Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a.\) Lấy \(N,M\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC.\) Tính khoảng cách \(d\) giữa \(CN\) và \(DM.\)
A.\(d = a\sqrt {\frac{3}{2}} .\)
B.\(d = \frac{{a\sqrt {10} }}{{10}}.\)
C.\(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
D.\(d = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}}.\)
Giải bởi Vietjack
Gọi \(P\) là trung điểm của \(AN \Rightarrow MP//CN,MP \subset \left( {DMP} \right) \Rightarrow CN//\left( {DMP} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {CN,DM} \right) = d\left( {CN,\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {N,\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right).\)
Ta có \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh \(a \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\)
Ta có \(\frac{{{V_{A.DMP}}}}{{{V_{A.DBC}}}} = \frac{{AP}}{{AB}}.\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{A.DMP}} = \frac{1}{8}{V_{A.DBC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}.\)
Tam giác \(ACD\) đều cạnh \(a,\) có \(M\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a,\) có \(N\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow MP = \frac{1}{2}CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)
Tam giác \(ADP,\) có \(AP = \frac{a}{4},AD = a,\widehat {PAD} = {60^0}.\)
\( \Rightarrow DP = \sqrt {A{D^2} + A{P^2} - 2.AD.AP.\cos \widehat {PAD}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}.\)
Đặt \(p = \frac{{DM + DP + MP}}{2} = \frac{{a\left( {\sqrt {13} + 3\sqrt 3 } \right)}}{8}.\)
\( \Rightarrow {S_{\Delta DMP}} = \sqrt {p\left( {p - DM} \right)\left( {p - DP} \right)\left( {p - MP} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}\)
Lại có \({V_{A.DMP}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta DMP}}.d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {DMP} \right)} \right) = \frac{{3{V_{A.DMP}}}}{{{V_{\Delta DMP}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}}} = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}}.\)
Vậy \(d\left( {CN,DM} \right) = \frac{{a\sqrt {70} }}{{35}}.\)
Đáp án D
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + mx - \frac{1}{{5{x^2}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)?\)
Cho khối lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng \(a.\) Tính thể tích của khối lăng trụ đó theo \(a.\)
Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + m{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\) có hai nghiệm phân biệt là khoảng \(\left( {a;b} \right).\) Tính \(T = 3a + 8b.\)
Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình \({\log _3}x.{\log _9}x.{\log _{27}}x.{\log _{81}}x = \frac{2}{3}\) bằng
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý và \(a \ne 1.\) Ta có \({\log _{{a^2}}}b\) bằng
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right),\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\) có 5 điểm cực trị?
Đường cong hình sau là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho dưới đây, hỏi đó là hàm số nào?
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 2.\) Tính \({u_9}.\)
Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3\) là:
Biết rằng \[a\] là số thực dương để bất phương trình \[{a^x} \ge 9x + 1\] nghiệm đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho khối chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,AB = \sqrt 3 ,BC = 3,SA \bot \left( {ABC} \right)\) và góc giữa \(SC\) với đáy bằng \({45^0}.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm tọa độ đỉnh \(A'\) biết tọa độ các điểm \(A\left( {0;0;0} \right);B\left( {1;0;0} \right);C\left( {1;2;0} \right);D'\left( { - 1;3;5} \right).\)
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({3^{2x + 1}} = \frac{1}{3}.\)
Cho khối nón có bán kính hình tròn đáy, độ dài đường cao và độ dài đường sinh lần lượt là \(r,h,l.\) Thể tích \(V\) của khối nón đó là:
