50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 17)

Câu 1:

Cho khối chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và SA = 2, tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 1. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. 1

Xem đáp án

Chọn C.

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC) và SA = 2, tam giác (ảnh 1)

Ta có:

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S A = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} .2 = \frac{1}{3} .

Câu 2:

Trong không gian Oxyz hình chiếu vuông góc của điểm M(2; -1; 1) trên trục Ox có tọa độ là

A. (0; -1; 0)

B. (0; 0; 1)

C. (0; -1; 1)

D. (2; 0; 0)

Xem đáp án

Chọn D.

Hình chiếu vuông góc của điểm M(2; -1; 1) trên trục Ox có tọa độ là (2; 0; 0)

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 3a, AC = 6a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

SA = a. Gọi M thuộc cạnh AB sao cho AM = 2MB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 3a, AC = 6a (ảnh 1)

A. $\frac{a}{2}$

B. $\frac{2 \sqrt{21}}{21} a$

C. $\frac{4 \sqrt{21}}{21} a$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 3a, AC = 6a (ảnh 2)

Gọi N thuộc cạnh AC sao cho $A N = 2 N C \Rightarrow M N / / B C \Rightarrow B C / / (S M N) .$

$\Rightarrow d (S M, B C) = d (B C, (S M N)) = d (B, (S M N)) = \frac{1}{2} d (A, (S M N)) = \frac{1}{2} h .$

Ta có: $\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{S A^{2}} = \frac{1}{16 a^{2}} + \frac{1}{4 a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{21}{16 a^{2}} \Rightarrow h = \frac{4 \sqrt{21}}{21} a .$

$\Rightarrow d (S M, B C) = \frac{2 \sqrt{21}}{21} a .$

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $M (1, 0, 0), N (0, - 2, 0), P (0, 0, 3) .$ Mặt phẳng (MNP) có phương trình là

A. $6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0.$

B. $6 x + 3 y + 2 z + 6 = 0.$

C. $6 x - 3 y + 2 z - 6 = 0.$

D. $- 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0.$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $\vec{M N} = (- 1; - 2; 0)$ và $\vec{M P} = (- 1; 0; 3) .$

Khi đó, $\vec{n_{(P)}} = [\vec{M N}, \vec{M P}] = (- 6; 3; - 2) .$

Vậy phương trình mặt phẳng (P) có phương trình là

$- 6 (x - 1) + 3 y - 2 z = 0 \Leftrightarrow 6 x - 3 y + 2 z - 6 = 0.$

Câu 5:

Xét tất cả các số thực dương a, b và c thỏa mãn $\log_{3} (a c) = \log_{9} (a b c) .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $b^{2} = a^{3} c^{3} .$

B. $b^{2} = a c .$

C. $b^{2} = a^{2} c^{2} .$

D. b = ac.

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có:

\log_{3} (a c) = \log_{9} (a b c) \Leftrightarrow {(a c)}^{2} = a b c \Leftrightarrow b = a c .

Câu 6:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = - 1; \int_{0}^{3} f (x) d x = 5.$ Tính $\int_{1}^{3} f (x) d x .$

A. 4

B. 5

C. 6

D. 1

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{3} f (x) d x = - 1 + 5 = 4.$

Câu 7:

Cho khối lập phương có thể tích bằng 125. Độ dài cạnh của khối lập phương đã cho bằng

A. 4

B. 10

C. 15

D. 5

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương đã cho.

Thể tích của hình lập phương là $V = a^{3} = 125 \Leftrightarrow a = 5.$

Vậy độ dài cạnh của khối lập phương đã cho là 5 (đvđd).

Câu 8:

Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị

y = \frac{3 x - 2}{x + 4}

là

A. $x = - 4; y = - \frac{1}{2}$

B. x = -4; y = 3

C. $x = - \frac{1}{2}; y = - 4$

D. x = 3; y = -4

Xem đáp án

Chọn B.

Tập xác định: $D = ℝ \ \{4\} .$

Ta có $\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 x - 2}{x + 4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{4}{x}} = 3$ suy ra đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Mà $\lim_{x \to - 4^{+}} y = \lim_{x \to - 4^{+}} \frac{3 x - 2}{x + 4} = + \infty$ suy ra đường thẳng x = -4 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 2}{x + 4}$ có một đường tiệm cận đứng x = -4 và một đường tiệm cận ngang y = 3.

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, có ba vectơ $\vec{a} = (- 1; 1; 0), \vec{b} = (1; 1; 0), \vec{c} = (1; 1; 1) .$ Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

A. $|\vec{c}| = \sqrt{3}$

B. $|\vec{a}| = \sqrt{2}$

C. $\vec{b} ⊥ \vec{c}$

D. $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\vec{b} . \vec{c} = 1.1 + 1.1 + 1.0 = 2 \neq 0$ suy ra $\vec{b} ⊥ \vec{c} .$ Vậy đáp án C sai.

Câu 10:

Tìm tập nghiệm T của bất phương trình ${(\frac{1}{7})}^{- x^{2} - x + 4} \leq 49.$

A. $T = (- \infty; - 3] \cup [2; + \infty) .$

B. T = (-2; 3)

C. T = [-3; 2]

D. T = [-2; 3]

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: ${(\frac{1}{7})}^{- x^{2} - x + 4} \leq 49 \Leftrightarrow 7^{x^{2} + x - 4} \leq 7^{2} \Leftrightarrow x^{2} + x - 4 \leq 2 \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 2.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = [-3; 2].

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và đường thẳng d có phương trình: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{2} .$ Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A vuông góc và cắt d.

A. $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1} .$

B. $Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 1} .$

C. $Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{1} .$

D. $Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 2}{1} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = - 1 + 2 t \end{cases}$ có véc tơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 1; 2)$

Gọi H là giao điểm của 2 đường thẳng $Δ$ và đường thẳng d.

$H \in d \Rightarrow H (1 + t; t; - 1 + 2 t); \vec{A H} = (t; t; 2 t + 3) .$

$A H ⊥ d \Rightarrow \vec{u_{A H}} . \vec{u_{d}} = 0 \Leftrightarrow t + t + 6 + 4 t = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow \vec{u_{A H}} = (1; 1; - 1) .$

Đường thẳng $Δ$ đi qua A và có véc tơ chỉ phương $\vec{u_{A H}}$ có phương trình là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 1} .$

Câu 12:

Cho số phức z thỏa mãn $\frac{\bar{z}}{z + i} = z - i .$ Môđun của số phức $w = z + 1 + z^{2}$ là

A. 9

B. 4

C.

\sqrt{13}

D. 1

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện: $z \neq - i$

Gọi $z = a + b i (a, b \in ℝ)$

Ta có: $\frac{\bar{z}}{z + i} = z - i \Leftrightarrow \bar{z} = z^{2} - i^{2} \Leftrightarrow \bar{z} = z^{2} + 1 \Leftrightarrow a - b i = a^{2} - b^{2} + 1 + 2 a b i \Rightarrow \{\begin{cases} a = a^{2} - b^{2} + 1 \\ - b = 2 a b \end{cases}$

$2 a b + b = 0 \Leftrightarrow b (2 a + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = 0 \\ a = - \frac{1}{2} \end{array} .$

+) $b = 0 \Rightarrow a = a^{2} + 1 \Leftrightarrow a^{2} - a + 1 = 0$ (vô nghiệm).

+) $a = - \frac{1}{2} \Rightarrow - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - b^{2} + 1 \Rightarrow b = \pm \frac{\sqrt{7}}{2} \Rightarrow z = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{7}}{2} i .$

$\Rightarrow w = 1 + z + z^{2} = \bar{z} + z = 2 a = - 1 \Rightarrow |w| = 1.$

Câu 13:

Một khu rừng có trữ lượng gỗ ${4.10}^{5}$ mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong khu rừng đó là 4% mỗi năm. Sau 5 năm khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?

A. ${4.10}^{5} (1 + 0, 04^{5}) (m^{3})$

B. ${4.10}^{5} .1, 04^{5} (m^{3})$

C. ${4.10}^{5} .1, 14^{5} (m^{3})$

D. ${4.10}^{5} + 0, 04^{5} (m^{3})$

Xem đáp án

Chọn B.

Áp dụng công thức lãi kép, ta có tổng khối lượng gỗ của khu rừng đó sau 5 năm là:

$T = {4.10}^{5} {(1 + 4 %)}^{5} = {4.10}^{5} .1, 04^{5} (m^{3}) .$

Câu 14:

Hàm số $y = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) + \sqrt{1 + x^{2}} .$ Mệnh đề nào sai:

A. Hàm số tăng trên khoảng $(- 1; + \infty)$ .

B. Hàm số có đạo hàm $y' = \frac{1 + x}{\sqrt{1 + x^{2}}} .$

C. Tập xác định của hàm số là

D = R .

D. Hàm số giảm trên khoảng

(- 1; + \infty) .

Xem đáp án

Chọn D.

ĐK: $x + \sqrt{1 + x^{2}} > 0.$

Ta thấy $1 + x^{2} > x^{2} (\forall x \in ℝ) \Rightarrow \sqrt{1 + x^{2}} > |x| (\forall x \in ℝ) \Rightarrow \sqrt{1 + x^{2}} + x > 0 (\forall x \in ℝ)$

TXĐ: $D = ℝ .$

Ta có:

$y' = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{\sqrt{1 + x^{2}} + x}{\sqrt{1 + x^{2}} (x + \sqrt{1 + x^{2}})} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{1 + x}{\sqrt{1 + x^{2}}} .$

Cho $y' = 0 \Rightarrow 1 + x = 0 \Leftrightarrow x = - 1.$

Bảng xét dấu:

Hàm số y = ln(x + căn bậc hai của 1 + x^2) + căn bậc hai của 1 + x^2 (ảnh 1)

Vậy hàm số tăng trên khoảng $(- 1; + \infty)$ và giảm trên khoảng $(- \infty; - 1) .$

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng

(P) : 2 x + 3 y + z - 1 = 0

có một vectơ pháp tuyến là

A. $\vec{n_{4}} = (2; 3; 1) .$

B. $\vec{n_{2}} = (- 1; 3; 2)$

C. $\vec{n_{1}} = (2; 3; - 1)$

D. $\vec{n_{3}} = (1; 3; 2) .$

Xem đáp án

Chọn A.

Câu 16:

Tập nghiệm của bất phương trình log x < -2 là

A. $(\frac{1}{100}; + \infty)$

B. $(- \infty; \frac{1}{100})$

C. $(0; \frac{1}{100})$

D. [0; 100]

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\log x < - 2 \Leftrightarrow 0 < x < 10^{- 2} \Leftrightarrow x \in (0; \frac{1}{100}) .$

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x < - 2$ là $S = (0; \frac{1}{100}) .$

Câu 17:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) nhận gốc tọa độ O làm tâm và đi qua điểm M(2; 0; 0) là

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn B.

Do mặt cầu (S) nhận gốc tọa độ O làm tâm và đi qua điểm M(2; 0; 0) nên (S) có bán kính là R = OM = 2.

Vậy $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4.$

Câu 18:

Môđun của số phức $z = 5 + 2 i - {(1 + i)}^{2}$ bằng

A. 7

B. 3

C. 2

D. 5

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $z = 5 + 2 i - {(1 + i)}^{2} = 5 + 2 i - (1 + 2 i + i^{2}) = 5.$

Vậy $|z| = 5.$

Câu 19:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f (x) = 6 x^{2} + \sin x$ là

A. $2 x^{3} - \cos x + C$

B. $6 x^{3} - \cos x + C$

C. $2 x^{3} + \cos x + C$

D. $6 x^{3} + \cos x + C$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có:

\int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} (6 x^{2} + \sin x) d x = 2 x^{3} - \cos x + C .

Câu 20:

Tính thể tích V của một cái cốc hình trụ có án kính đáy bằng 5cm và chiều cao bằng 10cm.

A. $V = \frac{250}{3} π c m^{3} .$

B. $V = 500 π c m^{3} .$

C. $V = 250 π c m^{3} .$

D. $V = \frac{500}{3} π c m^{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Theo bài ra, ta có: hình trụ có bán kính đáy r = 5cm, chiều cao h = 10cm.

Thể tích của khối trụ đã cho bằng: $V = π r^{2} h = π {.5}^{2} .10 = 250 π c m^{3} .$

Câu 21:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60⁰. Hình nón có đỉnh S đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có diện tích xung quanh là

A. $S = \frac{\sqrt{7} π a^{2}}{4}$

B. $S = 2 π a^{2}$

C. $S = π a^{2}$

D. $S = \frac{π a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a cạnh bên hợp với mặt (ảnh 1)

Gọi $O = A C \cap B D .$

Theo bài ra, S.ABCD là hình chóp đều nên $S O ⊥ (A B C D)$ và ABCD là hình vuông cạnh a.

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60^{0} .$ Tức là: $\hat{S C O} = 60^{0} .$

Xét tam giác SOC vuông tại O có: $S O = O C . \tan 60^{0} = \frac{a \sqrt{6}}{2} .$

Gọi I là trung điểm của CD. Xét tam giác SOI vuông tại O ta có:

$S I = \sqrt{S O^{2} + O I^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{6}}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{7}}{2} .$

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a cạnh bên hợp với mặt (ảnh 2)

Hình nón có đỉnh S đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD cạnh a có bán kính bằng $r = \frac{a}{2}$ và đường sinh $S I = \frac{a \sqrt{7}}{2} .$

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng: $S_{x q} = π r l = π . \frac{a}{2} . \frac{a \sqrt{7}}{2} = \frac{π a^{2} \sqrt{7}}{4} .$

Câu 22:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ và đường thẳng y = 3x + 11 có tung độ bằng:

A. 5

B. -2

C. 3

D. -6

Xem đáp án

Chọn A.

Xét phương trình hoành độ của hai đồ thị $\frac{2 x - 1}{x + 1} = 3 x + 11 (x \neq - 1)$

$\Leftrightarrow 2 x - 1 = (3 x + 11) (x + 1)$

$\Leftrightarrow x = - 2 \Rightarrow y = 5$

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ và đường thẳng y = 3x + 11 có tung độ bằng 5.

Câu 23:

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $\log_{5} (x^{2} - 3 x + 5) = 1$ là

A. 0

B. 1

C. 3

D. -3

Xem đáp án

Chọn A.

TXĐ: $D = ℝ .$

Ta có $\log_{5} (x^{2} - 3 x + 5) = 1 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 5 = 5$

$\Leftrightarrow x^{2} - 3 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array} .$

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là x = 0.

Câu 24:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên a. Biết f(2) = 2 và $\int_{0}^{1} x f (2 x) d x = 10,$ khi đó $\int_{0}^{2} x^{2} f' (x) d x$ bằng

A. 8

B. -72

C. -12

D. -32

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt $2 x = t \Rightarrow d x = \frac{d t}{2}$ suy ra ta có $\int_{0}^{1} x f (2 x) d x = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} t f (t) d t = 10 \Rightarrow \int_{0}^{2} t f (t) d t = 40.$

Hay $\int_{0}^{2} x f (x) d x = 40$

Xét $\int_{0}^{2} x^{2} f' (x) d x .$ Đặt $\{\begin{cases} u = x^{2} \\ d v = f' (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 x d x \\ v = f (x) \end{cases}$

$\Rightarrow \int_{0}^{2} x^{2} f' (x) d x = x^{2} f (x) |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} - 2 \int_{0}^{2} x f (x) d x = 4 f (2) - 2.40 = 8 - 80 = - 72.$

Câu 25:

Tìm tập xác định D của hàm số

y = {(x - 1)}^{- 3} .

A. $D = R \ \{1\}$

B. $D = (1; + \infty)$

C. $D = (- \infty; 1)$

D. D = $ℝ$

Xem đáp án

Chọn A.

Hàm số xác định khi $x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1.$ Nên $D = ℝ \ \{- 1\} .$

Câu 26:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

A. 2

B. 0

C. -2

D. 3

Xem đáp án

Chọn D.

Hàm số có đạo hàm đổi dấu từ “+” sang “-“ khi qua x = -2. Nên hàm số đạt cực đại tại x = -2 và giá trị cực của hàm số bằng y(-2) = 3.

Câu 27:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và $u_{2} = 14.$ Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. -8

B. 12

C. 5

D. 8

Xem đáp án

Chọn B.

Có d là công sai của cấp số cộng $(u_{n}) .$ Nên ta có $u_{2} = u_{1} + d \Leftrightarrow 14 = 2 + d \Rightarrow d = 12.$

Câu 28:

Thể tích khối cầu đường kính 2a bằng

A. $4 π a^{3} .$

B. $2 π a^{3} .$

C. $\frac{32 π a^{3}}{3} .$

D. $\frac{4 π a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu bán kính R = a ta có $V = \frac{4 π a^{3}}{3} .$

Câu 29:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 13 x + m$ cắt trục hoành tại ba điểm đều có hoành độ nguyên?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn D.

Để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 13 x + m$ cắt trục hoành tại ba điểm đều có hoành độ nguyên thì phương trình $x^{3} - 13 x + m = 0 (*)$ có 3 nghiệm đều nguyên

Ta có: $x^{3} - 13 x + m = 0 \Leftrightarrow - x^{3} + 13 x = m$

Xét hàm số $y = - x^{3} + 13 x$

Ta có $y' = - 3 x^{2} + 13, \forall x \in ℝ; y' = 0 \Leftrightarrow - 3 x^{2} + 13 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{39}}{3} \\ x = - \frac{\sqrt{39}}{3} \end{array}$

Bảng biến thiên:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số (ảnh 1)

Các giá trị m nguyên để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì

$\{\begin{cases} - \frac{26 \sqrt{39}}{9} < m < \frac{26 \sqrt{39}}{9} \\ m \in ℤ \end{cases} \Leftrightarrow m \in \{0; \pm 1; \pm; ...; \pm 18\} .$

Với các giá trị $m \in \{0; \pm 1; \pm 2; ...; \pm 18\}$ để phương trình (*) có 3 nghiệm đều có hoành độ nguyên chỉ có $m = \pm 12$ thỏa mãn.

Câu 30:

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có $A B = 3, A D = 4, A A' = 5.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. $5 \sqrt{2}$

B. 5

C. $\frac{5 \sqrt{2}}{2} .$

D. 50

Xem đáp án

Chọn C.

Mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có đường kính:

$2 R = A C' = \sqrt{A B^{2} + A D^{2} + {(A A')}^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 5^{2}} = 5 \sqrt{2} .$

Nên có bán kính $R = \frac{5 \sqrt{2}}{2} .$

Câu 31:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a vuông góc với đáy và $S A = a \sqrt{3} .$ Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng

A. $\arcsin \frac{3}{5} .$

B. $45^{0}$

C. $30^{0}$

D. $60^{0}$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a vuông góc (ảnh 1)

Hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD) là AD Do đó $\hat{(S D; (A B C D))} = \hat{(S D, A D)} = \hat{S D A} .$

Ta có: $\tan \hat{S D A} = \frac{S A}{A D} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S D A} = 60^{0} .$

Câu 32:

Một hình nón có thể tích bằng $\frac{4 π a^{3}}{3}$ và bán kính của đường tròn đáy bằng 2a. Khi đó, đường cao của hình nón là:

A. a

B. 2a

C. $\frac{a}{2}$

D. 3a

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có thể tích khối nón $V = \frac{1}{3} π r^{2} h \Rightarrow h = \frac{3 V}{π r^{2}} = \frac{3. \frac{4 π a^{3}}{3}}{π . {(2 a)}^{2}} = a .$

Câu 33:

Cho hình chóp S.ABC có $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A} = 60^{0}, S A = 3, S B = 4, S C = 5.$ Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB)

A. $5 \sqrt{2}$

B. $\frac{5 \sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{5 \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Chọn D.

Cho hình chóp S.ABC có góc ASB = góc BSC = góc CSA = 60 độ (ảnh 1)

+ Lấy hai điểm M, N lần lượt trên SB, SC sao cho $S A = S M = S N = 3.$ Khi đó ta có S.AMN là tứ diện đều cạnh 3. Do đó $V_{S . A M N} = \frac{{(3)}^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{9 \sqrt{2}}{4} .$

+ $\frac{V_{S . A B C}}{V_{S . A M N}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S B}{S M} . \frac{S C}{S N} = 1. \frac{4}{3} . \frac{5}{3} = \frac{20}{9} \Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{20}{9} . \frac{9 \sqrt{2}}{4} = 5 \sqrt{2} .$

+ $S_{S A B} = \frac{1}{2} . S A . S B . \sin 60^{0} = \frac{1}{2} .3.4. \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}$

+ Ta có $V_{S . A B C} = V_{C . S A B} = \frac{1}{3} . d (C, (S A B)) . S_{S A B} \Rightarrow d (C, (S A B)) = \frac{3. V_{S . A B C}}{S_{S A B}} = \frac{3.5 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{6}}{3} .$

Chú ý: Thể tích tứ diện đều $V = \frac{{(c ạ n h)}^{3} \sqrt{2}}{12} .$

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy $S A = a, S B = a \sqrt{3} .$ Tính thể tích khối chóp S.ABCD?

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{15}}{9}$

D. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{5}$

Xem đáp án

Chọn B.

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt bên (SAB) (ảnh 1)

Tam giác SAB có $S A^{2} + S B^{2} = A B^{2} \Rightarrow Δ S A B$ vuông tại S

Kẻ $S H ⊥ A B, (H \in A B) \Rightarrow S H = \frac{S A . S B}{A B} = \frac{\sqrt{3} a}{2}$

Ta có $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) \\ (S A B) \cap (A B C D) = A B \\ S H \subset (S A B), S H ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

ABCD là hình vuông cạnh $2 a \Rightarrow S_{A B C D} = 4 a^{2}$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3} .$

Câu 35:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = \frac{(m + 3) x - 2}{x + m}$ luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó?

A. $- 2 \leq m \leq - 1$

B. 0 < m < 1

C. -2 < m < 1

D. -2 < m < 0

Xem đáp án

Chọn C.

Tập xác định: $D = ℝ \ \{- m\} .$

Ta có $y' = \frac{m^{2} + 3 m + 2}{{(x + m)}^{2}}$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi y' < 0 với mọi $x \in ℝ \ \{- m\}$

$\Leftrightarrow m^{2} + 3 m + 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < - 1.$

Vậy $- 2 < m < - 1.$

Câu 36:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên đoạn [-1; 3] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tập hợp T tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) = m có 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-1; 3] là:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên đoạn [-1; 3] và có đồ thị là đường (ảnh 1)

A. T = [-3; 0]

B. T = (-4; 1)

C. T = [-4; 1]

D. T = (-3; 0)

Xem đáp án

Chọn D.

Số nghiệm của phương trình f(x) = m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m.

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên đoạn [-1; 3] và có đồ thị là đường (ảnh 2)

Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình f(x) = m có 3 nghiệm phân biệt trên [-1; 3] khi và chỉ khi -3 < m < 0.

Vậy T = (-3; 0).

Câu 37:

Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = x + \frac{9}{x}$ trên đoạn [1; 4]. Giá trị của m + M bằng

A. $\frac{65}{4}$

B. 16

C. $\frac{49}{4}$

D. 10

Xem đáp án

Chọn B.

Tập xác định $D = ℝ \ \{0\}$ suy ra $[1; 4] \subset D$

Ta có $y' = 1 - \frac{9}{x^{2}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{9}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \in [1; 4] \\ x = - 3 \notin [1; 4] \end{array}$

\Rightarrow \{\begin{cases} f (1) = 10 \\ f (3) = 6 \\ f (4) = \frac{25}{4} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} M = 10 \\ m = 6 \end{cases} \Rightarrow M + m = 16.

Câu 38:

Số nghiệm của phương trình $e^{\sin (x - \frac{π}{4})} = \tan x$ trên đoạn $[0; 2 π]$ là:

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Chọn B.

Điều kiện: $\cos x \neq 0.$

Ta có $e^{\sin (x - \frac{π}{4})} = \tan x$

$\Leftrightarrow e^{\frac{1}{\sqrt{2}} (\sin x - \cos x)} = \frac{\sin x}{\cos x}$

$\Leftrightarrow \frac{e^{\frac{\sin x}{\sqrt{2}}}}{\sin x} = \frac{e^{\frac{\cos x}{\sqrt{2}}}}{\cos x} (*)$

Vì $e^{\sin (x - \frac{π}{4})} > 0$ nên $\tan x > 0 \Rightarrow \{\begin{cases} \sin x > 0 \\ \cos x > 0 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} \sin x < 0 \\ \cos x < 0 \end{cases} .$

Xét hàm số $f (t) = \frac{e^{\frac{t}{\sqrt{2}}}}{t},$ có $f' (t) = \frac{e^{\frac{t}{2}} (t \sqrt{2} - 2)}{2 t^{2}} < 0, \forall t \in (- 1; 0) \cup (0; 1) .$

$(*) \Leftrightarrow f (\sin x) = f (\cos x) \Leftrightarrow \sin x = \cos x \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π, (k \in ℤ)$

Ta có $0 \leq x \leq 2 π \Leftrightarrow 0 \leq \frac{π}{4} + k π \leq 2 π \Rightarrow k = \{0; 1\} .$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Câu 39:

Cho $\int_{0}^{1} \frac{x d x}{{(2 x + 1)}^{2}} = a + b \ln 2 + c \ln 3$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a + b + c bằng

A. $\frac{1}{4} .$

B. $\frac{1}{12} .$

C. $- \frac{1}{3} .$

D. $\frac{5}{12} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt $t = 2 x + 1 \Rightarrow d x = \frac{d t}{2},$ đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 3 \end{cases} .$

$\int_{0}^{1} \frac{x d x}{{(2 x + 1)}^{2}} = \int_{1}^{3} \frac{(t - 1) d t}{4 t^{2}} = \frac{1}{4} \int_{1}^{3} (\frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2}}) d t = (\frac{1}{4} \ln |t| + \frac{1}{4 t}) |\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array} = \frac{1}{4} \ln 3 - \frac{1}{6}$

Vậy $a = - \frac{1}{6}, b = 0, c = \frac{1}{4} \Rightarrow a + b + c = \frac{1}{12} .$

Câu 40:

Cho đồ thị biểu thị vận tốc của hai chất điểm A và B xuất phát cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của chất điểm A là một đường Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của chất điểm B là một đường thẳng như hình vẽ sau.

Hỏi sau khi đi được 3 giây, khoảng cách giữa hai chất điểm là bao nhiêu mét?

A. 120m

B. 60m

C. 90m

D. 270m

Xem đáp án

Chọn C.

Từ đồ thị biểu diễn vận tốc của hai chất điểm A, B ta suy ra công thức tính vận tốc từng chất điểm tương ứng là $v_{A} = - 20 t^{2} + 80 t$ và $v_{B} = 20 t .$

Từ đồ thị ta thấy $v_{A} > v_{B}, \forall t \in (0; 3) .$ Vậy nên, sau khi đi được 3 giây, khoảng cách giữa hai chất điểm bằng: $s_{A} - s_{B} = \int_{0}^{3} (v_{A} - v_{B}) d t = \int_{0}^{3} (- 20 t^{2} + 60 t) d t = - \frac{20}{3} t^{3} + 30 t^{2} |\begin{array}{l} 3 \\ 0 \end{array} = 90 (m) .$

Câu 41:

Cho tập hợp A gồm 9 phần tử. Số tập con gồm có 4 phần tử của tập A là

A. $P_{4}$

B. $A_{9}^{4}$

C. $C_{9}^{4}$

D. 4 x 9

Xem đáp án

Chọn C.

Mỗi tập hợp con có 4 phần tử của tập hợp A là một tập chập 4 của 9. Vậy số tập hợp con cần tìm là $C_{9}^{4} .$

Câu 42:

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $f (x) = - x^{4} + 2 x^{2}$

B. $f (x) = x^{4} + 2 x^{2}$

C. $f (x) = - x^{4} + 2 x^{2} - 1$

D. $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

Nhìn vào đồ thị ta thấy $\lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty$ nên hệ số a < 0. Suy ra loại B và D.

Lại có đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) nên loại C. Vậy chọn A.

Câu 43:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn ${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)]$ với mọi x thuộc đoạn [0; 1] và f(1) = 2. Giá trị $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x$ bằng

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{11}{4}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{5}{3}$

Xem đáp án

Chọn C.

Cách 1:

Ta có

${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)] \Leftrightarrow {[f' (x)]}^{2} + 4 f (x) = 4 (2 x^{2} + 1)$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x + \int_{0}^{1} 4 f (x) d x = \int_{0}^{1} 4 (2 x^{2} + 1) d x \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x + 4 x f (x) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - 4 \int_{0}^{1} x f' (x) d x = \frac{20}{3}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x - 4 \int_{0}^{1} x f' (x) d x + 4 f (1) = \frac{20}{3}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x - 4 \int_{0}^{1} x f' (x) d x + 4 \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{20}{3} - 8 + 4 \int_{0}^{1} x^{2} d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x) - 2 x]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow f' (x) - 2 x = 0 \Rightarrow f (x) = x^{2} + C .$

$f (1) = 2 \Leftrightarrow C = 1 \Leftrightarrow f (x) = x^{2} + 1.$

Vậy $I = \int_{0}^{1} x f (x) d x = \frac{3}{4} .$

Cách 2:

Đặt $f (x) = a x^{2} + b x + c,$ ta có:

${[f' (x)]}^{2} = 4 [2 x^{2} + 1 - f (x)] \Leftrightarrow {(2 a x + b)}^{2} = 4 (2 x^{2} + 1 - a x^{2} - b x - c) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 a^{2} = 4 (2 - a) \\ 4 a b = - 4 b \\ b^{2} = 4 (1 - c) \end{cases} .$

Kết hợp với điều kiện $f (1) = 2 \Leftrightarrow a + b + c = 2$ ta có nghiệm $\{\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \end{cases} .$ Vậy $f (x) = x^{2} + 1.$

Câu 44:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = x^{2} + 3, y = 0, x = 1, x = 3.$ Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $V = π \int_{1}^{3} {(x^{2} + 3)}^{2} d x .$

B. $V = \int_{1}^{3} {(x^{2} + 3)}^{2} d x .$

C. $V = \int_{1}^{3} (x^{2} + 3) d x .$

D. $V = π \int_{1}^{3} (x^{2} + 3) d x .$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = f (x), y = 0, x = a, x = b .$ Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox. Ta có công thức tính:

$V = π \int_{a}^{b} {(f (x))}^{2} d x .$

Câu 45:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ , hàm số f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, hàm số f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới (ảnh 1)

Hàm số $g (x) = 3 f (x^{2} - 2) - \frac{3}{2} x^{4} - 3 x^{2} + 2$ đạt giá trị lớn nhất trên [-2;2] bằng

A. g(1)

B. g(-2)

C. g(0)

D. g(2)

Xem đáp án

Chọn C.

$g (x) = 3 f (x^{2} - 2) - \frac{3}{2} x^{4} - 3 x^{2} + 2 \Rightarrow g' (x) = 6 x (f' (x^{2} - 2) - x^{2} - 1) .$

Xét hàm số $f' (x^{2} - 2) - x^{2} - 1$

Đặt $x^{2} - 2 = t,$ điều kiện $t \in [- 2; 2]$ do $x \in [- 2; 2]$ ta có $h (t) = f' (t) - (t + 3) .$

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, hàm số f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới (ảnh 2)

Trên cùng một hệ trục tọa độ ta thấy $f' (t) < t + 3, \forall t \in [- 2; 2]$ suy ra $h (t) < 0, \forall t \in [- 2; 2]$ suy ra $f' (x^{2} - 2) - x^{2} - 1 < 0, \forall x \in [- 2; 2] .$ Ta có bảng sau

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, hàm số f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới (ảnh 3)

Từ bảng ta có $\max \underset{[- 2; 2]}{g (x)} = g (0) .$

Câu 46:

Cho hàm số

y = m x^{4} + (m^{2} - 9) x^{2} + 10.

Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị

A. $[\begin{array}{l} m < 0 \\ 1 < m < 3 \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} m < 3 \\ - 1 < m < 0 \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} m < - 1 \\ 0 < m < 2 \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} m < - 3 \\ 0 < m < 3 \end{array}$

Xem đáp án

Chọn D.

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow m (m^{2} - 9) < 0 \Leftrightarrow m^{3} - 9 m < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 3 \\ 0 < m < 3 \end{array} .$

Câu 47:

Cho a là số thực dương tùy ý. Giá trị của biểu thức

P = a^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}

bằng

A. $a^{\frac{1}{6}} .$

B. $a^{\frac{5}{6}} .$

C. $a^{\frac{2}{3}}$

D. $a^{\frac{2}{5}}$

Xem đáp án

Chọn B.

$P = a^{\frac{1}{3}} \sqrt{a} = a^{\frac{1}{3}} . a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{6}} .$

Câu 48:

Gọi $z_{1}; z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} + 4 z + 7 = 0.$ Tính ${|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} ?$

A. 14

B. 10

C. 21

D. 7

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $z^{2} + 4 z + 7 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = - 2 + \sqrt{3} i = z_{1} \\ z = - 2 - \sqrt{3} i = z_{2} \end{array} .$

Do đó ${|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} = {|- 2 + \sqrt{3} i|}^{2} + {|- 2 - \sqrt{3} i|}^{2} = {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{2} = 14.$

Câu 49:

Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a thì có diện tích toàn phần bằng

A. $2 π a^{2}$

B. $π a^{2}$

C. $4 π a^{2}$

D. $\frac{3}{2} π a^{2} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi l, r lần lượt là độ dai đường sinh và bán kính đáy của hình trụ.

Vì hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh $a \Rightarrow \{\begin{cases} l = a \\ r = \frac{a}{2} \end{cases} .$

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là: $S_{t p} = 2 π r l + 2 π r^{2} = 2 π . \frac{a}{2} . a + 2 π . {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{3}{2} π a^{2} .$

Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a thì có diện tích (ảnh 1)

Câu 50:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 2 m + 1$ (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho $\max_{[1; 3]} |f (x)| + \min_{[1; 3]} |f (x)| \geq 10.$ Số các giá trị nguyên của S trong đoạn [-30; 30) là

A. 61

B. 56

C. 57

D. 55

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $f' = 3 x^{2} + 6 x > 0 \forall x \in [1; 3]$ nên hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [1; 3] tức là f(1) < f(3).

Lại có $f (1) = 5 - 2 m, f (3) = 55 - 2 m .$ Ta xét các trường hợp:

+) Trường hợp 1: $f (3) \leq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{55}{2} .$

Khi đó $\min_{[1; 3]} |f (x)| = |f (3)| = 2 m - 55$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $2 m - 5 + 55 - 2 m \geq 10 \Leftrightarrow m \geq \frac{35}{2} .$

Kết hợp $m \geq \frac{55}{2}$ có $m \geq \frac{55}{2} (1)$

+) Trường hợp 2: $f (1) < 0 < f (3) \Leftrightarrow 5 - 2 m < 0 < 55 - 2 m \Leftrightarrow \frac{5}{2} < m < \frac{55}{2} .$

Khi đó $\min_{[1; 3]} |f (x)| = 0.$

Nếu $|f (1)| < f (3) \Leftrightarrow 2 m - 5 < 55 - 2 m \Leftrightarrow m < 15$ thì $\max_{[1; 3]} |f (x)| = f (3) = 55 - 2 m$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $55 - 2 m \geq 10 \Leftrightarrow m \leq \frac{45}{2} .$ Kết hợp m < 15 suy ra m < 15 (*)

Nếu $|f (1)| \geq f (3) \Leftrightarrow 2 m - 5 \geq 55 - 2 m \Leftrightarrow m \geq 15$ thì $\max_{[1; 3]} |f (x)| = |f (1)| = 2 m - 5$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $2 m - 5 \geq 10 \Leftrightarrow m \geq \frac{15}{2} .$ Kết hợp $m \geq 15$ suy ra $m \geq 15$ (**)

Kết hợp (*) và (**) với $\frac{5}{2} < m < \frac{55}{2}$ có $\frac{5}{2} < m < \frac{55}{2} (2)$

+) Trường hợp 3: $f (1) \geq 0 \Leftrightarrow 5 - 2 m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{5}{2} .$

Khi đó $\max_{[1; 3]} |f (x)| = f (3) = 55 - 2 m$ và $\min_{[1; 3]} |f (x)| = f (1) = 5 - 2 m$ nên từ yêu cầu bài toán suy ra $55 - 2 m + 5 - 2 m \geq 10 \Leftrightarrow m \leq \frac{25}{2} .$

Kết hợp $m \leq \frac{5}{2}$ có $m \leq \frac{5}{2}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra tập $S = ℝ .$

Vậy số các giá trị nguyên của S trong đoạn [-30; 30] là 61.