Một xí nghiệp chế biến sữa bò muốn sản xuất lon đựng sữa có dạng hình trụ bằng thiếc có thể tích không đổi. Để giảm giá một lon sữa khi bán ra thị trường người ta cần chế tạo lon sữa có kích thước sao cho ít tốn kém vật liệu. Để thỏa mãn yêu cầu đặt ra (diện tích toàn phần bé nhất), người ta phải thiết kế lon sữa thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau:  

Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left|z+2w\right|=1$  và $\left|3z-w\right|=2$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=7\left|z+w\right|+\left|z+9w\right|$ . Tính giá trị của $M^2-m^2$ .

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

${\log }_3\left(5-\left|x\right|+2\left|y\right|\right)+2{\log }_2\left(5-\left|x\right|\right)+3\ge {\log }_3\left|y\right|+{\log }_2{\left(5-\left|x\right|+3\left|y\right|\right)}^2$?

Cho hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\left|2f\left(\ln x\right)-{\ln }^{2}x+1-m\right|$  nghịch biến trên $\left(1;e\right)$ , biết $f\left(1\right)=2$ ?

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-1}$ . Hai điểm M, N thay đổi, lần lượt nằm trên các mặt phẳng $\left(P\right):x-2=0$ , $\left(Q\right):z-2=0$  sao cho trung điểm K của đoạn thẳng MN luôn thuộc đường thẳng $\Delta$ . Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=f^2\left(x\right)-mf\left(x\right)$  có đúng 5 điểm cực trị?

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a và BC = 4a. Gọi M là trung điểm của B’C’, biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (B’AC) bằng $\frac{6a}{13}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn ${\log }_2\left(8x^2\right)+{\log }_3\left(3x^3\right)\ge {\log }_{2}x.{\log }_{3}x$ ?

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ . Gọi $xF\left(x\right),G\left(x\right)$  là hai nguyên hàm của f(x) trên $ℝ$  thỏa mãn $3F\left(1\right)+G\left(0\right)=6$  và $F\left(1\right)-G\left(1\right)=6$ .

Tính $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 2x.f\left({\cos }^{2}x\right)\text{d}x$ .

Cho khối nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng $120°$ . Một mặt phẳng (P) đi qua S, cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng 4. Tính thể tích V của khối nón (N).