Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với OC cắt (O) tại M (M thuộc cung nhỏ BC), AM cắt (O) tại N (N khác M); gọi K là trung điểm MN.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và AB.BM = AM.NB.

b) Chứng minh 5 điểm A, B, K, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và $\widehat{\text{AMH}}\text{=}\widehat{\text{AON}}$.

c) Kẻ OI vuông góc NB tại I. Chứng minh: I, K, H thẳng hàng.

a) Ta có:

$\widehat{\text{OBA}}$= 90° (AB là tiếp tuyến của (O)).

$\widehat{\text{OCA}}$= 90° (AC là tiếp tuyến của (O)).

Xét tứ giác ABOC có $\widehat{\text{OBA}}$+$\widehat{\text{OCA}}$= 90° + 90° = 180°.

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

Xét ∆ ABM và ∆ ANB có:

$\widehat{\text{NAB}}$là góc chung.

$\widehat{\text{ANB}}\text{=}\widehat{\text{ABM}}$ (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM).

Suy ra ∆ABM đồng dạng ∆ANB (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{\text{AM}}{\text{AB}}\text{=}\frac{\text{BM}}{\text{NB}}\iff$ AB.BM = AM.NB (đpcm)

b) Tứ giác ABOC nội tiếp có $\widehat{\text{OBA}}$= 90° suy ra OA là đường kính cũng suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA.

Ta có OK ⊥ MN (tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây đó).

Suy ra $\widehat{\text{OKM}}\text{=}\widehat{\text{OKA}}=$90° dẫn đến K thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy 5 điểm A, B, C, O, K cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA.

Vì ∆ABM  ∆ANB (cmt) nên ta có: $\frac{AB}{AN}=\frac{AM}{AB}$

Û AB² = AM.AN.

Mà ta cũng có AB² = AH.AO (∆ ABO vuông tại B có đường cao BH).

Suy ra AM.AN = AH.AO Û $\frac{\text{AM}}{\text{AO}}\text{=}\frac{\text{AH}}{\text{AN}}$.

Xét ∆AMH và ∆AON có:

$\widehat{\text{OAN}}$là góc chung

$\frac{\text{AM}}{\text{AO}}\text{=}\frac{\text{AH}}{\text{AN}}$ (cmt)

Suy ra ∆AMH đồng dạng ∆AON (c.g.c)

Từ đó suy ra $\widehat{AMH}=\widehat{AON}$ (hai góc tương ứng).

c) Ta có MH // AC (cùng vuông góc với OC).

Suy ra $\widehat{KMH}=\widehat{KAC}$(hai góc đồng vị).

Ta lại có $\widehat{\text{KBC}}\text{=}\widehat{\text{KAC}}$ (tứ giác KBAC nội tiếp)

Từ đó suy ra $\widehat{KBH}=\widehat{KMH}$ suy ra tứ giác KBMH nội tiếp.

$\widehat{MKH}=\widehat{MBH}$(tứ giác KBMH nội tiếp)

$\widehat{\text{MNC}}\text{=}\widehat{\text{MBC}}$(tứ giác NBMC nội tiếp đường tròn (O))

⇒$\widehat{MKH}=\widehat{MNC}$⇒ KH//NC      (1)

Ta có H là trung điểm BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

I là trung điểm NB (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây).

⇒ IH là đường trung bình của tam giác NBC ⇒ IH // NC                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra K, H, I thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit).