Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,SA \bot \left( {ABC} \right),\) góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\) bằng:
A.\(\frac{{a\sqrt 3 }}{7}.\)
B.\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
C.\(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\)
D. \(\frac{{a\sqrt 7 }}{7}.\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án C.
Trong mp \(\left( {ABC} \right)\) kẻ hình bình hành \(ABDC,AE \bot BD;\) trong mp \(\left( {SAE} \right)\) kẻ \(AH \bot SE.\)
Theo giả thiết:
\(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABC} \right)\\AE \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {SAE} \right)\)
\( \Leftrightarrow BD \bot AH\) mà \(AH \bot SE\) nên \(AH \bot \left( {SBD} \right).\)
Ta lại có \(BD//AC \Rightarrow AC//\left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {AC,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {ABD} \right)} \right) = AH\).
Mặt khác: Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SBA} = {60^0},SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\)
Vì \(ABDC\) là hình bình hành nên \(\widehat {ABD} = {180^0} - \widehat {BAC} = {120^0}\) do đó điểm \(E\) nằm ngoài đoạn thẳng \(BD\) và góc \(\widehat {ABE} = {60^0} \Rightarrow AE = AB\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Tam giác \(SAE\) vuông có:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}} \Rightarrow A{H^2} = \frac{{3{a^2}}}{5} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\)
Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(AC\) và \(SB\) là \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\)
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {3m + 5} \right)x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2}\) có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \( - {x^4} + 2{x^2} = m\) có hai nghiệm phân biệt.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - \left( {1 - m} \right)x + 2m} }}\) có hai tiệm cận đứng?
Tìm hệ số \(h\) của số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} + \frac{2}{x}} \right)^7}?\)
Cho hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) - \frac{{{x^6}}}{3} + {x^4} - {x^2}\) đạt cực tiểu tại bao nhiêu điểm?
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 ,\) cạnh bên bằng \(2a.\) Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\) Tính \(\cos \alpha .\)
Cho \(k \in \mathbb{N},n \in \mathbb{N}.\) Trong các công thức về số các chỉnh hợp và số các tổ hợp sau, công thức nào là công thức đúng?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên dưới
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {3 - x} \right|} \right)\) đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng sau?
Cho phương trình: \({\sin ^3}x + 2\sin x + 3 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x + m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình trên có đúng một nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)?\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là \(M,m.\) Giá trị biểu thức \(P = {M^2} + {m^2}\) bằng
Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) là một điểm thuộc \(\left( C \right):y = {x^3} - 3{x^2} + 2,\) biết tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt \(\left( C \right)\) tại điểm \(N\left( {{x_N};{y_N}} \right)\) (khác \(M\)) sao cho \(P = 5x_M^2 + x_N^2\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(OM.\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^3} + 3{x^2} + mx - 6\) có hai điểm cực trị
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(6\left( {cm} \right).\) Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ.
Trong đó \(AE = 2\left( {cm} \right),AH = x\left( {cm} \right),CF = 3\left( {cm} \right),CG = y\left( {cm} \right).\) Tìm tổng \(x + y\) để diện tích hình thang \(EFGH\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 2.\) Tính \({u_3}?\)
