Cho hình chóp \[S.ABC\]có \[SA\]vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right),SA = a,AB = a\],\[AC = 2a,\] \[\widehat {BAC} = {60^0}.\] Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABC\].
A.\(20\pi {a^2}\).
B.\(\frac{5}{3}.\pi {a^2}\).
C.\(5\pi {a^2}\).
D.\(\frac{{20}}{3}\pi {a^2}\).
Giải bởi Vietjack
![Cho hình chóp \[S.ABC\]có \[SA\]vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right),SA = a,AB = a\],\[AC = 2a,\] \[\widehat {BAC} = {60^0}.\] Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp \[S.ABC\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649615523/1649615702-image7.png)
Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\)
\( \Rightarrow \Delta \) là trục đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)
Gọi \(E\) là trung điểm \(SA.\)
Trong \(\left( {SA,\Delta } \right),\) gọi \(O\) là giao điểm của \(\Delta \) với đường trung trực cạnh \(SA.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OA = OB = OC\left( {O \in \Delta } \right)\\OS = OA\left( {O{\rm{ thuo\"a c \~n \"o \^o {\o}ng trung tr\"o \"i c ca\"i nh SA}}} \right)\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow OS = OA = OB = OC\)
\( \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC,\) bán kinh \(R = OA.\)
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos {60^0} = 3{a^2}.\)
\( \Rightarrow BC = a\sqrt 3 .\)
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4{R_{\left( {ABC} \right)}}}} \Leftrightarrow {R_{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{a.2a.a\sqrt 3 }}{{4.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = a.\)
\( \Rightarrow AI = a.\)
Tứ giá \(AEOI\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AO = \sqrt {A{E^2} + A{I^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
\( \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)
Diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = 5\pi {a^2}.\)
Đáp án C
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên
Tìm \(m\) để phương trình \(2f(x) + m = 0\) có đúng \(3\) nghiệm phân biệt
Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 7x + 5\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \[A\]. Biết \(AB = AA' = a\), \(AC = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \[AC\]. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(MA'B'C'\) bằng
Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AC = AD = BC = BD = 1\], mặt phẳng\[\left( {ABC} \right) \bot (ABD)\] và \[\left( {ACD} \right) \bot (BCD)\]. Khoảng cách từ \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\]là:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A\), \(AB = AC = a\), \(AA' = \sqrt 2 a\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện \(AB'A'C\) là
Cho tứ diện \[OABC\] có \[OA\], \[OB\], \[OC\] đôi một vuông góc nhau và \[OA = OB\]\[ = OC = 3a\]. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AC\] và \[OB\].
Cho hàm đa thức \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau
![Cho hàm đa thức \(y = f(x)\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau Có bao nhiêu giá trị của \(m \in \left[ {0;\,6} \right];\,2m \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} - (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1649615523/1649615702-image19.png)
Có bao nhiêu giá trị của \(m \in \left[ {0;\,6} \right];\,2m \in \mathbb{Z}\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2} - 2\left| {x - 1} \right| - 2x + m} \right)\) có đúng \(9\) điểm cực trị?
Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} + 2{x^2} + 1}}{{{x^2} + 1}}\) là
Cho hàm số \(f(x) = - \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {3m + 2} \right)x - 5\) . Tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là \(\left[ {a;\,b} \right]\). Khi đó \(2a - b\) bằng
Cho hình chóp \[S.ABCD\], đáy là hình chữ nhật tâm \[O\], \[AB = a\], \[AD = a\sqrt 3 \], \[SA = 3a\], \[SO\] vuông góc với mặt đáy \[\left( {ABCD} \right)\]. Thể tích khối chóp bằng
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = m{x^4} - \left( {m - 3} \right){x^2} + {m^2}\)không có điểm cực đại là
Tính thể tích \[V\] của khối lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) biết độ dài cạnh đáy của lăng trụ bằng \[2\] đồng thời góc tạo bởi \(A'C\) và đáy \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[30^\circ \].
Cho \(4\) số \(a,\,b,\,c,\,d\) thỏa mãn điều kiện \({a^2} + {b^2} = 4a + 6b - 9\) và \(3c + 4d = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2}\) ?
Hàm số \(y = \left| {{{\left( {x - 1} \right)}^3}\left( {x + 1} \right)} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
