Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (C khác A). Từ C kẻ 2 tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm; tia CO nằm giữa hai tia CM và CA). Gọi D là trung điểm AB.
a) Chứng minh tứ giác CMOD nội tiếp.
b) Chứng minh: CN2 = CA.CB
c) ND cắt (O) tại I. Chứng minh: MI // ABư
d) Gọi E là giao điểm của MN và AB. Chứng minh .
Giải bởi Vietjack
a) Ta có D là trung điểm của AB nên OD ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây).
Ta có: = 90° (OD ⊥ AB)
= 90° (MC là tiếp tuyến của (O))
Xét tứ giác ABOC có += 90° + 90° = 180°
Suy ra tứ giác CMOD nội tiếp.
b) Xét ∆CAN và ∆CNB có:
là góc chung
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AN).
Suy ra ∆CAN đồng dạng ∆CNB (g.g)
Từ đó suy ra (điều phải chứng minh)
c) Ta có:
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung NM)
(tứ giác CMOD nội tiếp)
Suy ra suy ra BC // IM.
d) Gọi H là giao điểm của MN và OC.
Ta có OM = ON = R.
CN = CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra OC là trung trực của MN suy ra OC ⊥ MN.
Xét ∆CEH và ∆COD có:
là góc chung
= 90° (OD ⊥ AB và MN ⊥ OC)
Suy ra ∆CEH đồng dạng ∆COD (g.g)
Từ đó suy ra (1)
Xét tam giác ONC vuông tại N đường cao NH ta có:
NC2 = OH.OC
Mà NC2 = CA.CB (chứng minh trên)
Suy ra OH.OC = CA.CB (2)
Từ (1) và (2) ta được
CE.CD = CA.CB
Mà CB + CA = 2CA + AB = 2CA + 2DA
= 2(CA + DA) = 2CD
Thay vào trên ta được
(điều phải chứng minh)
Cho các biểu thức:
và với x ≥ 0, x ≠ 4
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 49.
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm x để biểu thức P = A.B ≤
1) Giải hệ phương trình sau:
2) Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (m + 4)x – 4m
a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = −2.
Quãng đường AB dài 400 km, một ô tô đi từ A đến B với vận tốc không đổi. Khi từ B trở về A, ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h. Biết thời gian ô tô đi từ B vể A ít hơn thời gian đi từ A đến B là 2 giờ. Tính vận tốc ô tô lúc đi từ A đến B.
