Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} + 3{x^3} - 4m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}}} \right) = {x^3} - m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]?\)
A. 16.
B. 18.
C. 15.
D. 17.
Giải bởi Vietjack
Đáp án A.
Đặt \(u = \sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} \Leftrightarrow {u^3} = f\left( x \right) + m \Leftrightarrow {u^3} - m = f\left( x \right).\)
Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( u \right) = {x^3} - m\\f\left( x \right) = {u^3} - m\end{array} \right. \Rightarrow f\left( u \right) = {x^3} - {u^3} \Leftrightarrow f\left( u \right) + {u^3} = f\left( x \right) + {x^3}\left( * \right)\)
Xét \(g\left( t \right) = f\left( t \right) + {t^3},g'\left( t \right) = f'\left( t \right) + 3{t^2} = 5{t^4} + 12{t^2} \ge 0,\forall t \in \mathbb{R},\) suy ra hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
\(\left( * \right) \Leftrightarrow g\left( u \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow u = x.\)
Suy ra: \(x = \sqrt[3]{{g\left( x \right) + m}} \Leftrightarrow {x^3} = f\left( x \right) + m \Leftrightarrow {x^3} = {x^5} + 3{x^3} - 4m + m\)
\( \Leftrightarrow 3m = {x^5} + 2{x^3}.\)
Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^5} + 2{x^3}.\) Để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thì \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h\left( x \right) \le 3m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h\left( x \right).\)
Ta có: \(h'\left( x \right) = 5{x^4} + 6{x^2} >0,\forall x \in \left[ {1;2} \right],\) suy ra \(h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right].\)
Suy ra: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h\left( x \right) = h\left( 1 \right) = 3,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h = h\left( 2 \right) = {2^5} + {2.2^3} = 32 + 16 = 48.\)
Vậy: \(3 \le 3m \le 48 \Leftrightarrow 1 \le m \le 16.\)
Cho \(x,y,z\) là ba số dương lập thành cấp số nhân; còn \({\log _a}x;{\log _{\sqrt a }}y;{\log _{\sqrt[3]{a}}}z\) lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(Q = \frac{{2017x}}{y} + \frac{{2y}}{z} + \frac{z}{x}.\)
Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4 - 3x}}{{4x + 5}}\) là
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) bán kính \(R\) có diện tích bằng
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2x + 3\) tại điểm \(M\left( {2;7} \right)\) là
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\) Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
Đội văn nghệ của lớp 12A có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh của đội văn nghệ sao cho 2 học sinh có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ.
Cho hàm số \(y = - {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 3\left( {2m - 1} \right)x + 2020.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)?\)
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau lập từ các số \(0;1;2;3;4;5;6;7.\) Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập hợp \(S.\) Tính xác suất để số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn.
Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x - 6{\log _6}\left( {4x} \right) + 1 = 0.\). Tính giá trị của \(S.\)
Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có \({u_1} = 3\) và công sai d=2. Tìm \({u_{20}}?\)
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} - x}}\) là
Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \({x^2}{\left( {x - 2} \right)^5} + {\left( {2x - 1} \right)^6}\) bằng
Cho hàm số \(f\left( x \right),\) bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(y = f\left( {1 - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Tập nghiệm của bất phương trình \({6.9^x} - {12.6^x} + {6.4^x} \le 0\) có dạng \(S = \left[ {a;b} \right].\) Giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^2}\) bằng
