50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 30)

Câu 1:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x + 1}$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A. 1

B. -1

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Chọn A.

Đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - x + 1}{x + 1}$ cắt trục tung nên hoành độ giao điểm bằng 0 suy ra tung độ giao điểm bằng 1.

Câu 2:

Với a là số thực dương tùy ý, $\sqrt[3]{a^{2}}$ bằng:

A. $a^{\frac{1}{6}} .$

B. $a^{6} .$

C. $a^{\frac{2}{3}} .$

D. $a^{\frac{3}{2}} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Với một số thực dương ta có: $\sqrt[3]{a^{2}} = a^{\frac{2}{3}} .$

Câu 3:

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2}) = 4$ là:

A. $S = \{\pm 2\} .$

B. $S = \{\sqrt{2}\} .$

C. $S = \{\pm 4\} .$

D. S = {4}.

Xem đáp án

Chọn C.

ĐK: $x^{2} > 0 \Leftrightarrow x \neq 0.$

Ta có: $\log_{2} (x^{2}) = 4 \Leftrightarrow x^{2} = 16 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 (n) \\ x = - 4 (n) \end{array} .$

Suy ra tập nghiệm $S = \{- 4; 4\}$ .

Câu 4:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 2$ và $u_{2} = 6.$ Giá trị của $u_{3}$ là:

A. $u_{3} = 10$

B. $u_{3} = 18$

C. $u_{3} = 14$

D. $u_{3} = 54$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $u_{1} . u_{3} = u_{2}^{2} \Rightarrow u_{3} = \frac{u_{2}^{2}}{u_{1}} = \frac{6^{2}}{2} = 18.$

Câu 5:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{1 - x}{x + 1}

có phương trình là:

A. x = 1

B. y = 1

C. y = -1

D. x = -1

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{1 - x}{x + 1} = - 1$ (hoặc $\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{1 - x}{x + 1} = - 1)$ , nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 6:

Với số thực dương a tùy ý,

\log_{3} a^{3}

bằng

A. $\log_{3} (3 a) .$

B. $3 \log_{3} a .$

C. ${(\log_{3} a)}^{3} .$

D. $3 + \log_{3} a .$

Xem đáp án

Chọn B.

Với số thực dương a tùy ý, ta có: $\log_{3} a^{3} = 3 \log_{3} a .$

Câu 7:

Môđun của số phức $z = 1 + i \sqrt{2}$ bằng:

A. $|z| = 1 + \sqrt{2}$

B. $|z| = \sqrt{2}$

C. $|z| = \sqrt{3}$

D. $|z| = 3$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $|z| = \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} .$

Câu 8:

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} x$ là:

A. $y' = \frac{\ln 2}{x} .$

B. $y' = \frac{1}{x \ln 2} .$

C. $y' = \frac{x}{\ln 2} .$

D. $y' = \frac{1}{x} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $y' = \frac{1}{x \ln 2} .$

Câu 9:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

A. x = -4

B. x = 0

C. x = 3

D. x = 1

Xem đáp án

Chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra điểm cực tiểu của hàm số là x = 3.

Câu 10:

Nghiệm của phương trình $3^{1 - 2 x} = 27$ là

A. x = -3

B. x = 3

C. x = 1

D. x = -1

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $3^{1 - 2 x} = 27 \Leftrightarrow 1 - 2 x = 3 \Leftrightarrow x = - 1.$

Vậy nghiệm của phương trình $3^{1 - 2 x} = 27$ là: x = -1.

Câu 11:

Cho số phức z = -2 + i. Điểm biểu diễn của số phức

\bar{z}

là:

A. (-2; 1)

B. (-2; -1)

C. (2; 1)

D. (2; -1)

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\bar{z} = - 2 - i .$

Vậy điểm biểu diễn của số phức $\bar{z}$ là M(-2; -1)

Câu 12:

Cho hàm số f(x) = sin3x. Khẳng định nào sau đây đúng:

A. $\int_{}^{} f (x) d x = - \frac{1}{3} \cos 3 x + C .$

B. $\int_{}^{} f (x) d x = - \cos 3 x + C .$

C. $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{1}{3} \cos 3 x + C .$

D. $\int_{}^{} f (x) d x = \cos 3 x + C .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{1}{3} \int_{}^{} \sin 3 x d (3 x) = - \frac{1}{3} \cos 3 x + C$

Câu 13:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 - i, z_{2} = 3 + 2 i .$ Số phức $w = z_{1} . z_{2}$ bằng:

A. w = -8 - i

B. w = 8 - i

C. w = -8 + i

D. w = 8 + i

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $w = (2 - i) (3 + 2 i) = 6 + 4 i - 3 i - 2 i^{2} = 8 + i$

Câu 14:

Cho $I = \int_{1}^{2} f (2 x) d x .$ Khi đặt t = 2x thì ta được:

A. $I = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} f (t) d t .$

B. $I = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} f (t) d t .$

C. $I = \int_{2}^{4} f (t) d t .$

D. $I = \int_{1}^{2} f (t) d t .$

Xem đáp án

Chọn A.

Đặt $2 x = t \Rightarrow 2 d x = d t \Rightarrow d x = \frac{d t}{2}$

Đổi cận:

$x = 1 \Rightarrow t = 2$

$x = 2 \Rightarrow t = 4$

Suy ra $I = \int_{2}^{4} f (t) \frac{d t}{2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} f (t) d t .$

Câu 15:

Cho hai hàm số f(x), g(x) thỏa mãn $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2, \int_{1}^{0} g (x) d x = 5.$ Giá trị $I = \int_{0}^{1} (f (x) - g (x)) d x$ là:

A. I = 7

B. I = -3

C. I = 3

D. I = -7

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $\int_{1}^{0} g (x) d x = 5 \Rightarrow \int_{0}^{1} g (x) d x = - 5$

Suy ra $I = \int_{0}^{1} [f (x) - g (x)] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - \int_{0}^{1} g (x) d x = 2 - (- 5) = 7.$

Câu 16:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm f'(x) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số f(x) đã cho là:

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn A.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy f'(x) đổi dấu 3 lần khi qua các điểm x = -4, x = 1, x = 3.

Do đó hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 17:

Có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh trong 8 học sinh:

A. $8^{2}$

B. 6!

C. $A_{8}^{2}$

D. $C_{8}^{2}$

Xem đáp án

Chọn D.

Số cách chọn ra 2 học sinh trong 8 học sinh là số tổ hợp chập 2 của 8 phần tử $C_{8}^{2} .$

Câu 18:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $(- \infty; 0)$

B. $(3; + \infty)$

C. (-2; 3)

D. (0; 3)

Xem đáp án

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; 3)

Câu 19:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 và F(0) = 2. Tìm F(x)?

A. F(x) = 2

B. F(x) = 2x + 1

C. $F (x) = x^{2} + 2.$

D. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + 2.$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $F (x) = \int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} 2 x d x = \frac{2 x^{2}}{2} + C = x^{2} + C .$

Vì $F (0) = 2 \Rightarrow 0^{2} + C = 2 \Rightarrow C = 2.$

Vậy $F (x) = x^{2} + 2.$

Câu 20:

Đồ thị dưới đây có thể là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = x^{3} - 3 x + 1.$

B. $y = x^{3} + 3 x - 1.$

C. $y = - x^{3} + 3 x + 1.$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 .$

Xem đáp án

Chọn A.

Từ đồ thị ta thấy đây là hình ảnh đồ thị hàm bậc $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ và $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty \Rightarrow a > 0,$ loại phương án C.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương $\Rightarrow d > 0,$ loại phương án B.

Xét phương án D có $y' = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow y' = 0$ có hai nghiệm là x = 0 và x = 2 nên hàm số đạt cực trị tại x = 0 và x = 2loại phương án D.

Vậy phương án đúng là A.

Câu 21:

Tổng hai nghiệm của phương trình $\log_{3}^{2} x - 6 \log_{3} x + 8 = 0$ bằng:

A. 6

B. 90

C. 729

D. 8

Xem đáp án

Chọn B.

Điều kiện: x > 0

Ta có $\log_{3}^{2} x - 6 \log_{3} x + 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{3} x = 4 \\ \log_{3} x = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3^{4} \\ x = 3^{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 81 \\ x = 9 \end{array} .$

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng: $81 + 9 = 90.$

Câu 22:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và $\int_{0}^{2} (3 f (x) + 2 x) d x = 7.$ Tính $I = \int_{0}^{2} f (x) d x .$

A. I = 1

B. I = 4

C. I = 2

D. I = 3

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $7 = \int_{0}^{2} (3 f (x) + 2 x) d x = 3 \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

$\Leftrightarrow 3 I = 7 - \int_{0}^{2} 2 x d x \Leftrightarrow 3 I = 3 \Leftrightarrow I = 1.$

Vậy I = 1.

Câu 23:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (5; - 2; 0), B (- 2; 3; 0)$ và C(0; 2; 3). Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:

A. (1; 2; 1)

B. (2; 0; -1)

C. (1; 1; 1)

D. (1; 1; -2)

Xem đáp án

Chọn C.

G là trọng tâm của tam giác $A B C \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{G} = \frac{1}{3} (x_{A} + x_{B} + x_{C}) \\ y_{G} = \frac{1}{3} (y_{A} + y_{B} + y_{C}) \\ z_{C} = \frac{1}{3} (z_{A} + z_{B} + z_{C}) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{G} = 1 \\ y_{G} = 1 \\ z_{G} = 1 \end{cases} .$

Vậy G(1; 1; 1)

Câu 24:

Một lớp có 38 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để chọn được một học sinh nữ.

A. $\frac{10}{19}$

B. $\frac{9}{19}$

C. $\frac{19}{9}$

D. $\frac{1}{38}$

Xem đáp án

Chọn B.

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 38 học sinh trong lớp”

$\Rightarrow n (Ω) = C_{38}^{1} .$

Gọi biến cố A: “Chọn được một học sinh nữ”

Trong lớp có 18 học sinh nữ, nên có $C_{18}^{1}$ (cách) chọn một học sinh nữ.

$\Rightarrow n (A) = C_{18}^{1} .$

Vậy $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{C_{18}^{1}}{C_{38}^{1}} = \frac{9}{19} .$

Câu 25:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 3 x - 2 y + z - m = 0$ và điểm A(1; 1; 4). Tìm giá trị của tham số m để điểm A thuộc (P)?

A. m = 5

B. m = 4

C. m = 9

D. m = 3

Xem đáp án

Chọn A.

Điểm A thuộc (P) khi và chỉ khi: $3.1 - 2.1 + 4 - m = 0 \Leftrightarrow 5 - m = 0 \Leftrightarrow m = 5.$

Câu 26:

Cho số phức z = a + bi thỏa mãn $\frac{z}{2 + 3 i} = 3 - 2 i .$ Tính a - b?

A. 17

B. 5

C. 7

D. -5i

Xem đáp án

Chọn C.

$\frac{z}{2 + 3 i} = 3 - 2 i \Leftrightarrow z = (2 + 3 i) (3 - 2 i) = 12 + 5 i .$

Vậy $a = 12, b = 5 \Rightarrow a - b = 7.$

Câu 27:

Công thức tính thể tích khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy R là:

A. $V = π h R^{2} .$

B. $V = h R^{2} .$

C. $V = \frac{1}{3} π h R^{2}$

D. $V = \frac{1}{3} h R^{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 28:

Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + m$ trên đoạn [0; 2] bằng 5, tìm giá trị của tham số m

A. 5

B. 6

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn D.

$y' = - 6 x^{2} + 6 x; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array} .$

Bảng biến thiên:

Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = -2x^3 + 3x^2 + m trên đoạn [0; 2] bằng 5 (ảnh 1)

Theo bảng biến thiên ta có $\max_{[0; 2]} f (x) = 5 \Leftrightarrow f (1) = 5 \Leftrightarrow m + 1 = 5 \Leftrightarrow m = 4.$

Câu 29:

Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là $6 a^{2},$ độ dài cạnh bên bằng 2a. Thể tích khối lăng trụ này bằng:

A. $12 a^{3}$

B. $6 a^{3}$

C. $3 a^{3}$

D. $4 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A.

Hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là $S = 6 a^{2},$ độ dài cạnh bên bằng h = 2a.

Vậy thể tích $V = S . h = 6 a^{2} .2 a = 12 a^{3} .$

Câu 30:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x + 3$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. (0; 2)

B. (-2; -1)

C. (-1; 0)

D. (-2; 0)

Xem đáp án

Chọn C.

$y = x^{3} - 3 x + 3$ có tập xác định $D = ℝ .$

$y' = 3 x^{2} - 3; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array} .$

Bảng biến thiên:

Hàm số y = x^3 - 3x + 3 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? (ảnh 1)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1) \supset (- 1; 0) .$

Câu 31:

Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 2; 3)$ là:

A. $x + 2 y + 3 z - 3 = 0.$

B. $x + 2 y + 3 z - 6 = 0.$

C. $3 x + 2 y + z - 6 = 0$

D. $x - 2 y + 3 z - 6 = 0.$

Xem đáp án

Chọn B.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 2; 3)$ là $1 (x - 1) + 2 (y - 1) + 3 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 3 z - 6 = 0.$

Câu 32:

Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V = 2021. Tính thể tích $V_{1}$ của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $V_{1} = \frac{2021}{3} .$

B. $V_{1} = \frac{2021}{2} .$

C. $V_{1} = \frac{2021}{6} .$

D. $V_{1} = {\frac{2021}{12}}^{} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V = 2021. Tính thể tích V1 (ảnh 1)

Xét khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích $V = S_{A B C D} . A A' .$

Xét khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích $V_{1} = S_{A B C} . A A' .$

Mà $S_{A B C} = \frac{1}{2} . S_{A B C D}$ suy ra $V_{1} = \frac{1}{2} V$ hay $V_{1} = \frac{2021}{2}$

Câu 33:

Cho hình nón có đường sinh l =6, bán kính đáy r = 2. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

A. $S_{t p} = 24 π .$

B. $S_{t p} = 22 π .$

C. $S_{t p} = 16 π .$

D. $S_{t p} = 12 π .$

Xem đáp án

Chọn C.

Theo lý thuyết, công thức tính diện tích toàn phần của hình nón là $S_{t p} = π r l + π r^{2} .$

Diện tích toàn phần của hình nón có đường sinh l = 6, bán kính đáy r = 2 là:

$S_{t p} = π .2.6 + π {.2}^{2} = 16 π .$

Câu 34:

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(-1; 0; 2) và bán kính R = 4 có phương trình là:

A. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4.$

B. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 16 .$

C. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4$

D. ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16$

Xem đáp án

Chọn D.

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1; 0;2) và bán kính R = 4 là ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16.$

Câu 35:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = 2a, đường thẳng AB' tạo với mặt phẳng BCC'B' một góc 30^o. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $V = a^{3} \sqrt{6}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

C. $V = 2 a^{3} \sqrt{6}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = 2a, đường thẳng AB' tạo (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm BC

Vì $Δ A B C$ đều nên $A M ⊥ B C .$ Mà $A M ⊥ B B'$ (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều)

Suy ra $A M ⊥ (B B' C' C) .$

Khi đó B'M là hình chiếu của AB' lên BB'C'C

Suy ra $\hat{(A B', (B B' C' C))} = \hat{(A B', B' M)} = \hat{A B' M} = 30^{0} .$

Vì $Δ A B C$ đều nên $A M = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3} .$

$Δ A B' M$ vuông tại M có $\sin \hat{A B' M} = \frac{A M}{A B'} \Rightarrow A B' = \frac{A M}{\sin 30^{0}} = \frac{a \sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2 a \sqrt{3} .$

$Δ A B B'$ vuông tại B có $B B' = \sqrt{A B'^{2} - A B^{2}} = 2 a \sqrt{2} .$

Thể tích của khối lăng trụ đã cho là $V = B B' . S_{A B C} = 2 a \sqrt{2} . \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = 2 a^{3} \sqrt{6}$ (đvtt).

Câu 36:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $z + 1 + 3 i - |z| i = 0.$ Tính S = 2a + 3b

A. S = 5

B. S = 6

C. S = -5

D. S = -6

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $z + 1 + 3 i - |z| i = 0 \Leftrightarrow a + b i + 1 + 3 i - i \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow a + 1 + (b + 3 - \sqrt{a^{2} + b^{2}}) i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + 1 = 0 \\ b + 3 - \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ \sqrt{b^{2} + 1} = b + 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b \geq - 3 \\ b^{2} + 1 = {(b + 3)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b \geq - 3 \\ b = - \frac{4}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = - \frac{4}{3} \end{cases} .$

Vậy $S = 2 a + 3 b = 2. (- 1) + 3. (- \frac{4}{3}) = - 6.$

Câu 37:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B với $A C = a \sqrt{5}, B C = 2 a, B B' = a \sqrt{3}$ (tham khảo hình vẽ). Tính góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (ABC)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B (ảnh 1)

A. 30⁰

B. 60⁰

C. 90⁰

D. 45⁰

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B (ảnh 2)

Vì AB là hình chiếu vuông góc của A'B lên mặt phẳng (ABC) suy ra góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (ABC) chính là góc $\hat{A' B A} .$

Xét tam giác vuông $A' A B : \tan \hat{A' B A} = \frac{A' A}{A B} = \frac{A' A}{\sqrt{A C^{2} - B C^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{5 a^{2} - 4 a^{2}}} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{A' B A} = 60^{0} .$

Câu 38:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x + 2 y - 2 z + 9 = 0.$ Phương trình mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 .$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .$

D. $x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

Xem đáp án

Chọn A.

Mặt cầu (S) có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên $R = d (O; (P)) = \frac{|9|}{\sqrt{9}} = 3.$

Vậy $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.$

Câu 39:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ có đồ thị tạo với trục hoành các miền có diện tích $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ (như hình vẽ) và $S_{1} = S_{4} = 10, S_{2} = S_{3} = 8.$ Biết tích phân $I = \int_{\sqrt[3]{e^{4}}}^{e^{2}} \frac{f (3 \ln x - 4) + 1}{x} d x = \frac{a}{b}$ với $a, b \in ℤ; \frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tích ab?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có đồ thị tạo với trục hoành các (ảnh 1)

A. 31.

B. 84.

C. -84

D. -24

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $I = \int_{\sqrt[3]{e^{4}}}^{e^{2}} \frac{f (3 \ln x - 4) + 1}{x} d x = \int_{\sqrt[3]{e^{4}}}^{e^{2}} \frac{f (3 \ln x - 4)}{x} d x + \int_{\sqrt[3]{e^{4}}}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x = J + \frac{2}{3} .$

Xét $J = \int_{\sqrt[3]{e^{4}}}^{e^{2}} \frac{f (3 \ln x - 4)}{x} d x .$

Đặt $J = \frac{1}{3} \int_{0}^{2} f (t) d t = \frac{1}{3} \int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{1}{3} (\int_{0}^{\frac{1}{2}} f (x) d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x) = \frac{1}{3} (- S_{2} + S_{3} - S_{4}) = - \frac{10}{3} .$

Do đó $I = - \frac{10}{3} + \frac{2}{3} = - \frac{8}{3} = \frac{a}{b} \Rightarrow a . b = - 24.$

Câu 40:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (- 2; 0; 1), B (4; 2; 5) .$ Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

A. $3 x - y + 2 z - 10 = 0.$

B. $3 x + y + 2 z - 10 = 0.$

C. $3 x + y + 2 z + 10 = 0.$

D. $3 x + y - 2 z - 10 = 0.$

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi M là trung điểm $A B \Rightarrow M (1; 1; 3), \vec{A B} = (6; 2; 4) = 2 (3; 1; 2) .$

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua M(1; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; 1; 2) .$

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là $3 x + y + 2 z - 10 = 0.$

Câu 41:

Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 1}, d_{2} : \{\begin{cases} x = t \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases}$ và $d_{3} : \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = 3 \end{cases} .$ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng $d_{1},$ cắt các đường thẳng $d_{2}, d_{3}$ lần lượt tại A và $B (A \neq B)$ sao cho đường thẳng AB vuông góc với $d_{1} .$ Phương trình của mặt phẳng (P) là:

A. $x + 2 y + 5 z - 5 = 0.$

B. $x + 2 y + 5 z - 4 = 0.$

C. $x + 2 y - z - 4 = 0.$

D. $2 x - y - 3 = 0.$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\vec{u_{d_{1}}} = (1; 2; - 1), \{\begin{cases} A \in d_{2} \Rightarrow A (a; 2; 3) \\ B \in d_{3} \Rightarrow B (0; b + 2; 3) \end{cases} \Rightarrow \vec{A B} = (- a; b; 0) .$ Theo đề bài

$A B ⊥ d_{1} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{u_{d_{1}}} = 0 \Leftrightarrow - a + 2 b = 0 \Leftrightarrow a = 2 b \Rightarrow \vec{A B} = (- 2 b; b; 0) .$ Vì $A \neq B \Rightarrow \vec{u} = (- 2; 1; 0)$ là một VTCP của AB Ta có $\{\begin{cases} \vec{u} = (- 2; 1; 0) \\ \vec{u_{d_{1}}} = (1; 2; - 1) \end{cases} \Rightarrow [\vec{u}; \vec{u_{d_{1}}}] = (- 1; - 2; - 5) \Rightarrow \vec{n} = (1; 2; 5)$ là một VTPT của (P)

Kết hợp với (P) qua $M (2; 1; 0) \in d \Rightarrow (P) : (x - 2) + 2 (y - 1) + 5 z = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 5 z - 4 = 0.$

Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và điểm M là trung điểm của SA. Biết thể tích khối chóp A.SBC bằng $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$ và $A C = a \sqrt{2},$ tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABCD).

A. $a \sqrt{3}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2} .$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{6} .$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{4} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và điểm M là trung (ảnh 1)

Ta có:

$V_{S . A B C D} = 2 V_{S . A B C} = 2 V_{A . S B C} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

$A C = a \sqrt{2} \Rightarrow A B = a .$

Vậy $S_{A B C D} = a^{2} .$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD).

Ta có:

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} .$

$\Rightarrow S H = \frac{3 V_{S . A B C D}}{S_{A B C D}} = \frac{3. \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}}{a^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Vậy $d (M, (A B C D)) = \frac{1}{2} d (S, (A B C D)) = \frac{1}{2} S H = \frac{a \sqrt{3}}{4} .$

Câu 43:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1} - 3 - 4 i| = 1$ và $|z_{2} - 3 - 4 i| = \frac{1}{2} .$ Gọi số phức z = a + bi thỏa mãn 3a - 2b = 12. Giá trị nhỏ nhất của $P = |z - z_{1}| + |z - 2 z_{2}| + 2$ bằng

A. $P_{\min} = 5 - 2 \sqrt{3} .$

B. $P_{\min} = \frac{\sqrt{9945}}{13} .$

C. $P_{\min} = 5 + 2 \sqrt{5} .$

C. $P_{\min} = \frac{\sqrt{9945}}{11} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Có $|z_{2} - 3 - 4 i| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow |2 z_{2} - 6 - 8 i| = 1.$

Gọi $A (x_{1}; y_{1}), C (x_{3}; y_{3}), M (a; b)$ lần lượt là các điểm biểu diễn $z_{1}, 2 z_{2}, z .$

Ta có: $A (I; 1) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1,$ với I(3; 4).

$C (J; 1) : {(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 1, J (6; 8)$

$M \in Δ : 3 x - 2 y = 12$

Khi đó: $P = |z - z_{1}| + |z - 2 z_{2}| + 2 = M A + M C + 2.$

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = M A + M C + 2$ khi A, C chạy trên 2 đường tròn cố định (I; 1) và (J; 1) nằm cùng phía với đường thẳng $Δ : 3 x - 2 y = 12$ và điểm M thuộc đường thẳng $Δ : 3 x - 2 y = 12.$

Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 -3 - 4i| = 1 và |z2 - 3 - 4i| = 1/2 (ảnh 1)

Gọi đường tròn đối xứng với (I; 1) qua đường thẳng $Δ : 3 x - 2 y = 12$ là (I'; 1). Suy ra $I' (\frac{105}{13}; \frac{8}{13}) .$

Vì A' đối xứng với A qua $Δ$ nên $M A + M C = M A' + M C \geq A_{1}' C_{1} = I I' - I' A_{1}' - I C_{1} = I I' - 2$ nên $P_{\min} = J I' = \frac{\sqrt{9945}}{13} .$

Câu 44:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là $a, b, 0, c (a < b < c)$ (như hình bên dưới). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = |f^{2} (x) + m|$ trên [a; c] bằng 2021. Tổng tất cả các phần tử của S bằng:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại (ảnh 1)

A. -36

B. -2022

C. -2021

D. 24

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi $α; β; γ$ là các điểm cực trị của hàm số y = f(x). Có $α; β; γ \in [a; c] .$

Xét hàm số $h (x) = f^{2} (x) + m,$ có $h' (x) = 2 f' (x) . f (x) .$

$h' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f' (x) = 0 \\ f' (x) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = a \\ x = b \\ x = 0 \\ x = c \\ x = α \\ x = β \\ x = γ \end{array}$ các nghiệm này đều thuộc [a; c].

Ta có $f (a) = f (b) = f (0) = f (c) = 0; f (α) = - 3; f (β) = 2; f (γ) = - 6$ nên

$h (a) = h (b) = h (0) = h (c) = m; h (α) = m + 9; h (β) = m + 4; h (γ) = m + 36.$

Vậy $\max_{[a; c]} h (x) = m + 36, \min_{[a; c]} h (x) = m \Rightarrow \max_{[a; c]} g (x) = \max \{|m + 36|; |m|\}$ .

TH1: $m > 0; \max_{[a; c]} g (x) = |m + 36| = m + 36,$ khi đó $m + 36 = 2021 \Leftrightarrow m = 1985.$

TH2: $m + 36 < 0 \Leftrightarrow m < - 36; \max_{[a; c]} g (x) = |m| = - m,$ khi đó $- m = 2021 \Leftrightarrow m = - 2021.$

TH3: $m < 0 < m + 36 \Leftrightarrow - 36 < m < 0; \max_{[a; c]} g (x) = \max \{- m; m + 36\} \overset{m \in (- 36; 0)}{\neq} 2021$ nên không tồn tại giá trị của

Vậy $S = \{1985; - 2021\} .$

Câu 45:

Gọi A, B, C là 3 điểm có hoành độ thỏa mãn $x_{C} = x_{A} + x_{B}$ và tung độ bằng nhau, lần lượt thuộc đồ thị hàm số $y = \log_{9} x, y = \log_{12} x, y = \log_{15} x .$ Tính độ dài đoạn thẳng AB?

A. 64

B. 62.

C. 65

D. 63

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $\log_{9} x = \log_{12} x = \log_{15} x .$ Đặt $\log_{9} x_{A} = \log_{12} x_{B} = \log_{15} x_{C} = t \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{A} = 9^{t} \\ x_{B} = 12^{t} \\ x_{C} = 15^{t} \end{cases} .$

Mà $x_{C} = x_{A} + x_{B} \Leftrightarrow 15^{t} = 9^{t} + 12^{t} \Leftrightarrow {(\frac{3}{5})}^{t} + {(\frac{4}{5})}^{t} = 1.$

Xét hàm số $f (t) = {(\frac{3}{5})}^{t} + {(\frac{4}{5})}^{t}$ với $t \in ℝ .$

$f (t) = {(\frac{3}{5})}^{t} . \ln \frac{3}{5} + {(\frac{4}{5})}^{t} . \ln \frac{4}{5} < 0$ với $t \in ℝ .$

Hàm số $f (t) = {(\frac{3}{5})}^{t} + {(\frac{4}{5})}^{t}$ luôn nghịch biến trên $ℝ$

Suy ra ${(\frac{3}{5})}^{t} + {(\frac{4}{5})}^{t} = 1$ có nhiều nhất 1 nghiệm. Nhận thấy t = 2 là nghiệm duy nhất.

Suy ra

\{\begin{cases} x_{A} = 81 \Rightarrow y_{A} = 2 \\ x_{B} = 144 \Rightarrow y_{B} = 2 \end{cases} .

Vậy

A B = \sqrt{{(144 - 81)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}} = 63.

Câu 46:

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A (1; - 2; 3), B (- 1; - 2; 1), C (1; 0; 1) .$ Gọi M là một điểm di động trên mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 2 z + 2 = 0$ sao cho hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh $A C, A B, B C$ lần lượt là H, K, E. Hỏi có bao nhiêu điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho $T = A K^{2} + B E^{2} + C H^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 3

B. vô số.

C. 1

D. 2.

Xem đáp án

Chọn D.

(S) có tâm I(1; -2; 1) và bán kính $R = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2} - 2} = 2.$

Mà $A B = A C = B C = 2 \sqrt{2}$ hay tam giácABC đều. Và $A, B, C \in (S)$ .

Gọi $G (\frac{1}{3}; - \frac{4}{3}; \frac{5}{3})$ là trọng tâm tam giác ABC

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; -2; 3), B(-1; -2; 1), C(1; 0; 1) (ảnh 1)

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Kẻ các đường kính $C D, A F, B Q .$

Gọi J là hình chiếu vuông góc của M lên (ABC), J nằm trong hình lục giác đều ADBFCQ.

* Với J trùng với một trong 3 điểm A, B, C hay M trùng với một trong 3 điểm A, B, C.

Ta có $T = A K^{2} + B E^{2} + C H^{2} = {(2 \sqrt{2})}^{2} + 0^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = 10$

* Với J không trùng với 3 điểm A, B, C

Ta có $T = A K^{2} + B E^{2} + C H^{2} \geq \frac{{(A K + B E + C H)}^{2}}{3} = \frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{3} = 6.$

Dấu bằng xảy ra khi $A K = B E = C H .$

Suy ra $T_{\min} = 6$ khi J trùng với trọng tâm G của tam giác ABC hay $M A = M B = M C .$

Vậy có 2 điểm M cần tìm.

Câu 47:

Có bao nhiêu giá trị nguyên $m \in [- 2021; 2021]$ để phương trình sau: $2^{x - \frac{m}{10}} = \log_{2} x + \frac{m}{10}$ có nghiệm thực?

A. 2012

B. 2021

C. 2020

D. 2011

Xem đáp án

Chọn A.

Điều kiện: x > 0

$2^{x - \frac{m}{10}} = \log_{2} x + \frac{m}{10} \Leftrightarrow 2^{x - \frac{m}{10}} + x - \frac{m}{10} = \log_{2} x + x \Leftrightarrow 2^{x - \frac{m}{10}} + (x - \frac{m}{10}) = 2^{\log_{2} x} + \log_{2} x .$

Xét hàm số $f (t) = 2^{t} + t (t \in ℝ) .$

$f' (t) = 2^{t} \ln 2 + 1 > 0, \forall t \in ℝ \Rightarrow f (t)$ đồng biến trên $ℝ$

Suy ra $f (x - \frac{m}{10}) = f (\log_{2} x) \Leftrightarrow x - \frac{m}{10} = \log_{2} x .$

Xét hàm số $g (x) = x - \log_{2} x$ với $x \in (0; + \infty) .$

Ta có BBT như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc [-2021; 2021] để phương trình sau (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi $\frac{m}{10} \geq g (\frac{1}{\ln 2}) \Leftrightarrow m \geq 10. g (\frac{1}{\ln 2}) .$

Mà $m \in ℤ; m \in [- 2021; 2021] .$ Suy ra: $m \in \{10; 11; ....; 2021\}$ có 2012 giá trị thỏa mãn.

Câu 48:

Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị là đường cong (như hình vẽ bên dưới). Biết hàm số đạt cực trị tại ba điểm

x_{1}, x_{2}, x_{3}

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có công sai là 2. Gọi

S_{1}

là diện tích phần gạch chéo,

S_{2}

là diện tích phần tô đậm. Tỉ số

\frac{S_{1}}{S_{2}}

bằng:

Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị là đường cong (như hình vẽ bên dưới) (ảnh 1)

A. $\frac{4}{7}$

B. $\frac{8}{7}$

C. $\frac{7}{8}$

D. $\frac{7}{16}$

Xem đáp án

Chọn D.

Tịnh tiến đồ thị sao cho $x_{2}$ trùng với gốc tọa độ ta được hình vẽ sau:

Ba điểm cực trị $x_{1}; x_{2}; x_{3}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có công sai là 2.

Suy ra: $x_{1} = - 2; x_{2} = 0; x_{3} = 2.$

Gọi phương trình đồ thị trên có dạng $y = a x^{4} + b x^{2} + c (a \neq 0) .$

$y' = 4 a x^{3} + 2 b x$

Hàm số đạt cực trị tại $x_{1} = - 2; x_{2} = 0; x_{3} = 2$ nên ta có:

$\{\begin{cases} y' (x_{1}) = 0 \\ y' (x_{2}) = 0 \\ y' (x_{3}) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 32 a - 4 b = 0 \\ c = 0 \\ 32 a + 4 b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = 0 \\ 32 a + 4 b = 0 \end{cases} .$ Chọn $a = 1; b = - 8; c = 0.$

Suy ra: $y = x^{4} - 8 x^{2}$

$S_{1} = \int_{- 2}^{0} (- x^{4} + 8 x^{2}) = \frac{124}{15} .$ $S_{2} = 2 \int_{0}^{2} (x^{4} - 8 x^{2} + 16) = \frac{512}{15} .$

Tỷ số: $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{224}{15}}{\frac{512}{15}} = \frac{7}{16} .$

Câu 49:

Cho hàm số bậc bốn f(x) thỏa mãn $f (0) = \frac{1}{8}$ và đồ thị y = f'(x) (như hình vẽ bên dưới).

Cho hàm số bậc bốn f(x) thỏa mãn f(0) = 1/8 và đồ thị y = f'(x) (ảnh 1)

Xét hàm số f(x) thỏa mãn $g " (x) = 2021 [f " (x) f (x) + {[f' (x)]}^{2}] - f " (x)$ và $g' (0) = \frac{2013}{8} .$ Tìm số nghiệm của phương trình g'(x) = 0.

A. 6

B. 7

C. 5

D. 8

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $g " (x) = 2021 {[f' (x) f (x)]}^{'} - f " (x) = {[2021 f' (x) f (x) - f' (x)]}^{'} . (1)$

Lấy nguyên hàm hai vế của (1) ta được:

$\int_{}^{} g " (x) d x = \int_{}^{} {[2021 f' (x) f (x) - f' (x)]}^{'} d x$

$\Rightarrow g' (x) = 2021 f' (x) f (x) - f' (x) + C . (2)$

Từ đồ thị ta có: f'(0) = 1

Thay x = 0 vào (2) ta được:

$g' (0) = 2021. f' (0) . f (0) - f' (0) + C \Leftrightarrow \frac{2013}{8} = 2021.1. \frac{1}{8} - 1 + C \Leftrightarrow C = 0.$

Từ đó suy ra: $g' (x) = 2021. f' (x) . [f (x) - \frac{1}{2021}] .$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f' (x) = 0 (3) \\ f (x) = \frac{1}{2021} (4) \end{array} .$

* Giải phương trình (3)

Đồ thị hàm số y = f'(x) cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là x = a, x = b, x = c với $- 2 < a < - 1, 0 < b < 1, 1 < c < 2.$

Ta có: $(3) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = a \\ x = b \\ x = c \end{array} .$

* Giải phương trình (4)

- Do y = f(x) là hàm số bậc bốn nên y = f'(x) là hàm số bậc 3, giả sử $f' (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d .$ Từ đồ thị hàm số y = f'(x) suy ra:

$\{\begin{cases} f' (0) = 1 \\ f' (- 1) = 3 \\ f' (1) = - 1 \\ f " (- 1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d = 1 \\ - a + b - c + 1 = 3 \\ a + b + c + 1 = - 1 \\ 3 a - 2 b + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = - 3 \\ d = 1 \end{cases}$

$\Rightarrow f' (x) = x^{3} - 3 x + 1$

$\Rightarrow \int_{}^{} f' (x) d x = \int_{}^{} (x^{3} - 3 x + 1) d x$

$\Rightarrow f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + x + C' (5) .$

Thay x = 0 vào (5) ta được: $f (0) = C' \Leftrightarrow C' = \frac{1}{8} \Rightarrow f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + x + \frac{1}{8} .$

Dễ thấy $f (1) = - \frac{1}{8} .$

Bảng biến thiến:

Cho hàm số bậc bốn f(x) thỏa mãn f(0) = 1/8 và đồ thị y = f'(x) (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình $f (x) = \frac{1}{2021}$ có 4 nghiệm phân biệt khác a, b, c.

Vậy phương trình g'(x) = 0 có 7 nghiệm phân biệt.

Câu 50:

Một xí nghiệp chế biến sữa bò muốn sản xuất lon đựng sữa có dạng hình trụ bằng thiếc có thể tích không đổi. Để giảm giá một lon sữa khi bán ra thị trường người ta cần chế tạo lon sữa có kích thước sao cho ít tốn kém vật liệu. Để thỏa mãn yêu cầu đặt ra (diện tích toàn phần bé nhất), người ta phải thiết kế lon sữa thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau:

A. Chiều cao bằng 3 lần bán kính của đáy

B. Chiều cao bằng bình phương bán kính của đáy.

C. Chiều cao bằng đường kính của đáy.

D. Chiều cao bằng bán kính của đáy.

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi V, r, h lần lượt là thể tích, bán kính đáy, chiều cao của lon sữa.

Ta có: $V = π r^{2} h \Leftrightarrow h = \frac{V}{π r^{2}} .$

Diện tích toàn phần của lon sữa là:

$S = 2 π r h + 2 π r^{2} = \frac{2 V}{r} + 2 π r^{2} = \frac{V}{r} + \frac{V}{r} + 2 π r^{2} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{V}{r} . \frac{V}{r} .2 π r^{2}} = 3 \sqrt[3]{2 π V^{2}}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{π r^{2} h}{r} = 2 π r^{2} \Leftrightarrow h = 2 r .$

Vậy $S_{\min} = 3 \sqrt[3]{2 π V^{2}}$ khi h = 2r tức là chiều cao bằng đường kính đáy.