Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD\) và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều \(ABCD.\)
A.\({S_{xq}} = 8\sqrt 3 \pi .\)
B.\({S_{xq}} = 8\sqrt 2 \pi .\)
C.\({S_{xq}} = \frac{{16\sqrt 3 }}{3}\pi .\)
D.\({S_{xq}} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\pi .\)
Giải bởi Vietjack
Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(CD.\)
Gọi \(H\) là trọng tâm của tam giác đều \(BCD.\) Khi đó \(HI = \frac{{2\sqrt 3 }}{3},BH = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\)
Gọi \(H\) là trọng tâm của tam giác đều \(BCD\) nên \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD\)
Và \(HI\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD.\) Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là \(r = HI = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\)
Tứ diện \[ABCD\] đều nên \(AH \bot \left( {BCD} \right),\) suy ra \(AH\) là chiều cao của khối tứ diện.
Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) ta có
\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} \Leftrightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {4^2} - {\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{32}}{3} \Leftrightarrow AH = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}.\)
Vậy chiều cao của hình trụ là \(h = AH = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}.\) Suy ra độ dài đường sinh của hình trụ là \(l = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}.\) Diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi rl = 2\pi .\frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\frac{{4\sqrt 6 }}{3} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\pi .\)
Đáp án D
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + mx - \frac{1}{{5{x^2}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)?\)
Cho khối lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng \(a.\) Tính thể tích của khối lăng trụ đó theo \(a.\)
Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + m{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\) có hai nghiệm phân biệt là khoảng \(\left( {a;b} \right).\) Tính \(T = 3a + 8b.\)
Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình \({\log _3}x.{\log _9}x.{\log _{27}}x.{\log _{81}}x = \frac{2}{3}\) bằng
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý và \(a \ne 1.\) Ta có \({\log _{{a^2}}}b\) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right),\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\) có 5 điểm cực trị?
Đường cong hình sau là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho dưới đây, hỏi đó là hàm số nào?
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 2.\) Tính \({u_9}.\)
Biết rằng \[a\] là số thực dương để bất phương trình \[{a^x} \ge 9x + 1\] nghiệm đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3\) là:
Cho khối chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,AB = \sqrt 3 ,BC = 3,SA \bot \left( {ABC} \right)\) và góc giữa \(SC\) với đáy bằng \({45^0}.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm tọa độ đỉnh \(A'\) biết tọa độ các điểm \(A\left( {0;0;0} \right);B\left( {1;0;0} \right);C\left( {1;2;0} \right);D'\left( { - 1;3;5} \right).\)
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({3^{2x + 1}} = \frac{1}{3}.\)
Cho khối nón có bán kính hình tròn đáy, độ dài đường cao và độ dài đường sinh lần lượt là \(r,h,l.\) Thể tích \(V\) của khối nón đó là:
