50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 15)

Câu 1:

Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức $3 - 2 \sqrt{2} i .$ Tìm a, b.

A. $a = 3; b = \sqrt{2}$

B. $a = 3; b = 2 \sqrt{2}$

C. $a = 3; b = 2$

D. $a = 3; b = - 2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn D.

Theo lý thuyết, ta có số phức $3 - 2 \sqrt{2} i$ có:

Phần thực của số phức là a = 3.

Phần ảo của số phức là $b = - 2 \sqrt{2} .$

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(α) : 5 x - 7 y - z + 2 = 0$ nhận vectơ nào sau đây làm vectơ pháp tuyến?

A. $\vec{n_{3}} = (5; - 7; 1) .$

B. $\vec{n_{1}} = (5; 7; 1) .$

C. $\vec{n_{4}} = (- 5; - 7; 1) .$

D. $\vec{n_{2}} = (- 5; 7; 1) .$

Xem đáp án

Chọn D.

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(α) : 5 x - 7 y - z + 2 = 0$ nhận vectơ sau làm vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = (5; - 7; - 1) .$

Câu 3:

Tập xác định của hàm số $y = \log_{2} (x - 1)$ là

A. $(- \infty; + \infty)$

B. $[1; + \infty) .$

C. $[0; + \infty) .$

D. $(1; + \infty) .$

Xem đáp án

Chọn D.

ĐKXĐ: $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$

Tập xác định của hàm số là $D = (1; + \infty) .$

Câu 4:

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x) |_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

B. $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x) |_{a}^{b} = F (a) - F (b)$

C. $\int_{a}^{b} f (x) d x = f (x) |_{a}^{b} = f (b) - f (a)$

D. $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x) |_{b}^{a} = F (a) - F (b)$

Xem đáp án

Chọn A.

Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] nên $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x) |\begin{array}{l} b \\ a \end{array} = F (b) - F (a) .$

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3; -1; 1) trên trục Oz có tọa độ là

A. (3; 0; 0)

B. (3; -1; 0)

C. (0; 0; 1)

D. (0; -1; 0)

Xem đáp án

Chọn C.

Hình chiếu vuông góc của điểm M(3; -1; 1) trên trục Oz là (0; 0; 1).

Câu 6:

Khối cầu có bán kính R = 3 có thể tích bằng bao nhiêu?

A. $36 π .$

B. $72 π .$

C. $112 π .$

D. $48 π .$

Xem đáp án

Chọn A.

Thể tích của khối cầu có bán kính R = 3 là $V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {.3}^{3} = 36 π$ (đvtt).

Câu 7:

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?

A. $y = {(\sqrt{2})}^{x}$

B. $y = {(\frac{3}{2})}^{x}$

C. $y = {(\frac{π}{e})}^{x}$

D. $y = {(0, 5)}^{x}$

Xem đáp án

Chọn D.

Hàm số $y = {(0, 5)}^{x}$ là hàm số mũ có cơ số $a = 0, 5 \in (0; 1)$ nên nghịch biến trên tập xác định của nó.

Câu 8:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ là

A. x = 1

B. x = -1

C. x = 2

D. x = 0

Xem đáp án

Chọn A.

Tập xác định $D = ℝ \ \{1\} .$

Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x + 1}{x - 1} = + \infty \Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 9:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại

A. x = 4

B. x = 3

C. x = -2

D. x = 2

Xem đáp án

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, nhận thấy hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2.

Câu 10:

Khối trụ tròn xoay có đường kính bằng 2a, chiều cao h = 2a có thể tích là

A. $V = π a^{3}$

B. $V = π a^{2}$

C. $V = 2 π a^{3}$

D. $V = 2 π a^{2}$

Xem đáp án

Chọn C.

Bán kính của khối trụ là $R = \frac{2 a}{2} = a .$

Thể tích khối trụ là: $V = π R^{2} h = π . a^{2} .2 a = 2 π a^{3} .$

Câu 11:

Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong y = f(x) trục hoành, các đường thẳng x = a, x = b được xác định bằng công thức nào sau đây?

A. $S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x$

B. $S = - \int_{a}^{b} f (x) d x$

C. $S = \int_{a}^{b} f (x) d x$

D. $S = - \int_{a}^{b} | f (x) | d x$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x .$

Câu 12:

Phương trình $5^{2 x + 1} = 125$ có nghiệm là:

A. $x = \frac{5}{2}$

B. x = 1

C. $x = \frac{3}{2}$

D. x = 3

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $5^{2 x + 1} = 125 \Leftrightarrow 5^{2 x + 1} = 5^{3} \Leftrightarrow 2 x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 1.$

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh $a, S A = 3 a \sqrt{2}$ và $S A ⊥ (A B C D)$ . Thể tích hình chóp

S.ABCD bằng:

A. $a^{3} \sqrt{2}$

B. $3 a^{3} \sqrt{2}$

C. $\frac{4 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

$V = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} 3 a \sqrt{2} . a^{2} = a^{3} \sqrt{2} .$

Câu 14:

Cho phương trình y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; 0)$

B. (-2; 0)

C. (0; 2)

D. $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ và (0; 2).

Câu 15:

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{2 x - 1} > 27$ là

A. $(\frac{1}{2}; + \infty)$

B. $(\frac{1}{3}; + \infty)$

C. $(2; + \infty)$

D. $(3; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C.

$3^{2 x - 1} > 27 \Leftrightarrow 2 x - 1 > \log_{3} 27 \Leftrightarrow 2 x - 1 > 3 \Leftrightarrow x > 2.$

Câu 16:

Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|.

A. $|z| = 3$

B. $|z| = \sqrt{5}$

C. $|z| = 2$

D. $|z| = 5$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $|z| = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5} .$

Câu 17:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\int_{}^{} e^{x} d x = \frac{e^{x + 1}}{x + 1} + C$

B. $\int_{}^{} \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C$

C. $\int_{}^{} \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \tan x + C$

D. $\int_{}^{} x^{e} d x = \frac{x^{e + 1}}{e + 1} + C (e \neq - 1) .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $\int_{}^{} e^{x} d x = e^{x} + C$ do đó khẳng định sai là $\int_{}^{} e^{x} d x = \frac{e^{x + 1}}{x + 1} + C .$

Câu 18:

Số phức -3 + 7i có phần ảo bằng

A. -3

B. -7

C. 7

D. 3

Xem đáp án

Chọn C.

Số phức -3 + 7i có phần ảo bằng 7.

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 5)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9.$ Tính bán kính R của mặt cầu (S).

A. R = 3

B. R = 9

C. R = 18

D. R = 6

Xem đáp án

Chọn A.

Bán kính mặt cầu $R = \sqrt{9} = 3.$

Câu 20:

Thể tích khối lập phương cạnh 2 bằng

A. 6

B. 8

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Chọn B.

Thể tích khối lập phương là $V = 2^{3} = 8.$

Câu 21:

Tính thể tích V của khối nón có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 6.

A. $V = 18 π$

B. $V = 108 π$

C. $V = 36 π$

D. $V = 54 π$

Xem đáp án

Chọn A.

Theo đề ta có r = 3 và h = 6

Thể tích của khối nón là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {.3}^{2} .6 = 18 π .$

Câu 22:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị

y = 2 x - x^{2}

và trục hoành. Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh ra khi cho (H) quay quanh Ox.

A. $V = \frac{4}{3} .$

B. $V = \frac{16}{15} π .$

C. $V = \frac{16}{15} .$

D. $V = \frac{4}{3} π .$

Xem đáp án

Chọn B.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $y = 2 x - x^{2}$ và trục hoành:

$2 x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Suy ra thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho (H) quay quanh Ox là:

$V = π \int_{0}^{2} {(2 x - x^{2})}^{2} d x = V = \frac{16}{15} π .$

Câu 23:

Cho số phức z thỏa mãn

(2 + 3 i) z + 4 - 3 i = 13 + 4 i .

Môđun của z bằng

A. $\sqrt{10}$

B. $2 \sqrt{2}$

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $(2 + 3 i) z + 4 - 3 i = 13 + 4 i .$

$\Leftrightarrow z = \frac{(13 + 4 i) - (4 - 3 i)}{2 + 3 i} \Leftrightarrow z = 3 - i$

Môđun của z là: $|z| = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{10} .$

Câu 24:

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Cho hàm số y = ax + b/cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định (ảnh 1)

A. $\{\begin{cases} a d > 0 \\ b c > 0 \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} a d < 0 \\ b c > 0 \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} a d > 0 \\ b c < 0 \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} a d < 0 \\ b c < 0 \end{cases} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = y_{0} > 0 \Rightarrow \frac{a}{c} > 0 \Rightarrow a, c$ cùng dấu (1).

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = x_{0} < 0 \Rightarrow - \frac{d}{c} < 0 \Rightarrow \frac{d}{c} > 0 \Rightarrow d, c$ cùng dấu (2).

Từ (1), (2) $\Rightarrow a, d$ cùng dấu $\Rightarrow a d > 0.$

Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm $\Rightarrow \frac{b}{d} < 0 \Rightarrow b, d$ trái dấu (3).

Từ $(2), (3) \Rightarrow b, c$ trái dấu $\Rightarrow b c < 0 .$

Vậy chọn đáp án đúng là C.

Câu 25:

Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x + sinx thỏa mãn F(0) = 19 là:

A. $F (x) = - \cos x + \frac{x^{2}}{2} .$

B. $F (x) = - \cos x + \frac{x^{2}}{2} + 20.$

C. $F (x) = - \cos x + \frac{x^{2}}{2} + 2.$

D. $F (x) = \cos x + \frac{x^{2}}{2} + 20.$

Xem đáp án

Chọn B.

$F (x) = \int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} (x + \sin x) d x = \frac{x^{2}}{2} - \cos x + C .$

Theo bài $F (0) = 19 \Leftrightarrow \frac{0^{2}}{2} - \cos 0 + C = 19 \Leftrightarrow C = 20.$

Vậy $F (x) = \frac{x^{2}}{2} - \cos x + 20.$

Câu 26:

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1; 2; 1), B(2; 1; 0). Mặt phẳng qua B và vuông góc với AB có phương trình là:

A. $x + 3 y + z - 5 = 0$

B. $x + 3 y + z - 6 = 0$

C. $3 x - y - z - 5 = 0$

D. $3 x - y - z + 5 = 0$

Xem đáp án

Chọn C.

Mặt phẳng qua B và vuông góc với AB nhận vectơ $\vec{A B} (3; - 1; - 1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng cần tìm là

$3 (x - 2) - (y - 1) - z = 0$

$\Leftrightarrow 3 x - y - z - 5 = 0$

Câu 27:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ trên đoạn [-1; 1] là

A. 1

B. -1

C. -5

D. 4

Xem đáp án

Chọn B.

$y' = 6 x^{2} + 6 x; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 0 \end{array} .$

$y (- 1) = 0, y (0) = - 1; y (1) = 4.$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ trên [-1; 1] là -1.

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; 3), mặt phẳng $(P) : x + y + z - 15 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) biết (Q) cách điểm A một khoảng bằng $3 \sqrt{3} .$

A. $[\begin{array}{l} x + y + z + 3 = 0 \\ x + y + z - 3 = 0 \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} x + y + z + 3 = 0 \\ x + y + z - 15 = 0 \end{array}$

C. $x + y + z + 3 = 0$

D. $x + y + z - 15 = 0$

Xem đáp án

Chọn C.

Vì (Q)//(P) nên phương trình (Q) có dạng: $x + y + z + D = 0$ với $D \neq - 15.$

$d (A; (Q)) = \frac{|6 + D|}{\sqrt{3}} = 3 \sqrt{3} \Leftrightarrow |6 + D| = 9 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} D = 3 \\ D = - 15 (L) \end{array} .$ Vậy $(Q) : x + y + z + 3 = 0.$

Câu 29:

Xét các số phức z thỏa mãn

(\bar{z} + i) (z + 2)

là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng

A. $\frac{5}{4}$

B. 1

C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi $z = a + b i, a, b \in ℝ .$

Ta có $(\bar{z} + i) (z + 2) = (a - b i + i) (a + b i + 2) = (a^{2} + 2 a + b^{2} - b) + (a - 2 b + 2) i .$

Vì $(\bar{z} + i) (z + 2)$ là số thuần ảo nên $a^{2} + 2 a + b^{2} - b = 0 \Leftrightarrow {(a + 1)}^{2} + {(b - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{5}{4} .$

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn tâm $I (- 1; \frac{1}{2})$ có bán kính $R = \frac{\sqrt{5}}{2} .$

Câu 30:

Cho hình nón có bán kính đáy r = 4 và diện tích xung quanh bằng

20 π .

Thể tích của khối nón đã cho bằng

A. $\frac{80}{3} π .$

B. $\frac{16}{3} π .$

C. $4 π .$

D. $16 π .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $S_{x q} = π r l \Rightarrow l = \frac{S_{x q}}{π r} = \frac{20 π}{π .4} = 5.$

Chiều cao khối nón $h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3.$

Thể tích khối nón $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {.4}^{2} .3 = 16 π$ (đvtt).

Câu 31:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 2) .$

B. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$ .

C. Hàm số đồng biến trên (0; 1)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 1) .

Xem đáp án

Chọn C.

Vì $y' > 0, \forall x \in (0; 1)$ nên hàm số đồng biến trên (0; 1)

Câu 32:

Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba vectơ $\vec{a} (3; 0; 1), \vec{b} (1; - 1; - 2), \vec{c} (2; 1; - 1) .$ Tính $T = \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) .$

A. T = 9

B. T = 0

C. T = 3

D. T = 6

Xem đáp án

Chọn D.

$\vec{b} + \vec{c} = (3; 0; - 3)$

$T = \vec{a} (\vec{b} + \vec{c}) = 3.3 + 0.0 + 1. (- 3) = 6.$

Câu 33:

Bà Hoa gửi vào ngân hàng 120 triệu đồng theo hình thức lãi suất kép. Lãi suất ngân hàng là 8% năm và không thay đổi qua các năm bà gửi tiền. Sau ít nhất bao nhiêu năm thì bà Hoa có số tiền cả gốc lẫn lãi lớn hơn 180 triệu đồng?

A. 7 năm.

B. 5 năm.

C. 8 năm.

D. 6 năm.

Xem đáp án

Chọn D.

Số tiền cả gốc lẫn lãi sau n năm bà Hoa có $120 {(1 + 0, 08)}^{n}$ (triệu đồng) $(n \in ℕ *) .$

Khi đó $120 {(1 + 0, 08)}^{n} > 180 \Leftrightarrow {1.08}^{n} > 1.5 \Leftrightarrow n > \frac{\ln 1.5}{\ln 1.08} \approx 5.27$

Vì $n \in ℕ *$ suy ra $n \geq 6.$

Do đó sau ít nhất 6 năm thì bà Hoa có số tiền cả gốc lẫn lãi lớn hơn 180 triệu đồng.

Câu 34:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. Có một điểm.

B. Có ba điểm.

C. Có hai điểm.

D. Có bốn điểm.

Xem đáp án

Chọn C.

Từ bảng biến thiên ta thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu ba lần tại các điểm $x = - 1; x = 0; x = 1$ nhưng tại x = 0 hàm số không xác định nên hàm số chỉ có hai điểm cực trị là $x = \pm 1.$

Câu 35:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 1) và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z + 1 = 0$ . Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P).

A. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

B. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3$

D. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính $r = d (A, (P)) = \frac{|2.2 - 1 + 2.1 + 1|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 2.$

Do đó phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4.$

Câu 36:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch (ảnh 1)

A. $(3; + \infty)$

B. (1; 3)

C. $(- \infty; 1)$

D. (0; 3)

Xem đáp án

Chọn B.

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị có hướng đi xuống trên khoảng (1; 3).

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)

Câu 37:

Tập trình nghiệm của bất phương trình $16^{x} - {5.4}^{x} + 4 \geq 0$ có dạng $T = (- \infty; a] \cup [b; + \infty) .$ Tính giá trị biểu thức M = a + b

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $16^{x} - {5.4}^{x} + 4 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4^{x} \leq 1 \\ 4^{x} \geq 4 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \leq 0 \\ x \geq 1 \end{array} .$

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho có dạng $T = (- \infty; 0] \cup [1; + \infty)$ .

Vậy M = 0 + 1 = 1.

Câu 38:

Nếu $\int_{2}^{5} f (x) d x = 3$ và $\int_{5}^{7} f (x) d x = 9$ thì $\int_{2}^{7} f (x) d x$ bằng bao nhiêu?

A. -6

B. 12

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

\int_{2}^{7} f (x) d x = \int_{2}^{5} f (x) d x + \int_{5}^{7} f (x) d x = 3 + 9 = 12.

Câu 39:

Cho số phức z thỏa mãn: $(1 + i) z - (2 - i) \bar{z} = 3.$ Môđun của số phức $w = \frac{i - 2 z}{1 - i}$ là?

A. $\frac{3 \sqrt{10}}{2} .$

B. $\frac{\sqrt{122}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{45}}{4}$

D. $\frac{\sqrt{122}}{5}$

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ , khi đó

$(1 + i) z - (2 - i) \bar{z} = 3 \Leftrightarrow (1 + i) (a + b i) - (2 - i) (a - b i) = 3 \Leftrightarrow - a + (2 a + 3 b) i = 3$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 3 \\ 2 a + 3 b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 3 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow z = - 3 + 2 i .$

Khi đó, $w = \frac{i - 2 z}{1 - i} = \frac{i - 2 (- 3 + 2 i)}{1 - i} = \frac{6 - 3 i}{1 - i} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} i .$

Vậy $|w| = \frac{3 \sqrt{10}}{2} .$

Câu 40:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và thỏa $\int_{- 2}^{2} f (\sqrt{x^{2} + 5} - x) d x = 1, \int_{1}^{5} \frac{f (x)}{x^{2}} d x = 3.$ Tính $\int_{1}^{5} f (x) d x .$

A. 0

B. -13

C. -5

D. -2

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 5} - x .$

Suy ra $t + x = \sqrt{x^{2} + 5} \Leftrightarrow {(t + x)}^{2} = x^{2} + 5 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t x = 5 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2 t} - \frac{t}{2} \Rightarrow d x = (- \frac{5}{2 t^{2}} - \frac{1}{2}) d t .$

Đổi cận: $x = - 2 \Rightarrow t = 5, x = 2 \Rightarrow t = 1.$

Khi đó $1 = \int_{- 2}^{2} f (\sqrt{x^{2} + 5} - x) d x = \int_{5}^{1} f (t) (- \frac{5}{2 t^{2}} - \frac{1}{2}) d t = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f (t) (\frac{5}{t^{2}} + 1) d t$

$\Leftrightarrow 2 = \int_{1}^{5} f (t) (\frac{5}{t^{2}} + 1) d t \Leftrightarrow 2 = 5 \int_{1}^{5} \frac{f (t)}{t^{2}} d t + \int_{1}^{5} f (x) d x \Leftrightarrow 2 = 5 \int_{1}^{5} \frac{f (x)}{x^{2}} d x + \int_{1}^{5} f (x) d x$

$\Leftrightarrow 2 = 5.3 + \int_{1}^{5} f (x) d x \Leftrightarrow \int_{1}^{5} f (x) d x = - 13.$

Câu 41:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên:

Đồ thị hàm số $g (x) = \frac{1}{{[f (x)]}^{2} - 3 f (x) + 2}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng.

A. 2

B. 0

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có ${[f (x)]}^{2} - 3 f (x) + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 1 \\ f (x) = 2 \end{array} .$

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên: Đồ thị hàm số (ảnh 2)

Dựa vào đồ thị ta thấy mỗi phương trình $f (x) = 1, f (x) = 2$ đều có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số có 6 tiệm cận đứng.

Câu 42:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với $A (1; 2; 1), B (2; 1; 3), C (3; 2; 2) .$ Độ dài chiều cao AH của tam giác bằng

A. $\frac{\sqrt{14}}{3} .$

B. $\frac{\sqrt{42}}{3} .$

C. $\frac{\sqrt{14}}{6} .$

D. $\frac{\sqrt{21}}{6} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $\vec{A B} = (1; - 1; 2), \vec{A C} = (2; 0; 1), [\vec{A B}, \vec{A C}] = (- 1; 3; 2) .$

Diện tích tam giác $A B C : S = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]| = \frac{1}{2} \sqrt{{(- 1)}^{2} + 3^{2} + 2^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} .$

$\vec{B C} = (1; 1; - 1) \Rightarrow B C = \sqrt{3} .$

Mặt khác ta có diện tích tam giác $A B C : S = \frac{1}{2} A H . B C \Rightarrow A H = \frac{2 S}{B C} = \frac{\frac{2 \sqrt{14}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{42}}{3} .$

Câu 43:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

f (x) = x^{2} - \ln (1 - 2 x)

trên đoạn [-2; 0]. Biết

M + m = a + b \ln 2 + c \ln 5 (a, b, c \in Q) .

Khi đó tổng a + b + c bằng

A. $\frac{9}{4}$

B. $\frac{17}{4}$

C. $- \frac{3}{4}$

D. $\frac{15}{4}$

Xem đáp án

Chọn A.

TXĐ: $D = (- \infty; \frac{1}{2}] .$

Ta có: $f' (x) = 2 x + \frac{2}{1 - 2 x} = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2}{1 - 2 x} .$

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow - 4 x^{2} + 2 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - \frac{1}{2} \end{array} .$

Tính: $f (- 2) = 4 - \ln 5; f (0) = 0; f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \ln 2.$

$\Rightarrow m = \min_{[- 2; 0]} f (x) = f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \ln 2$ khi $x = - \frac{1}{2} .$

$M = \max_{[- 2; 0]} f (x) = f (- 2) = 4 - \ln 5 \Rightarrow M + m = 4 - \ln 5 + \frac{1}{4} - \ln 2 = \frac{17}{4} - \ln 2 - \ln 5.$

$\Rightarrow a = \frac{17}{4}, b = - 1, c = - 1 \Rightarrow a + b + c = \frac{9}{4} .$

Câu 44:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 2] để hàm số $y = x^{3} - x^{2} + 3 m x - 1$ đồng biến trên $ℝ$ .

A. 23

B. 2

C. 3

D. 20

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 2 x + 3 m .$

Để hàm số đồng biến trên $ℝ \Rightarrow y' \geq 0, \forall x \in ℝ$ (dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm)

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ Δ' \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 > 0 \\ 1 - 9 m \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{9} .$

Vì $m \in [- 10; 2] \Rightarrow m \in \{1; 2\} .$

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn ycbt.

Câu 45:

Người ta cần đổ một ống cống thoát nước hình trụ với chiều cao 2m, độ dày thành ống là 10cm. Đường kính ống là 50cm. Tính lượng bê tông cần dùng để làm ra ống thoát nước đó?

A.

0, 045 π (m^{3}) .

B.

0, 12 π (m^{3}) .

C.

0, 08 π (m^{3}) .

D.

0, 5 π (m^{3}) .

Xem đáp án

Chọn C.

Người ta cần đổ một ống cống thoát nước hình trụ với chiều cao 2m, độ dày (ảnh 1)

Gọi $V_{1}$ là thể tích lõi của ống cống (phần ống cống rỗng), $r_{1} = 0, 15 m$ là bán kính đường tròn đáy của phần này.

Gọi $V_{2}$ là thể tích của toàn bộ ống cống, $r_{2} = 0, 25 m$ là bán kính đường tròn đáy của phần này.

Thể tích bê tông cần dùng để làm ra ống thoát nước này là:

$V = V_{2} - V_{1} = π r_{2}^{2} . h - π r_{1}^{2} . h = π h (r_{2}^{2} - r_{1}^{2}) = 0, 08 π (m^{3}) .$

Câu 46:

Một khối đồ chơi bằng gỗ có các hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng như hình bên (các kích thước cho như trong hình).

Một khối đồ chơi bằng gỗ có các hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu (ảnh 1)

Tính thể tích của khối đồ chơi đó (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).

A. 22668

B. 28750

C. 27990

D. 26340

Xem đáp án

Chọn C.

Từ hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng của vật thể ta suy ra hình thực của vật thể như hình vẽ:

Một khối đồ chơi bằng gỗ có các hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu (ảnh 2)

Gọi $V_{1}$ là thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $36, 30, 12; V_{2}$ là thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $36, 24, 28; V_{3}$ là thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là $16, 20, 12; V_{4}$ là thể tích khối bán trụ có bán kính đáy bằng 11, chiều cao bằng 28.

Thể tích của khối đồ chơi đó là:

$V = V_{1} + V_{2} - (V_{3} + V_{4}) = 36.30.12 + 36.24.28 - (16.20.12 + \frac{1}{2} π {.11}^{2} .28) \approx 27990.$

Câu 47:

Biết rằng phương trình $\log_{3} (3^{x + 1} - 1) = 2 x + \log_{\frac{1}{3}} 2$ có hai nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ . Hãy tính tổng $S = 27^{x_{1}} + 27^{x_{2}} .$

A. S = 45

B. S = 252

C. S = 9

D. S = 180

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $\log_{3} (3^{x + 1} - 1) = 2 x + \log_{\frac{1}{3}} 2 \Leftrightarrow \log_{3} (3^{x + 1} - 1) = \log_{3} (3^{2 x}) - \log_{3} 2.$

$\Leftrightarrow \log_{3} ({3.3}^{x} - 1) = \log_{3} \frac{3^{2 x}}{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3^{x} > \frac{1}{3} \\ {3.3}^{x} - 1 = \frac{3^{2 x}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3^{x} > \frac{1}{3} \\ 3^{2 x} - {6.3}^{x} + 2 = 0 (1) \end{cases} .$

Giả sử hai nghiệm của phương trình ban đầu là $x_{1}$ và $x_{2}$ khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là $3^{x_{1}}$ và $3^{x_{2}}$

Theo định lý Vi-et ta có: $\{\begin{cases} 3^{x_{1}} {.3}^{x_{2}} = 2 \\ 3^{x_{1}} + 3^{x_{2}} = 6 \end{cases}$

Vậy $S = 27^{x_{1}} + 27^{x_{2}} = {(3^{x_{1}})}^{3} + {(3^{x_{2}})}^{3} = {(3^{x_{1}} + 3^{x_{2}})}^{3} - {3.3}^{x_{1}} {.3}^{x_{2}} (3^{x_{1}} + 3^{x_{2}}) = 6^{3} - 3.2.6 = 180.$

Câu 48:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để $\max_{[1; 3]} |x^{3} - 3 x^{2} + m| \leq 4 ?$

A. 5.

B. 6.

C. 4.

D. Vô số.

Xem đáp án

Chọn A.

Xét hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + m$ trên đoạn [1; 3] ta có

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \in [1; 3] \end{array} .$

Khi đó $f (1) = m - 2; f (2) = m - 4; f (3) = m .$

Suy ra $\max_{[1; 3]} f (x) = m; \min_{[1; 3]} f (x) = m - 4.$

TH1: Nếu $m (m - 4) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 4$ thì $\max_{[1; 3]} |x^{3} - 3 x^{2} + m| = \max \{|m|; |m - 4|\} .$

Để $\max_{[1; 3]} |x^{3} - 3 x^{2} + m| \leq 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} |m| \leq 4 \\ |m - 4| \leq 4 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 4 \leq m \leq 4 \\ 0 \leq m \leq 8 \end{array}$

So sánh điều kiện suy ra $0 \leq m \leq 4.$ Trường hợp này có 5 giá trị $m = \{0; 1; 2; 3; 4\}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2: Nếu m < 0 thì $\max_{[1; 3]} |x^{3} - 3 x^{2} + m| = |m - 4| \leq 4 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 8.$ So sánh điều kiện thấy không thỏa mãn.

TH3: Nếu $m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 4$ thì $\max_{[1; 3]} |x^{3} - 3 x^{2} + m| = |m| \leq 4 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 4.$ So sánh điều kiện thấy không thỏa mãn.

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

Câu 49:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x, y > 1 và

\log_{3} {[(x + 1) (y + 1)]}^{y + 1} = 9 - (x - 1) (y + 1) .

Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x^{3} + y^{3} - 57 (x + y)

là một số thực có dạng

a = b \sqrt{7} (a, b \in ℝ) .

Tính giá trị của a + b.

A. a + b = -28

B. a + b = -30

C. a + b = -29

D. a + b = -31

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\log_{3} {[(x + 1) (y + 1)]}^{y + 1} = 9 - (x - 1) (y + 1) \Leftrightarrow (y + 1) \log_{3} (x + 1) (y + 1) = 9 - (x - 1) (y + 1)$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) (y + 1) = \frac{9}{y + 1} - (x - 1) \Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) + \log_{3} (y + 1) = \frac{9}{y + 1} - x + 1.$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) + x - 1 = - \log_{3} (y + 1) + \frac{9}{y + 1} \Leftrightarrow \log_{3} (x + 1) + x + 1 = \log_{3} \frac{9}{y + 1} + \frac{9}{y + 1} (1) .$

Xét hàm số $y = f (t) = \log_{3} t + t$ có $f' (t) = \frac{1}{t \ln 3} + 1 > 0, \forall t \in (0; + \infty),$ nên hàm số f(t) đồng biến trên $(0; + \infty) .$

Từ (1) ta có $f (x + 1) = f (\frac{9}{y + 1}) \Leftrightarrow x + 1 = \frac{9}{y + 1} \Leftrightarrow (x + 1) (y + 1) = 9 \Leftrightarrow x y + x + y = 8.$

Khi đó $P = x^{3} + y^{3} - 57 (x + y) = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y) - 57 (x + y)$

$= {(x + y)}^{3} - 3 (8 - x - y) (x + y) - 57 (x + y)$

Đặt $t = x + y, t > 2 \Rightarrow g (t) = t^{3} - 3 (8 - t) t - 57 t = t^{3} + 3 t^{2} - 81 t$ với t > 2

Ta có $g' (t) = 3 t^{2} + 6 t - 81 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 + 2 \sqrt{7} (n) \\ t = - 1 - 2 \sqrt{7} (l) \end{array} .$

Ta có bảng biến thiên của hàm g(t) trên $(2; + \infty) .$

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x, y > 1 và (ảnh 1)

Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy $P_{\min} = g (- 1 + 2 \sqrt{7}) = 83 - 112 \sqrt{7} .$

Suy ra $\{\begin{cases} a = 83 \\ b = - 112 \end{cases} \Rightarrow a + b = - 29.$

Câu 50:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ có đồ thị như hình dưới đây.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên có đồ thị như hình dưới đây. Phương trình (ảnh 1)

Phương trình $2 f (f (x)) = 1$ có bao nhiêu nghiệm.

A. 0

B. 9

C. 5

D. 7

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $2 f (f (x)) = 1 \Leftrightarrow f (f (x)) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = a \in (- 2; - 1) \\ f (x) = b \in (0; 1) \\ f (x) = c \in (1; 2) \end{array} .$

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên có đồ thị như hình dưới đây. Phương trình (ảnh 2)

Dựa vào đồ thị, ta thấy

Phương trình $f (x) = a \in (- 2; - 1)$ có duy nhất 1 nghiệm.

Phương trình $f (x) = b \in (0; 1)$ có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình $f (x) = c \in (1; 2)$ có 3 nghiệm phân biệt.

Các nghiệm của phương trình $f (x) = a, f (x) = b, f (x) = c$ phân biệt với nhau.

Tóm lại, phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm phân biệt.