13:

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn có [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Giá trị cực tiểu của hàm số y = f(x) là:

A. -4

B. -2

C. (1;-2)

D. x = 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số ta có giá trị cực tiểu của hàm số y = f(x) là -2 tại x = 1.

Câu 14:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt?

A. 2

B. 5

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt

$\Leftrightarrow$ Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt

$\Leftrightarrow m \in (- 2; 2)$

Mà $m \in ℤ$

Nên $m \in \{- 1; 0; 1\}$ .

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt.

Câu 15:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng $x = a; x = b (a < b)$ là:

A. $S = \int_{b}^{a} |f (x)| d x$

B. $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$

C. $S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x$

D. $S = \int_{b}^{a} f (x) d x$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng $x = a; x = b (a < b)$ là: $S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x$ .

Câu 16:

Trên tập $ℝ \ \{0\}$ , đạo hàm của hàm số $y = {log}_{3} |x|$ là:

A. $y^{'} = \frac{1}{|x| \ln 3}$

B. $y^{'} = \frac{1}{x ln 3}$

C. $y^{'} = \frac{ln 3}{x}$

D. $y^{'} = - \frac{1}{x ln 3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có

y^{'} = {(\log_{3} |x|)}^{'} = \frac{1}{x \ln 3}

.

Câu 17:

Cho đồ thị hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-2;2)

B. $(- \infty; 0)$

C. (0;2)

D. $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên (0;2).

Câu 18:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = \frac{x + 3}{x - 1}$

B. $y = \frac{x - 3}{x - 1}$

C. $y = x^{2} - 4 x + 1$

D. $y = x^{3} - 3 x - 5$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số dạng $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ và là hàm số đồng biến trên tập xác định: $y = \frac{x - 3}{x - 1}$ .

Câu 19:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = \frac{x + 3}{x - 1}$

B. $y = \frac{x - 3}{x - 1}$

C. $y = x^{2} - 4 x + 1$

D. $y = x^{3} - 3 x - 5$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số dạng $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ và là hàm số đồng biến trên tập xác định: $y = \frac{x - 3}{x - 1}$ .

Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x + 4 y + 6 z + 1 = 0$ . Tâm của (S) có tọa độ là

A. (-1;-2;-3)

B. (2;4;6)

C. (2;3;4)

D. (1;2;3)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Tâm của (S) có tọa độ là (-1;-2;-3).

Câu 21:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. $y_{c t} = 1$

B. $x_{c t} = 0$

C. (1;2)

D. (0;1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy điểm cực tiểu của hàm số đã cho là $x_{c t} = 0$ .

Câu 22:

Cho cấp số nhân

(u_{n})

với

u_{1} = 2

và công bội

q = \frac{1}{2}

. Giá trị của

u_{3}

bằng

A. 3

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{7}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $u_{3} = u_{1} . q^{2} = 2. {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$ .

Câu 23:

Cho cấp số nhân

(u_{n})

với

u_{1} = 2

và công bội

q = \frac{1}{2}

. Giá trị của

u_{3}

bằng

A. 3

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{7}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $u_{3} = u_{1} . q^{2} = 2. {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{2}$ .

Câu 24:

Cho hình trụ có đường kính đáy 2r và độ dài đường sinh l. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. $2 π r l$

B. $4 π r l$

C. $π r l$

D. $π r^{2} h$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng $S_{x q} = π r l$ .

Câu 25:

Cho khối lập phương có cạnh bằng 4. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng

A.16

B. 8

C. 4

D. 64

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Thể tích của khối lập phương đã cho bằng $V = 4^{3} = 64$ .

Câu 26:

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn $|z - 2 i| = 2 023$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A. (0;2)

B. (-2;0)

C. (0;-2)

D. (2;0)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi $z = x + y i (x, y \in ℝ)$

$|z - 2 i| = 2 023 \Leftrightarrow |x + y i - 2 i| = 2023 \Leftrightarrow x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2 023^{2}$

Vậy tâm của đường tròn cần tìm là (0;2).

Câu 27:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{3 x - 1}$ là đường thẳng có phương trình

A. $x = \frac{1}{3}$

B. $y = - \frac{2}{3}$

C. $x = - \frac{1}{3}$

D. $y = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{2 x + 1}{3 x - 1} = \infty$ nên $x = \frac{1}{3}$ là tiệm cận đứng.

Câu 28:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log (x - 2) < 1$ là

A. $(2; 12)$

B. $(- \infty; 12)$

C. $(- \infty; 3)$

D. $(12; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $\log (x - 2) < 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 2 < 10 \end{cases} \Leftrightarrow 2 < x < 12$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (2; 12)$ .

Câu 29:

Giả sử $\int_{0}^{9} f (x) d x = 7$ và $\int_{9}^{0} g (x) d x = 1$ . Khi đó $I = \int_{0}^{9} [2 f (x) + 3 g (x)] d x$ bằng

A. I = 11

B. I = 17

C. I = 23

D. I = 8

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có:

I = 2 \int_{0}^{9} f (x) d x + 3 \int_{0}^{9} g (x) d x = 2.7 + 3. (- 1) = 11

Câu 30:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức $z = 7 - 6 i$ có tọa độ là

A. (-6;7)

B. (6;7)

C. (7;6)

D. (7;-6)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điểm biểu diễn số phức $z = 7 - 6 i$ là $M (7; - 6)$ .

Câu 31:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} + \sin x$ là

A. $x^{3} - \cos x$

B. $6 x + \cos x + C$

C. $x^{3} - \cos x + C$

D. $6 x - \cos x + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int f (x) d x = \int (3 x^{2} + \sin x) d x = x^{3} - \cos x + C$ .

Câu 32:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = {(x - 3)}^{4} (2 - x)$ với mọi $x \in ℝ$ . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; 2)$

B. $(3; + \infty)$

C. $(2; + \infty)$

D. $(- \infty; 3)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $f^{'} (x) = {(x - 3)}^{4} (2 - x)$ $\Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = 2 \end{array}$ .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên (1;2).

Câu 33:

Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng

A. $30 °$

B. $45 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Do mặt phẳng (Oxy) vuông góc với mặt phẳng Oyz nên góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng $90 °$ .

Câu 34:

Với a,b là các số thực dương tùy ý và $a \neq 1$ , $\log_{a^{3}} b$ bằng

A. $3 + \log_{a} b$

B. $3 \log_{a} b$

C. $\frac{1}{3} + \log_{a} b$

D. $\frac{1}{3} \log_{a} b$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\log_{a^{3}} b = \frac{1}{3} \log_{a} b$ .

Câu 35:

Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức z.

Số phức $\bar{z}$ là

A. $1 - 2 i$

B. $2 + i$

C. $1 + 2 i$

D. $2 - i$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $M (2; 1) \Rightarrow z = 2 + i \Rightarrow \bar{z} = 2 - i$ .

Câu 36:

Cho số phức $z = 2 + 9 i$ , phần ảo của số phức $z^{2}$ bằng

A. 36

B. 36i

C. 18

D. 9

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $z = 2 + 9 i \Rightarrow z^{2} = - 77 + 36 i$ .

Phần ảo của số phức $z^{2}$ bằng 36.

Câu 37:

Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ ; tam giác ABC đều cạnh a và SA = a. Tìm góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

A. $60 °$

B. $45 °$

C. $90 °$

D. $30 °$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Vì $S A ⊥ (A B C)$ nên AC là hình chiếu của AC trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là $\hat{S C A} = 45 °$ (do $∆ S A C$ vuông cân tại A cạnh a).

Câu 38:

Giải bóng đá Mini cấp trường của một trường THPT, có 16 đội đăng kí tham dự trong đó có 3 đội 12A₁, 12A₂ và 12A₃. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia đều 16 đội vào 4 bảng (mỗi bảng 4 đội) để đá vòng loại. Tính xác suất để 3 đội của 3 lớp 12A₁, 12A₂ và 12A₃ nằm ở 3 bảng khác nhau.

A. $\frac{3}{56}$

B. $\frac{19}{28}$

C. $\frac{53}{56}$

D. $\frac{16}{35}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Chia đều 16 đội vào 4 bảng (mỗi bảng 4 đội) có $n (Ω) = C_{4}^{16} . C_{4}^{12} . C_{4}^{8} . C_{4}^{4} .$ cách.

Gọi biến cố A: "3 lớp 12A₁, 12A₂ và 12A₃ nằm ở 3 bảng khác nhau".

Sắp xếp 3 lớp 12A₁, 12A₂ và 12A₃ nằm ở 3 bảng khác nhau trong 4 bảng có $A_{4}^{3}$ cách.

Sắp các đội còn lại vào các 4 bảng để được mỗi bảng đủ 4 đội có: $C_{13}^{4} . C_{9}^{3} . C_{6}^{3} . C_{3}^{3}$ cách.

Suy ra $n (A) = A_{4}^{3} . C_{13}^{4} . C_{9}^{3} . C_{6}^{3} . C_{3}^{3}$ cách.

Vậy xác suất $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{16}{35}$ .

Câu 39:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là

A. a

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Kẻ $A H ⊥ S D$ tại H.

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = a căn 3/3 (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A (ảnh 2)

Dễ thấy $C D ⊥ A B, C D ⊥ S A \Rightarrow C D ⊥ (S A D)$ $\Rightarrow A H ⊥ C D$ .

Mà $A H ⊥ S D$ Þ $A H ⊥ (S C D)$ .

Suy ra $d (A; (S C D)) = A H$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong $Δ S A D$ có:

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A D^{2}} + \frac{1}{S A^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{4}{a} \Rightarrow A H = \frac{a}{2}$ .

Vậy $d (A; (S C D)) = A H = \frac{a}{2}$ .

Câu 40:

Số các giá trị nguyên của x thỏa $(2^{x^{2}} - 16) (\log_{3} x - 4) \leq 0$ là

A. Vô số

B. 80

C. 17

D. 78

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $(2^{x^{2}} - 16) (\log_{3} x - 4) \leq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2^{x^{2}} - 16 \geq 0 \\ \log_{3} x - 4 \leq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} 2^{x^{2}} - 16 \leq 0 \\ \log_{3} x - 4 \geq 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x^{2} \geq 4 \\ 0 \leq x \leq 3^{4} \end{cases} \\ \{\begin{cases} x^{2} \leq 4 \\ x \geq 3^{4} \end{cases} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x \geq 2 \\ x \leq - 2 \end{array} \\ 0 \leq x \leq 81 \end{cases} \\ \{\begin{cases} - 2 \leq x \leq 2 \\ x \geq 81 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow 2 \leq x \leq 81$

Vì x nguyên nên có 80 giá trị thỏa mãn.

Câu 41:

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2} - 4 z + 13 = 0$ và A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức $z_{1}, z_{2}$ trong mặt phẳng Oxy. Diện tích của tam giác OAB bằng

A. 6

B. 12

C. 13

D. $\frac{13}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $z^{2} - 4 z + 13 = 0 \Leftrightarrow {(z - 2)}^{2} = 9 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 2 + 3 i \\ z = 2 - 3 i \end{array}$ .

$\Rightarrow A (2; 3), B (2; - 3)$ nên AB = 6.

Suy ra $O A = O B = \sqrt{13}$ hay $Δ O A B$ cân tại O.

Gọi H là trung điểm của AB nên H(2;0) và $O H ⊥ A B, O H = 2$ .

Vậy $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O H \cdot A B = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$ .

Câu 42:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn $(x^{3} + 4 x) f^{'} (x) = - (3 x^{2} + 4) f (x) + 4, \forall x \in ℝ$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x), hai trục tọa độ và x = 2 là

A. Đáp án khác.

B. $\frac{π}{2} .$

C. $\frac{4 π}{3} .$

D. $2 π .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$(x^{3} + 4 x) f^{'} (x) = - (3 x^{2} + 4) f (x) + 4 \Leftrightarrow {[(x^{3} + 4 x) f (x)]}^{'} = 4 \Leftrightarrow x (x^{2} + 4) f (x) = 4 x + C$

Đẳng thức đúng với $\forall x \in ℝ \Rightarrow C = 0$ và $f (x) = \frac{4}{x^{2} + 4} .$

Diện tích hình phẳng giới hạn cần tính là

$S = \int_{0}^{2} |f (x)| d x = \int_{0}^{2} \frac{4}{x^{2} + 4} d x = \frac{π}{2} .$

Câu 43:

Một cái ly làm bằng thủy tinh, có hình dạng là khối nón cụt và các kích thước như hình vẽ. Phần rỗng bên trong có thiết diện qua trục là Parabol.

Thể tích khối thủy tinh bằng bao nhiêu?

A. $\frac{43}{4} π$

B. $\frac{55}{4} π$

C. $\frac{33}{4} π$

D. $\frac{65}{4} π$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Thể tích khối nón cụt là $V_{1} = \frac{π h (R^{2} + r^{2} + R r)}{3} = \frac{π 5 ({(\frac{5}{2})}^{2} + 1^{2} + \frac{5}{2})}{3} = \frac{65 π}{4}$ .

Thể tích phần rỗng bên trong là một chảo parabol $V_{2} = \frac{π R^{2} h}{2} = \frac{π 2^{2} .4}{2} = 8 π$ .

Thể tích khối thủy tinh bằng $V_{1} - V_{2} = \frac{65 π}{4} - 8 π = \frac{33 π}{4}$ .

Câu 44:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và đường thẳng $d : \frac{x - 4}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{- 2}$ . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và cách A một khoảng lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M(5;-1;3) đến (P) bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{7}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi khoảng cách từ A tới mặt phẳng (P) là AH, khoảng cách từ A tới đường thẳng d là AK không đổi.

Nhận xét $A H \leq A K$ ; Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow H \equiv K$ .

Khi đó AK vuông góc mặt phẳng (P) tại K.

Mặt phẳng (AHK) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \vec{u_{d}} = (2; - 1; - 2)$ và đi qua A(0;1;2) có phương trình là 2x - y - 2z + 5 = 0.

Thế $\{\begin{cases} x = 4 + 2 t \\ y = 2 - t \\ z = 1 - 2 t \end{cases}$ vào $2 x - y - 2 z + 5 = 0 \Rightarrow 2 (4 + 2 t) - 2 + t - 2 (1 - 2 t) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

Suy ra K(2;3;3).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \vec{A K} = (2; 2; 1)$ và đi qua K(2;3;3) có phương trình là $2 x + 2 y + z - 13 = 0$ .

Vậy $d [M; (P)] = \frac{|2.5 + 2 (- 1) + 3 - 13|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{3}$ .

Câu 45:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 2 023; 2 023]$ để hàm số $y = |\frac{x - 10}{x - m}|$ đồng biến trên khoảng $(- 5; 5] ?$

A. 2017

B. 2019

C. 2018

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định: $x \neq m$ .

Ta có: $y^{'} = {(|\frac{x - 10}{x - m}|)}^{'} = \frac{\frac{x - 10}{x - m} . \frac{10 - m}{{(x - m)}^{2}}}{|\frac{x - 10}{x - m}|}$ .

$\Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 10$ .

Trường hợp 1: $m < 10$

Để hàm số $y = |\frac{x - 10}{x - m}|$ đồng biến trên khoảng (-5;5] thì m > 5.

Trường hợp 2: m > 10

Để hàm số $y = |\frac{x - 10}{x - m}|$ đồng biến trên khoảng (-5;5] thì $m \in \emptyset$ .

Vậy $10 > m > 5$ và $m \in ℤ \Rightarrow m = \{6; 7; 8; 9\}$ nên có 4 giá trị của m.

Câu 46:

Cho một cổ vật hình trụ có chiều cao đo được là 81 cm, do bị hư hại nên khi tiến hành đo đạc lại thu được AB = 50 cm, BC = 70 cm, CA = 80 cm, với A, B, Cthuộc đường tròn nắp trên như hình vẽ. Thể tích khối cổ vật ban đầu gần nhất với số nào sau đây?

A. $6,56 m^{3}$

B. $0,42 m^{3}$

C. $1,03 m^{3}$

D. $0,43 m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đổi: $50 cm = 0,5 m; 70 cm = 0,7 m; 80 cm = 0,8 m; 81 cm = 0,81 m$

Nửa chu vi tam giác ABC: $p = \frac{0,5 + 0,7 + 0,8}{2} = 1 m$

$S_{Δ A B C} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \frac{\sqrt{3}}{10} (m^{2}) .$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: $R = \frac{A B . A C . B C}{4 S} = \frac{7 \sqrt{3}}{30} (m)$ .

$V = π R^{2} h = π . {(\frac{7 \sqrt{3}}{30})}^{2} .0,81 \approx 0,42 (m^{3}) .$

Câu 47:

Cho tứ diện ABCD có AB = a,

A C = a \sqrt{5}

,

\hat{D A B} = \hat{C B D} = 90 °

,

\hat{A B C} = 135 °

. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) bằng

30 °

. Thể tích khối tứ diện ABCD bằng

A. $\frac{a^{3}}{\sqrt{2}}$

B. $\frac{a^{3}}{3 \sqrt{2}}$

C. $\frac{a^{3}}{2 \sqrt{3}}$

D. $\frac{a^{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Dựng $D H ⊥ (A B C)$ .

Ta có $\{\begin{array}{l} B A ⊥ D A \\ B A ⊥ D H \end{array} \Rightarrow B A ⊥ A H$ . Tương tự $\{\begin{array}{l} B C ⊥ D B \\ B C ⊥ D H \end{array} \Rightarrow B C ⊥ B H$ .

Tam giác AHB có $A B = a, \hat{A B H} = 45 ° \Rightarrow Δ H A B$ vuông cân tại $A \Rightarrow A H = A B = a$ .

Áp dụng định lý côsin, ta có $B C = a \sqrt{2}$ .

Vậy $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot B A \cdot B C \cdot \sin \hat{C B A} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2}$ .

Dựng $\{\begin{array}{l} H E ⊥ D A \\ H F ⊥ D B \end{array} \Rightarrow H E ⊥ (D A B)$ và $H F ⊥ (D B C)$ .

Suy ra $\hat{((D B A), (D B C))} = \hat{(H E, H F}) = \hat{E H F}$ và tam giác HEF vuông tại E.

Đặt DH = x, khi đó $H E = \frac{a x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}, H F = \frac{x a \sqrt{2}}{\sqrt{2 a^{2} + x^{2}}}$ .

Suy ra $\cos \hat{E H F} = \frac{H E}{H F} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{x^{2} + 2 a^{2}}}{\sqrt{2 x^{2} + 2 a^{2}}} \Rightarrow x = a$ .

Vậy $V_{A B C D} = \frac{1}{3} \cdot D H \cdot S_{Δ A B C} = \frac{a^{3}}{6}$ .

Câu 48:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;10) và $B (3; 4; \frac{19}{2})$ . Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác OAM không phải là tam giác nhọn và có diện tích bằng 20. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (5;10)

B. (3;5)

C. $(\frac{3}{2}; 3)$

D. $(0; \frac{3}{2})$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $S_{O A M} = \frac{1}{2} O A . d (M; O A) = 20 \Rightarrow d (M; O A) = 4.$

Suy ra: M di động trên mặt trụ, bán kính bằng 4 trục là OA

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;10) và B(3;4;19/2) . Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác OAM không phải là (ảnh 1)

Xét điểm D như hình vẽ, $\{\begin{cases} H A . H O = H D^{2} = 16 \\ H A + H O = 10 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} H A = 2 \\ H O = 8 \end{cases} .$

· Trường hợp 1: Nếu tam giác OAM là tam giác có góc $\hat{A M O} \geq 90 °$ thì điểm M chạy trên đoạn EF, khi đó BM có giá trị nhỏ nhất bằng $B F = \frac{\sqrt{13}}{2}$ .

· Trường hợp 2: Nếu tam giác OAM là tam giác có góc $\hat{M A O} \geq 90 °$ thì điểm M chạy trên tia CD, khi đó BM có giá trị nhỏ nhất bằng $B C = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

· Trường hợp 3: Nếu tam giác OAM là tam giác có góc $\hat{M O A} \geq 90 °$ thì điểm M chạy trên tia GH, khi đó BM có giá trị nhỏ nhất bằng $B G = \frac{\sqrt{365}}{2}$ .

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;10) và B(3;4;19/2) . Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác OAM không phải là (ảnh 2)

So sánh ba trường hợp trên ta thấy $B M_{\min} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1,118033989 \in (0; \frac{3}{2})$ .

Câu 49:

Cho các số phức z, w, u thỏa mãn $|z - 4 + 2 i| = |2 z + \bar{z}|$ , $\frac{w - 8 - 10 i}{w - 6 - 10 i}$ là số thuần ảo và \ $|u + 1 - 2 i| = |u - 2 + i|$ . Giá trị nhỏ nhất của $P = |u - z| + |\bar{u} - \bar{w}|$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. (0;5]

B. (5;8)

C. [8;10)

D. $[10; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đầu tiên ta gọi $A, N_{1}, M$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, w, u trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Khi đó ta có: $\{\begin{cases} A (a; b) : |z - 4 + 2 i| = |2 z + \bar{z}| \\ M (c; d) : |u + 1 - 2 i| = |u - 2 + i| \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} A \in (P) : y = 2 x^{2} + 2 x - 5 \\ M \in (d) : y = x \end{cases}$

Đặt $w = x + y i (x, y \in ℝ)$ , khi đó

$e = \frac{w - 8 - 10 i}{w - 6 - 10 i} = k i^{} (k \in ℝ) \Leftrightarrow (w - 8 - 10 i) \bar{(w - 6 - 10 i)} = m i^{} (m \in ℝ)$

$\Rightarrow (w - 8 - 10 i) (\bar{w} - 6 + 10 i) = {|w|}^{2} + (- 6 + 10 i) w - (8 + 10 i) \bar{w} + 148 - 20 i$ (2)

Thế $w = x + y i (x, y \in ℝ)$ vào (2) kết hợp biến đổi đại số, ta được $Re (e) = x^{2} - 14 x + y^{2} - 20 y + 148 = 0$ .

Suy ra $N \in (C) : {(x - 7)}^{2} + {(y - 10)}^{2} = 1$ , tức $N_{1}$ thuộc đường tròn tâm $I_{1} (7; 10)$ , bán kính R = 1.

Khi đó ta luôn có: $P = |u - z| + |\bar{u - w}| = |u - z| + |u - w| = M A + M N_{1} \geq M A + M I_{1} - 1$

Gọi $I_{2}$ là điểm đối xứng với $I_{1} (7; 10)$ qua (d), khi đó ta suy ra $I_{2} (10; 7)$ tức $N_{2} \in (I_{2}; 1)$ .

Khi đó ta có hình vẽ như sau:

Từ hình vẽ, ta dễ dàng suy ra: $P = M A + M I_{1} - 1 = M A + M I_{2} - 1 = M A + M N_{2}$

Mặt khác theo bất đẳng thức đường gấp khúc ta luôn có: $M A + M N_{2} \geq A N_{2}$ nên $P \geq A N_{2} = A I_{2} - 1$ khi $N_{2} \equiv N_{0}$ tức $P_{\min}$ khi và chỉ khi $A I_{2}$ min. Lúc này ta quy về bài toán đơn giản hơn như sau:

“Cho $A (a; b) \in (P) : y = 2 x^{2} + 2 x - 5$ và $I_{2} (10; 7)$ , khi ấy tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng $A I_{2}$ ”.

Lúc này ta có: $A I_{2} = \sqrt{{(a - 10)}^{2} + {(2 a^{2} + 2 a - 5 - 7)}^{2}} = \sqrt{{(a - 10)}^{2} + 4 {(a^{2} + a - 6)}^{2}}$ .

Chạy TABLE ta suy ra $A I_{2} \geq \sqrt{63.85} - 1 \in (5; 8)$ .

Câu 50:

Có bao nhiêu số nguyên dương y để tồn tại số thực x > 1 thỏa mãn

$x (2^{x y} + \log_{2} (x y)) = x y^{4} + 15 x y - 30 + 10 y$ ?

A. 16

B. 15

C. 26

D. 27

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đầu tiên ta có phương trình sau: $x (2^{x y} + \log_{2} (x y)) = x y^{4} + 15 x y - 30 + 10 y$ (*)

$\Leftrightarrow 2^{x y} + \log_{2} (x y) = y^{4} + 15 y - \frac{30 - 10 y}{x} \Leftrightarrow 2^{x y} + \log_{2} (x y) + \frac{30}{x} - \frac{10 y}{x} = y^{4} + 15 y$ (1)

Giải thích: ta cô lập vế phải là một hàm theo biến y luôn đồng biến trên $(0; + \infty)$ ( $f^{'} (y) = 4 y^{3} + 15 > 0$ $\forall y \in (0; + \infty)$ ).

Tiếp theo ta khảo sát hàm số $g (x) = 2^{x y} + \log_{2} (x y) + \frac{30}{x} - \frac{10 y}{x}$ trên $(1; + \infty)$ .

Ta có: $g^{'} (x) = y 2^{x y} \ln 2 + \frac{1}{x \ln 2} - \frac{30}{x^{2}} + \frac{10 y}{x^{2}}$ .

Thế $y = 3$ vào ta có $g^{'} (3) = 8^{x + 1} \ln 2 - \frac{1}{x \ln 2} > 64 \ln 2 - \frac{1}{\ln 2} > 0, \forall x > 1$ .

Suy ra $\forall y \geq 3$ thì $g^{'} (x) > 0$ , kéo theo đó ta có được:

$\{\begin{cases} g (x) > g (1) = 2^{y} + \log_{2} (y) - 10 y + 30 \\ \lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty \end{cases}$ .

Khi ấy để (*)có nghiệm $\forall x > 1$ thì cần có:

$2^{x y} + \log_{2} (x y) + \frac{30}{x} - \frac{10 y}{x} > 2^{y} + \log_{2} (y) - 10 y + 30$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $2^{y} + \log_{2} (y) - 10 y + 30 < y^{4} + 15 y$

$\Leftrightarrow 2^{y} + \log_{2} (y) - 25 y + 30 - y^{4} < 0, \forall y \geq 3$ (3)

Cho vế trái (3) bằng không giải ra nghiệm (shift SOLVE) $y \approx 16,01$ (**), khi đó ta có ý tưởng sau:

Giả sử đảo chiều (3), ta có: $2^{y} + \log_{2} (y) - 10 y + 30 > y^{4} + 15 y$

$\Leftrightarrow 2^{y} + \log_{2} (y) - 25 y + 30 - y^{4} > 0$ (4).

Tới đây ta sẽ chứng minh bất phương trình (4) luôn đúng với mọi $y \geq 17$ .

Xét hàm số $h (y) = 2^{y} + \log_{2} (y) - 25 y + 30 - y^{4}$ có $h (16) = - 366 < 0; h (17) > 0$ nên suy ra $h (y) < 0, \forall y < 17$ tức $h (y) > 0, \forall y \geq 17$ .

Suy ra bất phương trình (4) luôn đúng với mọi $y \geq 17$ tức bất phương trình (3) luôn đúng với mọi $3 \leq y \leq 17$ .

Do (**) nên ta thử từng giá trị $y : 3 \to 17$ theo thứ tự từ lớn xuống.

Nhận thấy y = 17 không thỏa nên $3 \leq y < 17$

Mà đề cho $y \in ℤ^{+}$ nên ta thử hai giá trị còn lại lần lượt là $y \in \{1; 2\}$ , nhận thấy hai giá trị này đều thỏa nên suy ra $1 \leq y < 17$ tức $y \in \{1; 2; ...; 15; 16\}$ . Vậy có tất cả 16 giá trị nguyên y thỏa mãn đề bài.

Câu 51:

Cho hàm số $f (x) = {(x - 3)}^{2} {(2 x - 7)}^{3} {(3 x - 10)}^{2 023} {(x - 4)}^{2 024}$ . Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $h (x) = f (|- x^{4} + 8 x^{2} + m x|)$ có số điểm cực tiểu nhiều nhất là $S = (a; b) \ \{c\}$ . Giá trị của biểu thức $T = a^{2} - a b + b^{2} + a b c$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. (1;100)

B. (115;130)

C. (100;115)

D. (130;2023)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Trường hợp 1: f(x) = 0 thì ta thu được các nghiệm bội lẻ lần lượt là $x = \frac{7}{2}; x = \frac{10}{3}$ (1)

Trường hợp 2: $f (x) \neq 0$ , thực hiện biến đổi

$\{\begin{cases} \ln f (x) = 2 \ln |x - 3| + 3 \ln |2 x - 7| + 2023 \ln |3 x - 10| + 2024 \ln |x - 4| \\ x \in ℝ \ \{3; \frac{10}{3}; \frac{7}{2}; 4\} \end{cases}$

Đạo hàm hai vế ta có: $\frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{2}{x - 3} + \frac{6}{2 x - 7} + \frac{6069}{3 x - 10} + \frac{2024}{x - 4}$

$\Rightarrow f^{'} (x) = f (x) (\frac{2}{x - 3} + \frac{6}{2 x - 7} + \frac{6069}{3 x - 10} + \frac{2024}{x - 4})$

Ta giải: $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) (\frac{2}{x - 3} + \frac{6}{2 x - 7} + \frac{6069}{3 x - 10} + \frac{2024}{x - 4}) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = {0^{}}^{} (L) \\ \frac{2}{x - 3} + \frac{6}{2 x - 7} + \frac{6069}{3 x - 10} + \frac{2024}{x - 4} = {0^{}}^{} (2) \end{array}$

Xét hàm số $u (x) = \frac{2}{x - 3} + \frac{6}{2 x - 7} + \frac{6069}{3 x - 10} + \frac{2024}{x - 4}$ có:

$u^{'} (x) = - \frac{2}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{12}{{(2 x - 7)}^{2}} - \frac{3.6069}{{(3 x - 10)}^{2}} - \frac{2024}{{(x - 4)}^{2}} < 0$

Suy ra $u (x)$ luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Với $\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 0$ , khi đó ta có bảng biến thiên sau:

Cho hàm số f(x) = (x-3)^2(2x-7)^3(3x-10)^2023(x-4)^2024. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m (ảnh 1)

Khi đó (2) có các nghiệm là: $x = a \in (3; \frac{10}{3}); x = b \in (\frac{10}{3}; \frac{7}{2}); x = c \in (\frac{7}{2}; 4)$ (3).

Từ (1) và (3), ta suy ra f(x) có 5 điểm cực trị lần lượt là $a, \frac{7}{2}, b, \frac{10}{3}, c$

(với $3 < a < \frac{7}{2} < b < \frac{10}{3} < c < 4$ ).

Tiếp đến ta xét hàm số $h (x) = f (|- x^{4} + 8 x^{2} + m x|)$ có

$h^{'} (x) = \frac{(- 4 x^{3} + 16 x + m) (- x^{4} + 8 x^{2} + m x) f^{'} (|- x^{4} + 8 x^{2} + m x|)}{|- x^{4} + 8 x^{2} + m x|} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 4 x^{3} + 16 x + m = {0^{}}^{} (4) \\ - x^{4} + 8 x^{2} + m x = {0^{}}^{} (5) \\ f^{'} (|- x^{4} + 8 x^{2} + m x|) = {0^{}}^{} (6) \end{array}$ .

Để hàm số h(x) có nhiều cực tiểu nhất thì (4), (5), (6) phải có nhiều nghiệm bội lẻ nhất.

Khi đó (4) tương đương với:

$m = 4 x^{3} - 16 x = q (x) \to m \in (q (\frac{2}{\sqrt{3}}); q (\frac{92}{\sqrt{3}})) \Rightarrow m \in (\frac{- 64}{3 \sqrt{3}}; \frac{64}{3 \sqrt{3}})$ (7).

Giải (5), khi đó phương trình tương đương với:

$[\begin{array}{l} x = 0 \\ - x^{3} + 8 x + m = 0^{} (*) \end{array} (*) \Leftrightarrow m = x^{3} - 8 x = r (x) \Rightarrow m \in (r (\frac{2 \sqrt{6}}{3}); r (\frac{- 2 \sqrt{6}}{3}))$

$\Rightarrow m \in (- \frac{32 \sqrt{6}}{9}; \frac{32 \sqrt{6}}{9})$ (8).

Từ (7) và (8) ta suy ra $m \in (- \frac{32 \sqrt{6}}{9}; \frac{32 \sqrt{6}}{9}) \ \{0\}$ . (9)

Giải (6), khi đó phương trình tương đương với:

$\{\begin{cases} |- x^{4} + 8 x^{2} + m x| = \frac{7}{2}; |- x^{4} + 8 x^{2} + m x| = \frac{10}{3} \\ |- x^{4} + 8 x^{2} + m x| = a; |- x^{4} + 8 x^{2} + m x| = b; |- x^{4} + 8 x^{2} + m x| = c \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - x^{3} + 8 x + m = \pm \frac{7}{2 x}; - x^{3} + 8 x + m = \pm \frac{10}{3 x} \\ - x^{3} + 8 x + m = \pm \frac{a}{x}; - x^{3} + 8 x + m = \pm \frac{b}{x}; - x^{3} + 8 x + m = \pm \frac{c}{x} \end{cases}$ .

Giả sử ta có hàm số $p (x) = - x^{3} + 8 x + m$ ta suy ra để thỏa mãn đề bài thì hàm số p(x) phải luôn cắt các đường cong $- \frac{7}{2 x}; - \frac{10}{3 x}; - \frac{a}{x}; - \frac{b}{x}; - \frac{c}{x}$ tại 2 điểm phân biệt tại mỗi đường.

Do $c \approx 3,6667$ (sai số rất nhỏ) nên ta xem như $c = \frac{7}{2} = 3,5$ .

Gọi $x_{0}$ là hoành độ của điểm tiếp xúc giữa p(x) và $y = \frac{7}{2 x}$ .

Khi đó $x_{0}$ là nghiệm của hệ:

$\{\begin{cases} - {x_{0}}^{3} + 8 x_{0} + m = \frac{7}{2 x_{0}} \\ - 3 {x_{0}}^{2} + 8 = - \frac{7}{2 {x_{0}}^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - {x_{0}}^{3} + 8 x + m = \frac{7}{2 x_{0}} \\ 6 {x_{0}}^{4} - 16 {x_{0}}^{2} - 7 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - {x_{0}}^{3} + 8 x_{0} + m = \frac{7}{2 x_{0}} \\ x_{0} = \pm 1,75 \end{cases}$

Suy ra: $- {(\pm 1,75)}^{3} + 8 (\pm 1,75) + m = \frac{7}{2 (\pm 1,75)} \Leftrightarrow m = \pm 6,64$ .

Như vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì ta cần có $m \in (- 6,64; 6,64)$ (10).

Từ (9) và (10) ta suy ra $m \in (- 6,64; 6,64) \ \{0\}$ .

Vậy

T = a^{2} - a b + b^{2} = 3 {(6,64)}^{2} \in (115; 150)

.