50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 18)

Câu 1:

y = {(1 - x)}^{- 2}

là:

A. $ℝ$

B. $ℝ \ \{1\}$

C. $(1; + \infty)$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Phương pháp:

Hàm số lũy thừa $y = x^{n}$ với $n \in ℤ^{-}$ xác định khi và chỉ khi $x \neq 0.$

Cách giải:

Hàm số $y = {(1 - x)}^{- 2}$ xác định khi $1 - x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1.$

Chọn B.

Câu 2:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1 - x}{x + 2}$ là:

A. y = -1

B. y = 1

C. x = -2

D. x = 2

Xem đáp án

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1 - x}{x + 2}$ là y = -1.

Chọn A.

Câu 3:

Cho số phức z = 3 - 4i. Tìm phần ảo của số phức $z' = \bar{z} .$

A. -3

B. 4

C. -4

D. 3

Xem đáp án

$z = 3 - 4 i \Rightarrow z' = \bar{z} = 3 + 4 i$ có phần ảo bằng 4.

Chọn B.

Câu 4:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} (x - 2) < 2$ là:

A. $(- \infty; 6)$

B. (2; 6)

C. [2; 6)

D. $(6; + \infty)$

Xem đáp án

$\log_{2} (x - 2) < 2 \Leftrightarrow 0 < x - 2 < 4 \Leftrightarrow 2 < x < 6.$

Chọn B.

Câu 5:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên

ℝ

và có đồ thị như hình vẽ bên. Trên [-2; 2] hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Trên [-2; 2] (ảnh 1)

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị ta thấy trên [-2; 2] hàm số có 2 điểm cực trị $x = 0, x = x_{0} \in (0; 2) .$

Chọn C.

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho

\vec{a} = (- 1; 0; 1)

và

\vec{b} = (1; 0; 0) .

Góc giữa hai veto

\vec{a}

và

\vec{b}

bằng

A. $45^{0}$

B. $30^{0}$

C. $60^{0}$

D. $135^{0}$

Xem đáp án

$∠ (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = \frac{- 1.1 + 0.0 + 1.0}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 0^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow ∠ (\vec{a}; \vec{b}) = 135^{0}$

Chọn D.

Câu 7:

Đồ thị trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = 2 x^{4} - 4 x^{2} + 1$

B. $y = x^{3} + 2 x + 1$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Đồ thị hàm số là đồ thị của hàm bậc bốn trùng phương nên loại B và C.

Đồ thị đi qua điểm (-1; 1) nên loại đáp án C.

Chọn A.

Câu 8:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 2 chữ số phân biệt.

A. 6.

B. 12.

C. 16.

D. 20.

Xem đáp án

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 lập được $A_{4}^{2} = 12$ số tự nhiên gồm 2 chữ số phân biệt.

Chọn B.

Câu 9:

Khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng S thì có thể tích bằng

A. Sh

B. $\frac{1}{3} S h$

C. $\frac{1}{2} S h$

D. 3Sh

Xem đáp án

Khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng S thì có thể tích bằng Sh

Chọn A.

Câu 10:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\int_{}^{} e^{x} d x = e^{x} + C$

B. $\int_{}^{} x d x = \frac{x^{2} + 1}{2} + C$

C. $\int_{}^{} \sin x d x = \cos x + C$

D. $\int_{}^{} \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C$

Xem đáp án

Vì $\int_{}^{} \sin x d x = - \cos x + C$ nên đáp án C sai.

Chọn C.

Câu 11:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ.

Cho hàm số f(x) liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ. (ảnh 1)

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Xem đáp án

Dựa vào BXD đạo hàm ta suy ra hàm số đã cho có 2 điểm cực đại x = -1; x = 1.

Chọn D.

Câu 12:

Đồ thị hàm số $y = (x^{2} - 1) {(x + 1)}^{2}$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt?

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $(x^{2} - 1) {(x + 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.$

Vậy đồ thị hàm số $y = (x^{2} - 1) {(x + 1)}^{2}$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

Chọn A.

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 3 z - 4 = 0.$ Đường thẳng d đi qua O và vuông góc với (P) có vectơ chỉ phương là:

A. $\vec{q} = (- 1; - 2; 3)$

B. $\vec{p} = (1; 2; 3)$

C. $\vec{n} = (- 1; 2; - 3)$

D. $\vec{m} = (1; - 2; - 3)$

Xem đáp án

Mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 3 z - 4 = 0$ có 1 VTPT là (1; -2; 3)

Vì $d ⊥ (P)$ nên đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương là $\vec{n} = - (1; - 2; 3) = (- 1; 2; - 3) .$

Chọn C.

Câu 14:

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 2. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:

A. $30 π .$

B. $6 π .$

C. $15 π .$

D. $12 π .$

Xem đáp án

Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng: $S_{x q} = 2 π r h = 2 π .3.2 = 12 π .$

Chọn D.

Câu 15:

Cho các số phức $z_{1} = 1 - 2 i, z_{2} = 2 + i .$ Tìm điểm biểu diễn số phức $z = z_{1} + z_{2} .$

A. Q(-1; 3)

B. N(3; 3)

C. P(3; -1)

D. M(1; 3)

Xem đáp án

Ta có: $z = z_{1} + z_{2} = (1 - 2 i) + (2 + i) = 3 - i .$

$\Rightarrow z = 3 - i$ có điểm biểu diễn là P(3; -1)

Chọn C.

Câu 16:

Cho khối nón có góc ở đỉnh bằng $60^{0}$ và bán kính đáy bằng 1. Thể tích khối nón đã cho bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{6} π$

B. $\sqrt{3} π$

C. $\frac{\sqrt{3}}{3} π$

D. $π$

Xem đáp án

Chiều cao khối nón là $h = r . \cot α = 1. \cot 30^{0} = \sqrt{3} .$

Thể tích khối nón: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {.1}^{2} . \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} π}{3} .$

Chọn C.

Câu 17:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên [-1; 1] là:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số (ảnh 1)

A. -1

B. 1

C. 2

D. 0

Xem đáp án

$\max_{[- 1; 1]} y = 1$

Chọn B.

Câu 18:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{2} = 3, u_{3} = 6.$ Số hạng đầu $u_{1}$ là:

A. 2

B. 1

C.

\frac{3}{2}

D. 0

Xem đáp án

Ta có $u_{1} . u_{3} = u_{2}^{2} \Rightarrow u_{1} = \frac{u_{2}^{2}}{u_{3}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} .$

Chọn C.

Câu 19:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến (ảnh 1)

A. (1; 2)

B. $(1; + \infty)$

C. (-1; 2)

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Dựa vào BBT ta suy ra hàm số nghịch biến trên (1; 2).

Chọn A.

Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(2; -1; 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} (1; 3; - 2) .$ Phương trình của (Q) là:

A. $x + 3 y - 2 z + 3 = 0$

B. $2 x - y + 1 = 0$

C. $x + 3 y - 2 z + 1 = 0$

D. $2 x - y - 1 = 0$

Xem đáp án

Phương trình của (Q) là: $1 (x - 2) + 3 (y + 1) - 2 z = 0 \Leftrightarrow x + 3 y - 2 z + 1 = 0.$

Chọn C.

Câu 21:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2, \int_{0}^{2} f (x) d x = 1.$ Tích phân $\int_{1}^{2} f (x) d x$ là:

A. 2

B. 1

C. 3

D. -1

Xem đáp án

$\int_{1}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x = 1 - 2 = - 1.$

Chọn D.

Câu 22:

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $a^{2} b = 2.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $2 \log_{2} a - \log_{2} b = 1$

B. $2 \log_{2} a + \log_{2} b = 2$

C. $2 \log_{2} a + \log_{2} b = 1$

D. $\log_{2} a + 2 \log_{2} b = 1$

Xem đáp án

$a^{2} b = 2$

$\Leftrightarrow \log_{2} (a^{2} b) = \log_{2} 2$

$\Leftrightarrow 2 \log_{2} a + \log_{2} b = 1$

Chọn C.

Câu 23:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên

(0; + \infty) .

Biết

x^{2}

là một nguyên hàm của

x^{2} f' (x)

trên

(0; + \infty)

và f(1) = 1. Tính f(e).

A. 2e + 1

B. 3

C. 2

D. e

Xem đáp án

Do $x^{2}$ là một nguyên hàm của $x^{2} f' (x)$ trên $(0; + \infty)$ nên $x^{2} f' (x) = (x^{2})' = 2 x \Rightarrow f' (x) = \frac{2 x}{x^{2}} = \frac{2}{x} .$

$\Rightarrow f (x) = \int_{}^{} f' (x) d x = \int_{}^{} \frac{2}{x} d x = 2 \ln x + C .$

Mà $f (1) = 1 \Rightarrow 2 \ln 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 1 \Rightarrow f (x) = 2 \ln x + 1.$

Vậy $f (e) = 2 \ln e + 1 = 3.$

Chọn B.

Câu 24:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có

A B = a, A A' = a \sqrt{2} .

Góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABB'A') bằng

A. 45⁰

B. 30⁰

C. 75⁰

D. 60⁰

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA' = a căn bậc hai của 2 (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của AB ta có $\{\begin{cases} C M ⊥ A B \\ C M ⊥ A A' \end{cases} \Rightarrow C M ⊥ (A B B' A') .$

A'M là hình chiếu của A'C lên mặt phẳng (ABB'A')

$\Rightarrow ∠ (A' C; (A B B' A')) = ∠ (A' C; A' M) = ∠ C A' M .$

Vì $C M ⊥ (A B B' A') \Rightarrow C M ⊥ A' M$ nên $Δ A' C M$ vuông tại M.

Tam giác ABC đều cạnh $a \Rightarrow C M = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Áp dụng định lí Pytago: $A' M = \sqrt{A A'^{2} + A M^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{3 a}{2} .$

$\Rightarrow \tan ∠ C A' M = \frac{C M}{A' M} = \frac{a \sqrt{3}}{2} : \frac{3 a}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow ∠ C A' M = 30^{0} .$

Vậy $∠ (A' C; (A B B' A')) = 30^{0} .$

Chọn B.

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; -4; 3) và B(2; 3; 4). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B chứa trục Ox. Khoảng cách từ A đến (P) bằng:

A.

\frac{4}{3}

B. 2

C. 1

D. 5

Xem đáp án

Gọi $\vec{n_{P}}$ là 1 VTPT của (P) Ta có $\{\begin{cases} O x \subset (P) \\ O B \subset (P) \end{cases} \Rightarrow \vec{n_{P}} = [\vec{i}; \vec{O B}] = (0; - 4; 3) .$

Phương trình mặt phẳng (P) là: $- 4 (y - 3) + 3 (z - 4) = 0 \Leftrightarrow 4 y - 3 z = 0.$

Vậy $d (A; (P)) = \frac{|4. (- 4) - 3.3|}{\sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}}} = 5.$

Chọn D.

Câu 26:

Cho khối hộp đứng

A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

có đáy ABCD là hình thoi cạnh

a, ∠ A B C = 120^{0},

đường thẳng

A C_{1}

tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc

45^{0} .

Tính thể tích khối hộp đã cho.

A. $\frac{a^{3}}{2}$

B. $\frac{3 a^{3}}{2}$

C. $\frac{3 a^{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Cho khối hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình thoi cạnh a (ảnh 1)

Ta có $∠ (A C_{1}; (A B C D)) = ∠ (A C_{1}; A C) = ∠ C_{1} A C = 45^{0} \Rightarrow Δ A C C_{1}$ vuông cân tại C

Mà $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . B C . \cos ∠ A B C} = a \sqrt{3} \Rightarrow C C_{1} = a \sqrt{3} .$

Ta có $S_{A B C} = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin ∠ A B C = \frac{1}{2} . a . a . \sin 120^{0} = \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} \Rightarrow S_{A B C D} = 2 S_{A B C} = \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} .$

Vậy $V_{A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}} = C C_{1} . S_{A B C D} = a \sqrt{3} . \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} = \frac{3 a^{3}}{2} .$

Chọn B.

Câu 27:

Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, độ dài tất cả các cạnh còn lại cùng bằng $a \sqrt{2} .$ Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đã cho bằng

A. $16 π a^{2}$

B. $π a^{2}$

C. $4 π a^{2}$

D. $\frac{4}{3} π a^{2}$

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} A C^{2} + B C^{2} = {(a \sqrt{2})}^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2} = 4 a^{2} = A B^{2} \\ A D^{2} + B D^{2} = {(a \sqrt{2})}^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2} = 4 a^{2} = A B^{2} \end{cases} \Rightarrow Δ A B C, Δ A B D$ là các tam giác vuông tại C, D

Gọi I là trung điểm của AB, ta có $\{\begin{cases} I C = \frac{1}{2} A B = I A = I B \\ I D = \frac{1}{2} A B = I A = I B \end{cases} \Rightarrow I A = I B = I C = I D .$

$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bán kính mặt cầu là $R = I A = \frac{1}{2} A B = a .$

Vậy diện tích mặt cầu là $S = 4 π R^{2} = 4 π a^{2} .$

Chọn C.

Câu 28:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} - 3 x + 2}$ là

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} 1 - x \geq 0 \\ x^{2} - 3 x + 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x < 1.$

Ta có $\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} - 3 x + 2} = 0, \lim_{x \to + \infty} y$ không tồn tại.

$\Rightarrow y = 0$ là TCN của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} - 3 x + 2} = + \infty, \lim_{x \to 2} y$ không tồn tại.

$\Rightarrow x = 1$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} - 3 x + 2}$ là 2.

Chọn B.

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A B = a \sqrt{3}, B C = a,$ các cạnh bên của hình chóp bằng $a \sqrt{5} .$ Gọi M là trung điểm SC. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABCD).

A. a

B. $a \sqrt{3}$

C. $a \sqrt{2}$

D. 2a

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với (ảnh 1)

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$

Gọi H là trung điểm của $O C \Rightarrow M H / / S H$ (MH là đường trung bình của $Δ S O C$ ).

M H ⊥ (A B C D) \Rightarrow d (M; (A B C D)) = M H

Ta có: $A C = \sqrt{A D^{2} + C D^{2}} = \sqrt{a^{2} + 3 a^{2}} = 2 a \Rightarrow O C = a .$

$\Rightarrow S O = \sqrt{S C^{2} - O C^{2}} = \sqrt{5 a^{2} - a^{2}} = 2 a .$

$\Rightarrow M H = \frac{1}{2} S O = a .$

Vậy $d (M; (A B C D)) = a .$

Chọn A.

Câu 30:

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} {(x - 1)}^{2}$ là:

A. $y' = \frac{2}{(x - 1) \ln 2}$

B. $y' = \frac{2 \ln 2}{{(x - 1)}^{2}}$

C. $y' = \frac{2 \ln 2}{x - 1}$

D. $y' = \frac{2}{{(x - 1)}^{2} \ln 2}$

Xem đáp án

$y = \log_{2} {(x - 1)}^{2}$

$\Rightarrow y' = \frac{[{(x - 1)}^{2}]'}{{(x - 1)}^{2} \ln 2} = \frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2} \ln 2} = \frac{2}{(x - 1) \ln 2}$

Chọn A.

Câu 31:

Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho tồn tại số thực b thỏa mãn $2^{a} = 3^{b}$ và a - b < 4

A. 6

B. 19

C. Vô số

D. 1

Xem đáp án

Ta có $2^{a} = 3^{b} \Rightarrow b = a \log_{3} 2.$

$\Rightarrow a - b < 4 \Leftrightarrow a - a \log_{3} 2 < 4$

$\Leftrightarrow a (1 - \log_{3} 2) < 4$

$\Leftrightarrow a \log_{3} \frac{3}{2} < 4$

$\Leftrightarrow a < \frac{4}{\log_{3} \frac{3}{2}}$

Do đó $a \in (0; \frac{4}{\log_{3} \frac{3}{2}}) .$ Kết hợp điều kiện $a \in ℤ \Rightarrow a \in \{1; 2; 3; ...; 10\} .$

Vậy có 10 giá trị của a thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 32:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập xác định $(- \infty; 2]$ và bảng biến thiên như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

f(x) = m có đúng hai nghiệm phân biệt?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập xác định (- vô cùng; 2] và bảng biến thiên (ảnh 1)

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 2 điểm phân biệt trên $(- \infty; 2]$ khi và chỉ khi $[\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 2 \end{array} .$

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn A.

Câu 33:

Một tổ gồm 6 học sinh trong đó có An và Hà được xếp ngẫu nhiên ngồi vào một dãy 6 cái ghế, mỗi người ngồi một ghế. Tính xác suất để An và Hà không ngồi cạnh nhau

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu là $6! = 720.$

Gọi A là biến cố: “An và Hà không ngồi cạnh nhau” $\Rightarrow$ Biến cố đối $\bar{A} :$ “An và Hà ngồi cạnh nhau”.

Coi An và Hà là 1 bạn, có 2 cách đổi chỗ An và Hà, khi đó có tất cả 5 bạn xếp vào 5 ghế $\Rightarrow n (\bar{A}) = 2.5! = 240$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P (A) = 1 - P (\bar{A}) = \frac{n (\bar{A})}{n (Ω)} = 1 - \frac{240}{720} = \frac{2}{3} .$

Chọn C.

Câu 34:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 12}{4}$ cắt mặt phẳng $(P) : x - 5 y - 3 z + 2 = 0$ tại điểm M. Độ dài OM bằng:

A. 2

B. 1

C. $\sqrt{3}$

D. $2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Vì $M = d \cap (P)$ nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 9 + 3 t \\ z = 12 + 4 t \\ z - 5 y - 3 z + 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 3 \\ x = - 2 \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow M (- 2; 0; 0) .$

Vậy OM = 2.

Chọn A.

Câu 35:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm, đồng biến và nhận giá trị âm trên $(0; + \infty) .$ Hàm số $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ có bao nhiêu điểm cực trị trên $(0; + \infty) .$ ?

A. 1

B. Vô số

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Ta có: $g (x) = \frac{f (x)}{x} \Rightarrow g' (x) = \frac{f' (x) . x - f (x)}{x^{2}} .$

Vì hàm số đồng biến và nhận giá trị âm trên $(0; + \infty)$ nên $\{\begin{cases} f' (x) > 0 \\ x > 0 \\ f (x) < 0 \end{cases} \Rightarrow g' (x) > 0 \forall x \in (0; + \infty) .$

Vậy hàm số $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ không có cực trị trên $(0; + \infty) .$

Chọn D.

Câu 36:

Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 1 và $y = 2 - x^{2} .$ Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức

A. $V = π \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} {(2 - x^{2})}^{2} d x - 4 π$

B. $V = π \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} {(2 - x^{2})}^{2} d x$

C. $V = π \int_{- 1}^{1} {(2 - x^{2})}^{2} d x - 4 π$

D. $V = π \int_{- 1}^{1} {(2 - x^{2})}^{2} d x - 2 π$

Xem đáp án

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $1 = 2 - x^{2} \Leftrightarrow x = \pm 1.$

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức

$V = π \int_{- 1}^{1} |{(2 - x^{2})}^{2} - 1^{2}| d x$

$= π \int_{- 1}^{1} ({(2 - x^{2})}^{2} - 1) d x$

$= π (\int_{- 1}^{1} {(2 - x^{2})}^{2} d x - \int_{- 1}^{1} d x)$

$= π (\int_{- 1}^{1} {(2 - x^{2})}^{2} d x - 2)$

$= π \int_{- 1}^{1} {(2 - x^{2})}^{2} d x - 2 π$

Chọn D.

Câu 37:

Biết phương trình

z^{2} - 2 z + 3 = 0

có hai nghiệm phức

z_{1}, z_{2} .

Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

z_{1} + z_{2}

là số thực

B.

z_{1} - z_{2}

là số thực

C.

z_{1}^{2} + z_{2}^{2}

là số thực

D.

z_{1} z_{2}

là số thực

Xem đáp án

$z^{2} - 2 z + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = 1 + \sqrt{2} i \\ z_{2} = 1 - \sqrt{2} i \end{array}$

$\Rightarrow z_{1} + z_{2} = (1 + \sqrt{2} i) + (1 - \sqrt{2} i) = 2$

$z_{1} z_{2} = (1 + \sqrt{2} i) . (1 - \sqrt{2} i) = 3$

$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = {(1 + \sqrt{2} i)}^{2} + {(1 - \sqrt{2} i)}^{2} = - 2.$

Vậy mệnh đề B sai.

Chọn B.

Câu 38:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{2} (x \sqrt{x^{2} + 3} - x^{2}) \leq \sqrt{x^{2} + 3} - 2 x$ là:

A. Vô số

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

ĐKXĐ:

Ta có

Ta có:

Xét hàm đặc trưng ta có nên hàm số đồng biến trên

Do đó

(do

Kết hợp điều kiện

Vậy bất phương trình đã

Câu 39:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; -4; -5) và các đường thẳng $d_{1} : \frac{x + 4}{- 5} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z - 2}{3}; d_{2} : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 5}{- 2} .$ Đường thẳng d đi qua M và cắt $d_{1}, d_{2}$ lần lượt tại A, B. Diện tích tam giác OAB bằng

A. $5 \sqrt{3}$

B. $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

C. $3 \sqrt{5}$

D. $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Gọi $A (- 4 - 5 a; 4 + 2 a; 2 + 3 a) \in d_{1}, B (1 - b; 2 + 3 b; - 5 - 2 b) \in d_{2} .$

Vì $M, A, B \in d$ nên chúng thẳng hàng $\Rightarrow \vec{M A}, \vec{M B}$ cùng phương.

Ta có: $\{\begin{cases} \vec{M A} = (5 a + 7; - 2 a - 8; - 3 a - 7) \\ \vec{M B} = (b + 2; - 3 b - 6; 2 b) \end{cases}$

$\Rightarrow \frac{5 a + 7}{b + 2} = \frac{- 2 a - 8}{- 3 b - 6} = \frac{- 3 a - 7}{2 b}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 15 a b + 30 a + 21 b + 42 = 2 a b + 8 b + 4 a + 16 \\ 10 a b + 14 b = - 3 a b - 6 a - 7 b - 14 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 13 a b + 26 a + 13 b + 26 = 0 \\ 13 a b + 6 a + 21 b + 14 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 20 a - 8 b + 12 = 0 \\ a b + 2 a + b + 2 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 a - 2 b + 3 = 0 \\ a b + 2 a + b + 2 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} b = \frac{5 a + 3}{2} \\ a . \frac{5 a + 3}{2} + 2 a + \frac{5 a + 3}{2} + 2 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} b = \frac{5 a + 3}{2} \\ 5 a^{2} + 3 a + 4 a + 5 a + 3 + 4 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} b = \frac{5 a + 3}{2} \\ 5 a^{2} + 12 a + 7 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 1, b = - 1 \\ a = - \frac{7}{5}, b = - 2 \end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} A (1; 2; - 1), B (2; - 1; - 3) \\ A (3; \frac{6}{5}; - \frac{11}{5}), B (3; - 4; - 1) \end{array}$

TH1: $A (1; 2; - 1), B (2; - 1; - 3) \Rightarrow \vec{O A} (1; 2; - 1), \vec{O B} (2; - 1; - 3)$

$\Rightarrow S_{O A B} = \frac{1}{2} |[\vec{O A}, \vec{O B}]| = \frac{1}{2} \sqrt{3^{2} + 6^{2} + 0^{2}} = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

TH2: $A (3; \frac{6}{5}; - \frac{11}{5}), B (3; - 4; - 1) \Rightarrow \vec{O A} (3; \frac{6}{5}; - \frac{11}{5}), \vec{O B} (3; - 4; - 1)$

$\Rightarrow S_{O A B} = \frac{1}{2} |[\vec{O A}, \vec{O B}]| = \frac{1}{2} . \sqrt{10^{2} + 3, 6^{2} + 15, 6^{2}} = \frac{\sqrt{8908}}{10}$ .

Chọn B.

Câu 40:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\frac{z^{2}}{z - 2 i} = |z^{2}| ?$

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

ĐK: $z \neq 2 i .$

Ta có:

$\frac{z^{2}}{z - 2 i} = |z^{2}| \Leftrightarrow \frac{z^{2}}{z - 2 i} = {|z|}^{2} = z . \bar{z}$

$\Leftrightarrow z (\frac{z}{z - 2 i} - \bar{z}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 0 (t m) \\ \frac{z}{z - 2 i} - \bar{z} = 0 (*) \end{array}$

Đặt $z = x + y i \Rightarrow \bar{z} = x - y i,$ thay vào (*) ta có

$x + y i = (x - y i) (x + y i - 2 i)$

$\Leftrightarrow x + y i = x^{2} + x y i - 2 x i - x y i + y^{2} - 2 y$

$\Leftrightarrow x + y i = x^{2} + y^{2} - 2 y - 2 x i$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 2 y = x \\ y = - 2 x \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + 4 x^{2} + 4 x = x \\ y = - 2 x \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x^{2} + 3 x = 0 \\ y = - 2 x \end{cases}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0; y = 0 \\ x = - \frac{3}{5}; y = \frac{6}{5} \end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} z = 0 \\ z = - \frac{3}{5} + \frac{6}{3} i \end{array}$

Vậy có 2 số phức z thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 41:

Một cơ sở chế biến nước mắm đặt hàng xưởng sản xuất gia công làm một bể chứa bằng Inox hình trụ có nắp đậy với dung tích $2 m^{3} .$ Yêu cầu đặt ra cho xưởng sản xuất là phải tốn ít vật liệu nhất. Biết rằng giá tiền $1 m^{2}$ Inox là 600 nghìn đồng, hỏi số tiền Inox (làm tròn đến hàng nghìn) để sản xuất bể chứa nói trên là bao nhiêu?

A. 7307000 đồng

B. 6421000 đồng

C. 4121000 đồng

D. 5273000 đồng

Xem đáp án

Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của bể hình trụ. Theo bài ra ta có $π r^{2} h = 2 \Leftrightarrow h = \frac{2}{π r^{2}} .$

$\Rightarrow$ Diện tích toàn phần của bể hình trụ là $S_{t p} = 2 π r h + 2 π r^{2} = 2 π r . \frac{2}{π r^{2}} + 2 π r^{2} = \frac{4}{r} + 2 π r^{2} (m^{2}) .$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $\frac{4}{r} + 2 π r^{2} = \frac{2}{r} + \frac{2}{r} + 2 π r^{2} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{2}{r} . \frac{2}{r} .2 π r^{2}} = 6 \sqrt[3]{π} .$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{2}{r} = 2 π r^{2} \Leftrightarrow r = \frac{1}{\sqrt[3]{π}} .$

Vậy số tiền để sản xuất bể chứa nói trên sao cho tốn ít vật liệu nhất là: $6 \sqrt[3]{π} .600 \approx 5273$ (nghìn đồng).

Chọn D.

Câu 42:

Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ toạ độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1; 1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình $y = x^{2}$ và $y = a x^{3} + b x .$ Tính giá trị ab biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn.

Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch (ảnh 1)

A. -2

B. 2

C. -3

D. 3

Xem đáp án

Diện tích 1 cánh của hình trang trí là $S_{1} = \int_{0}^{1} (x^{2} - a x^{3} - b x) d x = (\frac{x^{3}}{3} - \frac{a x^{4}}{4} - \frac{b x^{2}}{2}) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{1}{3} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2} .$

$\Rightarrow$ Diện tích hình trang trí là $S = 4 S_{1} = \frac{4}{3} - a - 2 b .$

Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn nên $\frac{4}{3} - a - 2 b = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2 b = 0.$

Đồ thị hàm số $y = a x^{3} + b x$ đi qua điểm A(1; 1) nên a + b = 1.

Khi đó ta có $\{\begin{cases} a + 2 b = 0 \\ a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases} .$

Vậy ab = -2.

Chọn A.

Câu 43:

Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm y = f'(x - 1) được cho trong hình vẽ bên. Hàm số

g (x) = f (2 x) + 2 x^{2} + 2 x

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm y = f'(x - 1) được (ảnh 1)

A. (-2; -1)

B. (1; 2)

C. (0; 1)

D. (-1; 0)

Xem đáp án

Ta có:

$g (x) = f (2 x) + 2 x^{2} + 2 x$

$\Rightarrow g' (x) = 2 f' (2 x) + 4 x + 2$

Cho $g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (2 x) + 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow f' (2 x) = - 2 x - 1.$

Đặt 2x = X - 1 ta có $f' (X - 1) = - X + 1 - 1 = - X,$ khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f'(X - 1) và Y = -X

Ta có đồ thị hàm số:

Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm y = f'(x - 1) được (ảnh 2)

Dựa vào đồ thị $\Rightarrow f (X - 1) = - X \Leftrightarrow [\begin{array}{l} X = - 2 \\ X = - 1 \\ X = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x + 1 = - 2 \\ 2 x + 1 = - 1 \\ 2 x + 1 = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{3}{2} \\ x = - 1 \\ x = \frac{1}{2} \end{array},$ qua các nghiệm này g'(x) đổi dấu.

Ta có $g' (0) = 2 f' (0) + 2 > 0$ (do $f' (0) > 0$ ) nên ta có BXD g'(x) như sau:

Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc bốn. Đồ thị hàm y = f'(x - 1) được (ảnh 3)

Vậy hàm số $g (x) = f (2 x) + 2 x^{2} + 2 x$ đồng biến trên khoảng (-1; 0).

Chọn D.

Câu 44:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết $A B = A D = a, C D = 2 a,$ góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng $30^{0} .$ Tính thể tích khối chóp đã cho.

A. $2 a^{3}$

B. $a^{3}$

C. $\frac{3 a^{3}}{2}$

D. $\frac{a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A (ảnh 1)

Trong (SAD) kẻ $D H ⊥ S A (H \in S A)$ , trong (SBD) kẻ $D K ⊥ S B (K \in S B) .$

Ta có:

$\{\begin{cases} S A ⊥ A D \\ A B ⊥ S D \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S A D) \Rightarrow A B ⊥ D H$

$\{\begin{cases} D H ⊥ A B \\ D H ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow D H ⊥ (S A B) (1)$

Gọi E là trung điểm của $C D \Rightarrow A B E D$ là hình vuông nên $B E = A D = a = \frac{1}{2} C D \Rightarrow Δ B C D$ vuông tại B.

Ta có:

$\{\begin{cases} B C ⊥ B D \\ B C ⊥ S D \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S B D) \Rightarrow B C ⊥ D K$

$\{\begin{cases} D K ⊥ B C \\ D K ⊥ S B \end{cases} \Rightarrow D K ⊥ (S B C) (2)$

Từ (1) và $(2) \Rightarrow ∠ ((S A B); (S B C)) = ∠ (D H; D K) = 30^{0}$

Mà $D H ⊥ (S A B) \Rightarrow D H ⊥ H K \Rightarrow Δ D H K$ vuông tại $H \Rightarrow ∠ H D K = 30^{0}$

Đặt SD = x (x > 0) áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$D H = \frac{A D . S D}{\sqrt{A D^{2} + S D^{2}}} = \frac{a . x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}$

$D K = \frac{B D . S D}{\sqrt{B D^{2} + S D^{2}}} = \frac{a \sqrt{2} . a}{\sqrt{2 a^{2} + x^{2}}}$

Xét tam giác vuông DHK ta có: $\cos ∠ H D K = \frac{D H}{D K} \Rightarrow \frac{a x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} : \frac{a \sqrt{2} x}{\sqrt{2 a^{2} + x^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2 a^{2} + x^{2}}}{\sqrt{2 a^{2} + 2 x^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow 4 (2 a^{2} + x^{2}) = 3 (2 a^{2} + 2 x^{2})$

$\Leftrightarrow 8 a^{2} + 4 x^{2} = 6 a^{2} + 6 x^{2}$

$\Leftrightarrow 2 a^{2} = 2 x^{2} \Leftrightarrow x = a$

Ta có $S_{A B C D} = \frac{1}{2} (A B + C D) . A D = \frac{1}{2} (a + 2 a) . a = \frac{3 a^{2}}{2} .$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S D . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a . \frac{3 a^{2}}{2} = \frac{a^{3}}{2} .$

Chọn D.

Câu 45:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ . Đồ thị của hàm số y = f'(x) được cho trong hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

g(x) = f(sinx) trên $[0; π]$ là:

A. f(0)

B. f(1)

C. $f (\frac{\sqrt{3}}{2})$

D. $f (\frac{1}{2})$

Xem đáp án

Đặt t = sin x với $x \in [0; π] \Rightarrow t \in [0; 1] .$

Khi đó ta có hàm số y = f(t) trên [0; 1] có $f' (t) < 0 \forall t \in [0; 1],$ do đó hàm số nghịch biến trên [0; 1] nên $\min_{[0; 1]} f (t) = f (1) .$

Vậy $\min_{[0; π]} g (x) = f (1) .$

Chọn B.

Câu 46:

Có bao nhiêu giá trị thực của y để với mỗi y tồn tại đúng 2 giá trị thực của x sao cho

\ln (4 x^{2}) = x y + y

?

A. 1

B. Vô số

C. 2

D. 3

Xem đáp án

ĐKXĐ: $4 x^{2} > 0 \Leftrightarrow x \neq 0.$

Coi phương trình $\ln (4 x^{2}) = x y + y$ là phương trình ẩn x tham số y.

Ta có $p t \Leftrightarrow \ln (4 x^{2}) = y (x + 1) .$

Với $x = - 1 \Rightarrow \ln 4 = 0$ (vô lí) $\Rightarrow x \neq - 1.$

$\Rightarrow y = \frac{\ln (4 x^{2})}{x + 1} = f (x) .$

Xét hàm số $f (x) = \frac{\ln (4 x^{2})}{x + 1}$ với $x \neq 1, x \neq 0$ ta có $f' (x) = \frac{\frac{8 x}{4 x^{2}} (x + 1) - \ln (4 x^{2})}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{2 + \frac{2}{x} - \ln (4 x^{2})}{{(x + 1)}^{2}} .$

Cho $f' (x) = 0 \Leftrightarrow 2 + \frac{2}{x} - \ln (4 x^{2}) = 0.$

Tiếp tục xét hàm số $g (x) = 2 + \frac{2}{x} - \ln (4 x^{2})$ ta có $g' (x) = - \frac{2}{x^{2}} - \frac{2}{x} = \frac{- 2 - 2 x}{x^{2}}, g' (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1.$

Có bao nhiêu giá trị thực của y để với mỗi y tồn tại đúng 2 giá trị (ảnh 1)

Dựa vào BBT ta thấy g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = a > 0 và với $\{\begin{cases} x > a \Rightarrow g (x) < 0 \\ 0 < x < a \Rightarrow g (x) > 0 \\ x < 0 \Rightarrow g (x) < 0 \end{cases}$

$\Rightarrow f (x) = 0$ có nghiệm duy nhất x = a > 0

BBT hàm số f(x) như sau:

Có bao nhiêu giá trị thực của y để với mỗi y tồn tại đúng 2 giá trị (ảnh 2)

Do đó để phương trình $y = \frac{\ln (4 x^{2})}{x + 1} = f (x)$ có đúng hai nghiệm thì $[\begin{array}{l} y = 0 \\ y = f (a) \end{array} .$

Vậy có 2 giá trị thực của y thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 47:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ thỏa mãn f(1) = 1 và $f (2 x) - x f (x^{2}) = 5 x - 2 x^{3} - 1$ với mọi $x \in ℝ$ . Tính tích phân $I = \int_{1}^{2} x f' (x) d x .$

A. I = 3

B. I = -1

C. I = 2

D. I = 5

Xem đáp án

Xét $I = \int_{1}^{2} x f' (x) d x .$ Đặt $|f (t) + m| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (t) + m = 1 \\ f (t) + m = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (t) = 1 - m (1) \\ f (t) = - 1 - m (2) \end{array} .$ ta có

$I = x f (x) |\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array} - \int_{1}^{2} f (x) d x = 2 f (2) - f (1) - \int_{1}^{2} f (x) d x$

$= 2 f (2) - 1 - \int_{1}^{2} f (x) d x$

Ta có: $f (2 x) - x f (x^{2}) = 5 x - 2 x^{3} - 1. f (2 x) - x f (x^{2}) = 5 x - 2 x^{3} - 1.$ Thay $x = 1 \Rightarrow f (2) - f (1) = 2 \Rightarrow f (2) = 3.$

$\Rightarrow I = 5 - \int_{1}^{2} f (x) d x .$

Ta có:

$f (2 x) - x f (x^{2}) = 5 x - 2 x^{3} - 1$

$\Leftrightarrow 2 f (2 x) - 2 x f (x^{2}) = 10 x - 4 x^{3} - 2$

Lấy tích phân 2 vế ta có:

$2 \int_{0}^{1} f (2 x) d x - \int_{0}^{1} 2 x f (x^{2}) d x = \int_{0}^{1} (10 x - 4 x^{3} - 2) d x = 2$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (2 x) d (2 x) - \int_{0}^{1} f (x^{2}) d (x^{2}) = 2$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{2} f (t) d t - \int_{0}^{1} f (u) d u = 2$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{2} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x = 2$

$\Leftrightarrow \int_{1}^{2} f (x) d x = 2$

Vậy $I = 5 - 2 = 3.$

Chọn A.

Câu 48:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ . Đồ thị của hàm số y = f(1 - x) được cho trong hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $|f (\frac{1 - x}{x + 2}) + m| = 1$ có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc [-1; 1]?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y = f(1 - x) được cho (ảnh 1)

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Từ đồ thị hàm số y = f(1 - x) ta suy ra BBT hàm số y = f(x) như sau:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y = f(1 - x) được cho (ảnh 2)

Đặt $t = \frac{1 - x}{x + 2} = \frac{- x + 1}{x + 2} \Rightarrow t' = \frac{- 3}{{(x + 2)}^{2}} < 0 \forall x \neq - 2.$

$\Rightarrow$ Với $x [- 1; 1] \Rightarrow t \in [0; 2]$

Ta có BBT hàm số f(t) như sau:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y = f(1 - x) được cho (ảnh 3)

Khi đó bài toán trở thành: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình |f(t) + m| = 1 (*) có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc [0; 2]

Ta có $|f (t) + m| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (t) + m = 1 \\ f (t) + m = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (t) = 1 - m (1) \\ f (t) = - 1 - m (2) \end{array} .$

Để (*) có 3 nghiệm phân biệt.

TH1: (1) có 2 nghiệm phân biệt và (2) có 1 nghiệm $\Rightarrow \{\begin{cases} - 2 < 1 - m \leq 1 \\ [\begin{array}{l} 1 < - 1 - m \leq 3 \\ - 1 - m = - 2 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 \leq m < 3 \\ [\begin{array}{l} - 4 \leq m < - 2 \\ m = 1 \end{array} \end{cases} \Rightarrow m = 1.$

TH2: (1) có 1 nghiệm và (2) có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} 1 < 1 - m \leq 3 \\ 1 - m = - 2 \end{array} \\ - 2 < - 1 - m \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} - 2 \leq m < 0 \\ m = 3 \end{array} \\ - 2 \leq m < 1 \end{cases} \Rightarrow - 2 \leq m < 0.$

$\Rightarrow m \in [- 2; 0) \cup \{1\} .$ Mà $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 2; - 1; 1\} .$

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn A.

Câu 49:

Cho các số thực b, c sao cho phương trình

z^{2} + b z + c = 0

có hai nghiệm phức

z_{1}, z_{2}

thỏa mãn

|z_{1} - 4 + 3 i| = 1

và

|z_{2} - 8 - 6 i| = 4.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 5b + c = 4

B. 5b + c = -12

C. 5b + 6c = 12

D. 5b + c = -4

Xem đáp án

Vì $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} + b z + c = 0$ nên $z_{2} = \bar{z_{1}} .$

Khi đó ta có $|z_{2} - 8 - 6 i| = 4 \Leftrightarrow |\bar{z_{1}} - 8 - 6 i| = 4 \Leftrightarrow |z_{1} - 8 + 6 i| = 4.$

Gọi M là điểm biểu diễn số phức $z_{1}$

$\Rightarrow M$ vừa thuộc đường tròn $(C_{1})$ tâm $I_{1} (4; - 3),$ bán kính $R_{1} = 1$ và đường tròn $(C_{2})$ tâm $I_{2} (8; - 6),$ bán kính $R_{2} = 4.$

$\Rightarrow m \in (C_{1}) \cap (C_{2}) .$

Cho các số thực b, c sao cho phương trình z^2 + bz + c = 0 có hai nghiệm (ảnh 1)

Ta có $I_{1} I_{2} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 = R_{1} + R_{2} \Rightarrow (C_{1})$ và $(C_{2})$ tiếp xúc ngoài.

Do đó có duy nhất 1 điểm M thỏa mãn, tọa độ điểm M là nghiệm của hệ $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + 24 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 16 x + 12 y + 84 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{24}{5} \\ y = - \frac{18}{5} \end{cases} \Rightarrow M (\frac{24}{5}; - \frac{18}{5}) \Rightarrow z_{1} = \frac{24}{5} - \frac{18}{5} i$ là nghiệm của phương trình $z^{2} + b z + c = 0$

$\Rightarrow z_{2} = \frac{24}{5} + \frac{18}{5} i$ cũng là nghiệm của phương trình $z^{2} + b z + c = 0$

Áp dụng đinh lí Vi-ét ta có $z_{1} + z_{2} = - b = \frac{48}{5} \Rightarrow b = - \frac{48}{5}, z_{1} z_{2} = c = 36.$

Vậy $5 b + c = - 48 + 36 = - 12.$

Chọn B.

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng $d : \frac{x - 2}{- 3} = \frac{y}{2} = \frac{z - 4}{- 2}$ và $Δ : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2} .$ Biết rằng trong tất cả các mặt phẳng chứa $∆$ thì mặt phẳng $(P) : a x + b y + c z + 25 = 0$ tạo với d góc lớn nhất. Tính T = a + b + c.

A. T = 9

B. T = 5

C. T = -8

D. T = -7

Xem đáp án

Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng d (ảnh 1)

Gọi M là điểm bất kì thuộc $Δ .$

Gọi d' là đường thẳng qua M và song song với d. Khi đó ta có $∠ (d; (P)) = ∠ (d'; (P)) .$

Lấy $S \in d'$ bất kì, kẻ $S H ⊥ Δ, S K ⊥ (P) .$

$\Rightarrow K M$ là hình chiếu vuông góc của SM lên (P)

$\Rightarrow ∠ (d; (P)) = ∠ (d'; (P)) = (S M; K M) = ∠ S M K = α .$

Xét tam giác vuông SMK ta có $\sin α = \frac{S K}{S M} .$

Để $α$ nhỏ nhất thì $\sin α$ nhỏ nhất $\Rightarrow \frac{S K}{S M}$ nhỏ nhất.

Ta có $S M \geq S H \Rightarrow \frac{S K}{S M} \geq \frac{S H}{S M} \Rightarrow \sin α \geq \frac{S H}{S M} .$

Ta có $S, (P), Δ$ cố định $\Rightarrow S H, S K$ không đổi.

$\Rightarrow {(\sin α)}_{\min} = \frac{S H}{S M} \Leftrightarrow H \equiv M .$

Khi đó (P) chứa $Δ$ và vuông góc với mặt phẳng $(d'; Δ) .$

Lấy $M (1; 2; - 1) \in Δ$ , phương trình đường thẳng d' là $d' : \frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 2} .$

Gọi (R) là mặt phẳng chứa $d'; Δ \Rightarrow \vec{n_{R}} = [\vec{u_{d}}, \vec{u_{Δ}}] = (6; 0; - 9) = 3 (2; 0; - 3) .$

Ta có $\{\begin{cases} Δ \subset (P)' \\ (R) ⊥ (P) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \vec{n_{P}} ⊥ \vec{u_{Δ}} \\ \vec{n_{P}} ⊥ \vec{n_{R}} \end{cases} \Rightarrow \vec{n_{P}} = [\vec{u_{Δ}}, \vec{n_{R}}] = (- 3; 13; - 2) .$

$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $(P) : - 3 (x - 1) + 13 (y - 2) - 2 (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 13 y + 2 z + 25 = 0$

$\Rightarrow a = 3, b = - 13, c = 2.$

Vậy $T = a + b + c = 3 - 13 + 2 = - 8.$

Chọn C.