Cho $a$ là số thực dương tùy ý, $\ln \frac{e}{a^2}$ bằng

Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=\mathrm{3,}$ biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x(0\le x\le 3)$ là một hình chữ nhật có hai kích thước là $2\sqrt{9-x^2}.$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình bên.

Cho hai số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn $x+y+1=2\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3}\right)$.Giá trị lớn nhất của biểu thức $S=3^{x+y-4}+\left(x+y+1\right)2^{7-x-y}-3\left(x^2+y^2\right)$ là $\frac{a}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $a+b$.

Cho không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left(0;1;2\right)$ và hai đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1-2t\\ z=2+t\end{array}\right.$, $d_2:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $A$ và song song với hai đường thẳng $d_1,d_2$.

Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[-2019;2019\right]$ của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x-3}}{x^2+x-m}$ có đúng hai đường tiệm cận.

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+2y+3z-6=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{1}$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

 Cho biểu thức $P=\sqrt[4]{x^5}$ với $x>0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

 Bất phương trình  nghiệm đúng với mọi   khi và chỉ khi

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{z-1}{-1}=\frac{y-3}{2}$. Một vectơ chỉ phương của $d$ là

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ với $u_1=2$ và $u_2=8$. Công sai của cấp số cộng bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các hình phẳng (A), (B) lần lượt bằng 3 và 7. Tích phân $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos x.f\left(5\sin x-1\right)dx$ bằng

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[1;5\right]$ sao cho $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=2$ và $\underset{1}{\overset{5}{\int }}g\left(x\right)\text{d}x=-4$. Giá trị của $\underset{1}{\overset{5}{\int }}\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]\text{d}x$ là

 Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2-2a-4b=4$. Tính $P=a+2b+3c$ khi biểu thức $\left|2a+b-2c+7\right|$ đạt giá trị lớn nhất.

  Cho hàm số bậc bốn $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình dưới đây. Số nghiệm của phương trình $3f\left(x\right)+1=0$ là