50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 24)

Câu 1:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 5$ trên đoạn [-1; 2] là:

A. 2

B. 3

C. 1

D. 5

Ta có $y = x^{4} - 4 x^{2} + 5 \Rightarrow y' = 4 x^{3} - 8 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \in [- 1; 2] \\ x = \sqrt{2} \in [- 1; 2] \\ x = - \sqrt{2} \notin [- 1; 2] \end{array}$

Có $y (- 1) = 2, y (2) = 5, y (\sqrt{5}) = 1.$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng [-1; 2] là 5.

Chọn D.

Câu 2:

Đồ thị ở hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào?

A. $\frac{x - 1}{x + 1}$

B. $\frac{x + 1}{x - 1}$

C. $\frac{x}{x - 1}$

D. $\frac{2 x - 3}{2 x - 2}$

Xem đáp án

Từ đồ thị ta thấy đồ thị có TCN y = 1, TCĐ x = 1 nên loại đáp án A.

Đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1) nên loại đáp án C và D.

Chọn B.

Câu 3:

Biết hàm số y = 4sinx - 3 cosx + 2 đạt giá trị lớn nhất là M, giá trị nhỏ nhất là m. Tổng M + m là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Ta có $- 5 \leq \sin x - 3 \cos x \leq 5$ nên $- 3 \leq 4 \sin x - 3 \cos x + 2 \leq 7 \Rightarrow - 3 \leq y \leq 7.$

$\Rightarrow M = 7, m = - 3.$

Vậy $M + m = 7 + (- 3) = 4.$

Chọn D.

Câu 4:

Hàm số $y = 2^{x^{2} + 3 x}$ có đạo hàm là

A. $(x^{2} + 3 x) {.2}^{x^{2} + 3 x - 1}$

B. $(2 x + 3) {.2}^{x^{2} + 3 x} . \ln 2$

C. $2^{x^{2} + 3 x} . \ln 2$

D. $2^{x^{2} + 3 x}$

Xem đáp án

$(2^{x^{2} + 3 x})' = (2 x + 3) {.2}^{x^{2} + 3 x} . \ln 2.$

Chọn B.

Câu 5:

Cho $α$ là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ trong không gian. Khẳng định nào đúng?

A.

α

phải là một góc nhọn.

B.

α

không thể là một góc tù.

C.

α

phải là một góc vuông.

D.

α

có thể là một góc tù.

Xem đáp án

Góc giữa hai vecto trong không gian là một góc có giá trị từ 0 đế 180 độ.

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(-1; 2; 1). Tìm tọa độ của điểm A' đối xứng với điểm A qua điểm B?

A. A'(3; 4; -3)

B. A'(-4; 3; 1)

C. A'(1; 3; 2)

D. A'(5; 0; 1)

Xem đáp án

Vì A' là điểm đối xứng của A qua B thì B là trung điểm của AA'.

Khi đó ta có $\{\begin{cases} x_{A'} = 2 x_{B} - x_{A} = 2. (- 1) - 2 = - 4 \\ y_{A'} = 2 y_{B} - y_{A} = 2.2 - 1 = 3 \\ z_{A'} = 2 z_{B} - z_{A} = 2.1 - 1 = 1 \end{cases} \Rightarrow A' (- 4; 3; 1) .$

Chọn B.

Câu 7:

Nếu $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{1}{x} + \ln |2 x| + C$ thì hàm số f(x) là

A. $f (x) = \frac{- 1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

B. $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + \ln (2 x)$

C. $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{2 x}$

D. $f (x) = \frac{- 1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x}$

Xem đáp án

Ta có: $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{1}{x} + \ln |2 x| + C \Rightarrow f (x) = {(\int_{}^{} f (x) d x)}^{'} = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x} .$

Chọn D.

Câu 8:

Cho hàm số

y = \frac{a x - b}{x - 1}

có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Cho hàm số y = ax - b/x - 1 có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định (ảnh 1)

A. b < a < 0

B. 0 < a < b

C. 0 < b < a

D. b < a < 0

Xem đáp án

Từ đồ thị ta thấy đồ thị có TCN $y = 1 \Rightarrow \frac{a}{1} = - 1 \Leftrightarrow a = - 1.$

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; -2) nên $\frac{- b}{- 1} = - 2 \Leftrightarrow b = - 2.$

Vậy b < a < 0.

Chọn A.

Câu 9:

Cho miền hình chữ nhật ABCD quay xung quanh trục AB ta được

A. khối nón tròn xoay.

B. hình trụ tròn xoay.

C. khối trụ tròn xoay.

D. khối tròn xoay ghép bởi hai khối nón tròn xoay.

Xem đáp án

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB ta được khối trụ tròn xoay.

Chọn C.

Câu 10:

Tập nghiệm S của bất phương trình $\log_{2} (x - 1) < 3$ là

A. S = (1; 9)

B. S = (1; 10)

C. $S = (- \infty; 10)$

D. $S = (- \infty; 9)$

Xem đáp án

Ta có: $\log_{2} (x - 1) < 3 \Leftrightarrow 0 < x - 1 < 2^{3} \Leftrightarrow 1 < x < 9.$

Chọn A.

Câu 11:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\int_{}^{} e^{2 x} d x = 2 e^{2 x} + C$

B. $\int_{}^{} 2^{x} d x = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$

C. $\int_{}^{} \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + C .$

D. $\int_{}^{} \frac{1}{x + 1} d x = \ln |x + 1| + C (x \neq - 1)$

Xem đáp án

Ta thấy $\int_{}^{} e^{2 x} d x = \frac{e^{2 x}}{2} + C$ nên đáp án A sai.

Chọn A.

Câu 12:

Số các hạng tử trong khai triển nhị thức ${(2 x - 3)}^{4}$ là:

A. 1

B. 4

C. 5

D. 3

Xem đáp án

Số các hạng tử trong khai triển ${(2 x - 3)}^{4}$ là 4 + 1 = 5.

Chọn C.

Câu 13:

Hình tứ diện đều có bao nhiêu cạnh?

A. 4

B. 6

C. 8

D. 3

Xem đáp án

Tứ diện đều có 6 cạnh.

Chọn B.

Câu 14:

Cho x, y là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. ${(x y)}^{n} = x^{n} . y^{n}$

B. ${(x^{n})}^{m} = {(x^{m})}^{n}$

C. $x^{m} . x^{n} = x^{m + n}$

D. $x^{m^{3}} = {(x^{m})}^{3}$

Xem đáp án

Ta thấy $x^{m^{3}} \neq {(x^{m})}^{3}$ nên đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 15:

Cho x, y là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. ${(x y)}^{n} = x^{n} . y^{n}$

B. ${(x^{n})}^{m} = {(x^{m})}^{n}$

C. $x^{m} . x^{n} = x^{m + n}$

D. $x^{m^{3}} = {(x^{m})}^{3}$

Xem đáp án

Ta thấy $x^{m^{3}} \neq {(x^{m})}^{3}$ nên đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 16:

Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị của hàm số f'(x) là đường cong như hình vẽ bên dưới. Hỏi khẳng định nào đúng?

Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị của hàm số f'(x) (ảnh 1)

A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 3) .$

B. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (-3; -2).

C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-2; 0).

D. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng

(0; + \infty)

.

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số f'(x) ta có: $\{\begin{cases} f' (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- 3; - 2) \\ f' (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - 3) \cup (- 2; 0) \cup (0; + \infty) \end{cases}$

$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên (-3; -2)

Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 3), (- 2; 0)$ và $(0; + \infty)$ .

Dựa vào các đáp án chỉ có đáp án D đúng.

Chọn D.

Câu 17:

Một khối cầu có đường kính 4cm thì diện tích bằng

A.

\frac{256 π}{3} (c m^{3})

B.

64 π (c m^{2})

C.

16 π (c m^{2})

D.

\frac{32 π}{3} (c m^{3})

Xem đáp án

Mặt cầu đã cho có bán kính R = 4cm nên diện tích mặt cầu là $S = 4 π R^{2} = 16 π .$

Chọn C.

Câu 18:

Số nghiệm của phương trình $\log_{2} {(x - 1)}^{2} = 2$ là

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

ĐKXĐ: ${(x - 1)}^{2} > 0 \Leftrightarrow x \neq 1.$

$\log_{2} {(x - 1)}^{2} = 2 \Rightarrow {(x - 1)}^{2} = 4$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} x - 1 = 2 \\ x - 1 = - 2 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = - 1 \end{array} (t m)$

Vậy số nghiệm của phương trình là 2.

Chọn B.

Câu 19:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh AB = a và SA = 2a. Tính tan của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

A. $\sqrt{5}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\sqrt{7}$

Xem đáp án

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh AB = a và SA = 2a. Tính tan (ảnh 1)

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$ .

$\Rightarrow O A$ là hình chiếu vuông góc của SA lên $(A B C D) \Rightarrow ∠ (S A; (A B C D)) = ∠ (S A; O A) = ∠ S A O .$

Vì ABCD là hình vuông cạnh AB = a nên $A C = a \sqrt{2} \Rightarrow A O = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Áp dụng định lí Pytago ta có: $S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{14}}{2} .$

Xét tam giác vuông SOA có: $\tan ∠ S A O = \frac{S O}{A O} = \frac{\frac{a \sqrt{14}}{2}}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} = \sqrt{7}$ .

Chọn D.

Câu 20:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(0; + \infty)$

B. (-1; 0)

C. (-2; 0)

D. $(- 2; + \infty)$

Xem đáp án

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng là $(- 1; 0), (1; + \infty)$ .

Chọn B.

Câu 21:

Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số

y = \frac{1}{2} x^{4} - x^{2} - 1.

Diện tích

Δ A B C

bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. 1

C. 2

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Ta có $y = \frac{1}{4} x^{4} - x^{2} - 1 \Rightarrow y' = 2 x^{3} - 2 x .$

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 2 x (x^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = - 1 \\ x = 1 \Rightarrow y = - \frac{3}{2} \\ x = - 1 \Rightarrow y = - \frac{3}{2} \end{array} .$

Do đó hàm số đã cho có các điểm cực trị là $A (0; - 1), B (1; - \frac{3}{2}), C (- 1; - \frac{3}{2}) .$

Tam giác ABC có 2 điểm B và Cđối xứng nhau qua trục $O y, A \in O y$ nên $Δ A B C$ cân tại A

Ta có I là trung điểm của BC nên $A I ⊥ B C$ và $I (0; - \frac{3}{2}) .$

Ta có: $A I = \sqrt{{(- \frac{3}{2} + 1)}^{2}} = \frac{1}{2}, B C = 2.$

Vậy $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} A I . B C = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} .2 = \frac{1}{2} .$

Chọn A.

Câu 22:

Số điểm cực trị của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 5$ là:

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Ta có $y = x^{3} - 3 x^{2} + 5 \Rightarrow y' = 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} .$

Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

Chọn D.

Câu 23:

Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B = 6 và chiều cao h = 5 là

A. V = 11

B. V = 10

C. V = 30

D. V = 15

Xem đáp án

Ta có $V = B h = 6.5 = 30.$

Chọn C.

Câu 24:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = \frac{x + 1}{2 x + 1}

là

A. $x = \frac{- 1}{2}$

B. $y = \frac{1}{2}$

C. x = -1

D. y = 2

Xem đáp án

Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ có TCN $y = \frac{1}{2} .$

Chọn B.

Câu 25:

Đồ thị hàm số

y = a^{x}; y = \log_{b} x

được cho bởi hình vẽ bên

A. $0 < a < 1 < b$

B. $0 < a < 1$ và $0 < b < 1$

C. $0 < b < 1 < a$

D. a > 1 và b > 1

Xem đáp án

Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ đồng biến trên $ℝ$ nên a > 1.

Đồ thị hàm số $y = \log_{b} x$ nghịch biến trên $(0; + \infty)$ nên 0 < b < 1

Vậy 0 < b < 1 < a.

Chọn C.

Câu 26:

Số nghiệm của phương trình $\ln (x + 1) + \ln (x + 3) = \ln (9 - x)$ là

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Xem đáp án

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \\ 9 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 1 < x < 9.$

Ta có

$\ln (x + 1) + \ln (x + 3) = \ln (9 - x)$

$\Leftrightarrow \ln [(x + 1) (x + 3)] = \ln (9 - x)$

$\Leftrightarrow (x + 1) (x + 3) = 9 - x$

$\Leftrightarrow x^{2} + 4 x + 3 = 9 - x$

$\Leftrightarrow x^{2} + 5 x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 6 (k t m) \\ x = 1 (t m) \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Chọn D.

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; - 1; 2)$ và $\vec{b} = (2; 1; - 1)$ . Tính $\vec{a} . \vec{b} .$

A. $\vec{a} . \vec{b} = 1$

B. $\vec{a} . \vec{b} = (2; - 1; - 2)$

C. $\vec{a} . \vec{b} = (- 1; 5; 3)$

D. $\vec{a} . \vec{b} = - 1$

Xem đáp án

$\vec{a} . \vec{b} = 1.2 + (- 1) .1 + 2. (- 1) = - 1.$

Chọn D.

Câu 28:

Cho hàm số

f (x) = 3 \sqrt{2 + \sin x} .

Tìm họ nguyên hàm của

\int_{}^{} f' (3 x) d x .

A. $\int_{}^{} f' (3 x) d x = 9 \sqrt{2 + \sin 3 x} + C$

B. $\int_{}^{} f' (3 x) d x = \sqrt{2 + \cos 3 x} + C$

C. $\int_{}^{} f' (3 x) d x = \sqrt{2 + \sin 3 x} + C$

D. $\int_{}^{} f' (3 x) d x = 3 \sqrt{2 + \sin 3 x} + C$

Xem đáp án

Ta có $\int_{}^{} f' (3 x) d x = \frac{1}{3} \int_{}^{} f' (3 x) d (3 x) = \frac{f (3 x)}{3} + C$

Mà $f (x) = 3 \sqrt{2 + \sin x} \Rightarrow f (3 x) = 3 \sqrt{2 + \sin 3 x}$

Vậy $\int_{}^{} f' (3 x) d x = \sqrt{2 + \sin 3 x} + C .$

Chọn C.

Câu 29:

Nghiệm phương trình $3^{1 - 2 x} = 27$ là

A. x = 3

B. x = -1

C. x = 2

D. x = 1

Xem đáp án

$3^{1 - 2 x} = 27 = 3^{3} \Leftrightarrow 1 - 2 x = 3 \Leftrightarrow x = - 1.$

Chọn B.

Câu 30:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều và AA' = AB = a. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

A. $\frac{a^{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $a^{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Xem đáp án

Tam giác ABC đều cạnh a nên $S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .$

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V = S_{A B C} . A' A = a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

Chọn B.

Câu 31:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 3; u_{5} = 19.$ Công sai của cấp số cộng $(u_{n})$ bằng

A. 5

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Ta có $u_{5} = u_{1} + 4 d \Rightarrow 19 = 3 + 4 d \Leftrightarrow d = 4.$

Chọn C.

Câu 32:

Một lớp có 25 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Số cách chọn 3 em học sinh trong đó có nhiều nhất 1 em nữ là:

A. 6545

B. 5300

C. 3425

D. 1245

Xem đáp án

Số cách chọn 3 em nam là $C_{25}^{3}$

Số cách chọn 2 nam và 1 nữ là $C_{25}^{2} . C_{10}^{1} .$

Số cách chọn 3 em và trong đó có nhiều nhất 1 em nữ là $C_{25}^{3} + C_{25}^{2} . C_{10}^{1} = 5300.$

Chọn B.

Câu 33:

Tính $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3}}{2 x - 1} .$

A. -1

B. 0

C. - $\infty$

D. $- \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

$\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x + 3} - x}{2 x - 1} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}} - 1}{2 - \frac{1}{x}} = \frac{- 2}{2} = - 1$

Chọn A.

Câu 34:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{\sqrt{x + 2}} = 2^{- x}$ là

A. (1; 2]

B. $[2; + \infty)$

C. $[- 2; - 1) \cup (2; + \infty)$

D. $(2; + \infty)$

Xem đáp án

ĐKXĐ: $x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 2.$

Ta có:

${(\frac{1}{2})}^{\sqrt{x + 2}} > 2^{- x} \Leftrightarrow 2^{- \sqrt{x + 2}} > 2^{- x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x + 2} < x \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x + 2 < x^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x^{2} - x - 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < - 1 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow x > 2$

Kết hợp ĐKXĐ ta có tập nghiệm của bất phương trình là $(2; + \infty)$ .

Chọn D.

Câu 35:

Cho hình nón có chiều cao h = 2, bán kính đáy là $r = \sqrt{3} .$ Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

A. $2 π$

B. $7 \sqrt{3} π .$

C. $\sqrt{21} π$

D. $2 \sqrt{21} π$

Xem đáp án

Đường sinh của hình nón là $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = \sqrt{7} .$

Diện tích xung quanh hình nón là $S_{x q} = π r l = \sqrt{21} π .$

Chọn C.

Câu 36:

Cho f(x) là hàm bậc 4 và có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Đồ thị hàm số $g (x) = \frac{x - 2}{f^{2} (x) + 3 f (x) - 4}$ có mấy đường tiệm cận đứng

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Xét phương trình $f^{2} (x) + 3 f (x) - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = - 4 \\ f (x) = 1 \end{array} .$

Dựa vào BBT ta thấy:

Phương trình f(x) = -4 có 2 nghiệm phân biệt khác $\pm \sqrt{2} .$

Phương trình f(x) = 1 có 2 nghiệm kép bằng $\pm \sqrt{2} .$

Suy ra phương trình $f^{2} (x) + 2 f (x) - 4 = 0$ có 4 nghiệm phân biệt không bị triệt tiêu bởi nghiệm $x = \pm \sqrt{2} .$

Vậy đồ thị hàm số $g (x) = \frac{x^{2} - 2}{f^{2} (x) + 3 f (x) - 4} = \frac{1}{(x^{2} - 2) . [f (x) + 4]}$ có 4 đường tiệm cận đứng.

Chọn B.

Câu 37:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (với |m| < 2021) để phương trình $2^{x - 1} = \log_{4} (x + 2 m) + m$ có nghiệm?

A. 2020

B. 4041

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Ta có

$2^{x - 1} = \log_{4} (x + 2 m) + m$

$\Leftrightarrow 2^{x - 1} = \frac{1}{2} \log_{2} (x + 2 m) + m$

$\Leftrightarrow 2^{x} = \log_{2} (x + 2 m) + 2 m$

$\Leftrightarrow 2^{x} + x = \log_{2} (x + 2 m) + x + 2 m$

$\Leftrightarrow 2^{x} + x = 2^{\log_{2} (x + 2 m)} + \log_{2} (x + 2 m)$

Xét hàm số $f (x) = 2^{x} + x$ ta có $f' (x) = 2^{x} \ln 2 + 1 > 0 \forall x \in ℝ$

Khi đó ta có $f (x) = f (\log_{2} (x + 2 m)) \Leftrightarrow x = \log_{2} (x + 2 m) \Rightarrow 2 m = 2^{x} - x .$

Đặt $g (x) = 2^{x} - x$ ta có: $g' (x) = 2^{x} \ln 2 - 1.$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow 2^{x} = \frac{1}{\ln 2} = {(\ln 2)}^{- x} \Leftrightarrow x = \log_{2} {(\ln 2)}^{- 1} = - \log_{2} (\ln 2) = x_{0} .$

BBT:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (với |m| < 2021) để phương trình (ảnh 1)

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm khi $2 m \geq g (- \log_{2} (\ln 2)) \Leftrightarrow 2 m \geq - 0, 91 \Leftrightarrow m \geq 0, 455.$

Kết hợp với điều kiện đề bài ta có $\{\begin{cases} 1 \leq m < 2021 \\ m \in ℤ \end{cases}$

Vậy có 2021 giá trị m thỏa mãn.

Chọn A.

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết $|\vec{u}| = 2, |\vec{v}| = 1$ và góc giữa 2 vecto $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng $\frac{2 π}{3} .$ Tìm k để vecto $\vec{p} = k \vec{u} + \vec{v}$ vuông góc với vecto $\vec{q} = \vec{u} - \vec{v} .$

A. $k = - \frac{2}{5}$

B. $k = \frac{2}{5}$

C. $k = \frac{5}{2}$

D. k = 2

Xem đáp án

Ta có $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 2.1. \cos \frac{2 π}{3} = - 1$

Ta có: $\vec{p} = k \vec{u} + \vec{v}$ vuông góc với $\vec{q} = \vec{u} - \vec{v}$ khi

$\vec{p} . \vec{q} = 0$

$\Leftrightarrow (k \vec{u} + \vec{v}) (\vec{u} - \vec{v}) = 0$

$\Leftrightarrow k {\vec{u}}^{2} + (1 - k) . \vec{u} . \vec{v} - {\vec{v}}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow 4 k - (1 - k) - 1 = 0$

$\Leftrightarrow k = \frac{2}{5}$

Chọn B.

Câu 39:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng $60^{0} .$ Tính thể tích V của khối lăng trụ đó.

A. $V = 2 \sqrt{3} a^{3}$

B. $V = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

C. $V = \frac{2 \sqrt{6} a^{3}}{3}$

D. $V = 2 \sqrt{6} a^{3}$

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa (ảnh 1)

Đặt AA' = x > 0 ta có:

$\vec{A B'} . \vec{B C'} = (\vec{B B'} - \vec{B A}) (\vec{B C} + \vec{B B'})$

$= \vec{B B'} . \vec{B C} + {\vec{B B'}}^{2} - \vec{B A} . \vec{B C} - \vec{B A} . \vec{B B'}$

$= \vec{B B'} . (\vec{B C} - \vec{B A}) + {\vec{B B'}}^{2} - \vec{B A} . \vec{B C}$

$= \vec{B B'} . \vec{A C} + {\vec{B B'}}^{2} - \vec{B A} . \vec{B C}$

$= {\vec{B B'}}^{2} - \vec{B A} . \vec{B C}$ (do $B B' ⊥ A C$ )

$= x^{2} - B A . B C . \cos 60^{0} + B B'^{2}$

$= x^{2} - 2 a^{2}$

Ta có: $A B' = B C' = \sqrt{x^{2} + 4 a^{2}}$ (định lí Pytago)

$\Rightarrow \vec{A B'} . \vec{B C'} = A B' . B C' . \cos (\vec{A B'}; \vec{B C'}) = \frac{1}{2} (x^{2} + 4 a^{2})$

$\Rightarrow \frac{1}{2} (x^{2} + 4 a^{2}) = x^{2} - 2 a^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} + 4 a^{2} = 2 x^{2} - 4 a^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} = 8 a^{2} \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{2} a$

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V_{A B C . A' B' C'} = A A' . S_{Δ A B C} = 2 \sqrt{2} a . \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = 2 \sqrt{6} a^{3} .$

Chọn D.

Câu 40:

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $y = 2^{x^{3} - x^{2} + m x + 1}$ đồng biến trên khoảng (1; 2)?

A. $m \geq - 1$

B. m < -1

C. m > -8

D. $m \leq - 8$

Xem đáp án

Ta có $y = 2^{x^{3} - x^{2} + m x + 1} \Rightarrow y' = (3 x^{2} - 2 x + m) {.2}^{x^{3} - x^{2} + m x + 1}$

Để hàm số đồng biến trên (1; 2) thì $y' = (3 x^{2} - 2 x + m) {.2}^{x^{3} - x^{2} + m x + 1} \geq 0 \forall x \in (1; 2)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

$\Leftrightarrow 3 x^{2} - 2 x + m \geq 0 \forall x \in (1; 2)$ (do $2^{x^{3} - x^{2} + m x - 1} > 0 \forall x$ )

$\Leftrightarrow m \geq - 3 x^{2} + 2 x, \forall x \in (1; 2)$

$\Leftrightarrow m \geq \max_{[1; 2]} f (x)$ với $f (x) = - 3 x^{2} + 2 x (*) .$

Xét hàm số $f (x) = - 3 x^{2} + 2 x$ ta có: $f' (x) = - 6 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \notin [1; 2] .$

Bảng biến thiên:

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2^x^3 - x^2 + mx + 1 (ảnh 1)

Dựa vào BBT ta thấy $m \geq f (1) = - 1.$

Chọn A.

Câu 41:

Xét bất phương trình

\log_{2}^{2} 2 x - 2 (m + 1) \log_{2} x - 2 < 0.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng

(\sqrt{2}; + \infty)

.

A. $m \in (0; + \infty)$

B. $m \in (- \frac{3}{4}; 0)$

C. $m \in (- \frac{3}{4}; + \infty)$

D. $m \in (- \infty; 0)$

Xem đáp án

Ta có

$\log_{2}^{2} 2 x - 2 (m + 1) \log_{2} x - 2 < 0$

$\Leftrightarrow {(1 + \log_{2} x)}^{2} - 2 (m + 1) \log_{2} x - 2 < 0$

$\Leftrightarrow \log_{2}^{2} x + 2 \log_{2} x + 1 - 2 (m + 1) \log_{2} x - 2 < 0$

$\Leftrightarrow \log_{2}^{2} x - 2 m \log_{2} x - 1 < 0$

Đặt $t = \log_{2} x,$ phương trình đã cho trở thành: $t^{2} - 2 m t - 1 < 0 (*) .$

Ta có $Δ' = m^{2} + 1 > 0 \forall m$ nên tập nghiệm của bất phương trình (*) là: $t \in (m - \sqrt{m^{2} + 1}; m + \sqrt{m^{2} + 1})$

Vì phương trình ban đầu phải có nghiệm thuộc khoảng $x \in (\sqrt{2}; + \infty) \Rightarrow t \in (\frac{1}{2}; + \infty)$ nên phương trình (*) phải có nghiệm $t \in (\frac{1}{2}; + \infty)$ .

$\Rightarrow (m - \sqrt{m^{2} + 1}; m + \sqrt{m^{2} + 1}) \cap (\frac{1}{2}; + \infty) \neq \emptyset .$

$\Rightarrow m + \sqrt{m^{2} + 1} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt{m^{2} + 1} > \frac{1}{2} - m$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{1}{2} - m < 0 \\ \{\begin{cases} \frac{1}{2} - m \geq 0 \\ m^{2} + 1 > m^{2} - m + \frac{1}{4} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > \frac{1}{2} \\ \{\begin{cases} m \leq \frac{1}{2} \\ m > - \frac{3}{4} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow m > - \frac{3}{4}$

Vậy $m \in (- \frac{3}{4}; + \infty)$ .

Chọn C.

Câu 42:

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có năm chữ số chia hết cho 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Xác suất để số được chọn chia hết cho 7 là

A. $\frac{643}{4500}$

B. $\frac{1902}{5712}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1607}{2250}$

Xem đáp án

Từ 10000 đến 99999 có số các số chia hết cho 5 là $(99995 - 10000) : 5 + 1 = 18000$ số.

$\Rightarrow n (S) = 18000 \Rightarrow$ Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{18000}^{1} = 18000.$

Gọi A là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 7” $\Rightarrow$ Số đó phải chia hết cho 35.

Từ 10000 đến 99999 thì số nhỏ nhất chia hết cho 35 là $(99995 - 10010) : 35 + 1 = 2572.$

$\Rightarrow n (A) = 2572.$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{2572}{18000} = \frac{643}{4500} .$

Chọn A.

Câu 43:

Cho

F (x) = x^{2}

là một nguyên hàm của hàm số

f (x) . e^{x} .

Khi đó

\int_{}^{} f' (x) . e^{x} d x

bằng

A. $- x^{2} + 2 x + C$

B. $- 2 x^{2} + 2 x + C$

C. $- x^{2} + x + C$

D. $2 x^{2} - 2 x + C$

Xem đáp án

Vì $F (x) = x^{2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) e^{x}$ nên $F' (x) = 2 x = f (x) e^{x} .$

$\Rightarrow f (x) = \frac{2 x}{e^{x}}$

$\Rightarrow f' (x) = \frac{2 e^{x} - 2 x e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} = \frac{2 - 2 x}{e^{x}} .$

$\Rightarrow f' (x) e^{x} = 2 - 2 x$

Vậy $\int_{}^{} f' (x) . e^{x} d x = \int_{}^{} (2 - 2 x) d x = 2 x - x^{2} + C .$

Chọn A.

Câu 44:

Cho hàm số f(x), hàm số $f' (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c (a, b, c \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ:

Cho hàm số f(x), hàm số f'(x) = x^3 + ax^2 + bx + c (a, b, c thuộc R) (ảnh 1)

Hàm số $g (x) = f (f' (x))$ có mấy khoảng đồng biến?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đồ thị hàm số $f' (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ đi qua các điểm có tọa độ $(- 1; 0), (0; 0), (1; 0) .$

Khi đó ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} - 1 + a - b + c = 0 \\ c = 0 \\ 1 + a + b + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = - 1 \\ c = 0 \end{cases}$

$\Rightarrow f' (x) = x^{3} - x \Rightarrow f " (x) = 3 x^{2} - 1.$

Ta có $g (x) = f (f' (x)) \Rightarrow g' (x) = f " (x) . f' (f' (x))$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f " (x) = 0 \\ f' (f' (x)) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \\ f' (x^{3} - 3) = 0 \end{array}$

Ta có: $f' (x) = x^{3} - x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array},$ do đó $f' (x^{3} - x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{3} - x = 0 \\ x^{3} - x = 1 \\ x^{3} - x = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm 1 \\ x = 0 \\ x = \pm 1, 325 \end{array}$

$\Rightarrow$ Phương trình g'(x) = 0 có 7 nghiệm đơn, quan các nghiệm này thì g'(x) đều đổi dấu.

Ta có $g' (2) = f " (2), f' (f' (2)) = 35. f' (6) = 35.210 > 0.$

Khi đó ta có bảng biến thiên:

Cho hàm số f(x), hàm số f'(x) = x^3 + ax^2 + bx + c (a, b, c thuộc R) (ảnh 2)

Vậy hàm số y = g(x) có 4 khoảng đồng biến.

Chọn C.

Câu 45:

Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị tương ứng là hình 1 và hình 2 bên dưới:

Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị tương ứng là hình 1 và hình 2 (ảnh 1)

Số nghiệm không âm của phương trình $|f (g (x)) - 3| = 1$ là

A. 11

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Ta có

$|f (g (x)) - 3| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (g (x)) - 3 = 1 \\ f (g (x)) - 3 = - 1 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (g (x)) = 4 \\ f (g (x)) = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} g (x) = - 1 \\ g (x) = 0 \\ g (x) = a < - 1 \\ g (x) = b > 1 \end{array}$

Dựa và đồ thị hàm số y = g(x) ta thấy:

+ Phương trình g(x) = -1 có 1 nghiệm không âm.

+ Phương trình $g (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ có 2 nghiệm không âm.

+ Phương trình g(x) = a < -1 có 1 nghiệm không âm.

+ Phương trình g(x) = b > 1 không có nghiệm không âm.

Vậy phương trình ban đầu có tất cả 4 nghiệm không âm.

Chọn C.

Câu 46:

Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ dương và đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ:

Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng (ảnh 1)

Giá trị lớn nhất của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [0; 20] là:

A. 8

B. 14

C. 20

D. 3

Xem đáp án

Dựa vào hình vẽ ta thấy: Phương trình f'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt $x = \pm 1$ nên có dạng $f' (x) = k (x - 1) (x + 1) .$

Lại có đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(0; - 3) \Rightarrow k = 3.$

Suy ra $f' (x) = 3 (x - 1) (x + 1) = 3 x^{3} - 3.$

Mà $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d \Rightarrow f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c .$

Đồng nhất hệ số ta có: $\{\begin{cases} 3 a = 3 \\ 2 b = 0 \\ c = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 0 \\ c = - 3 \end{cases} \Rightarrow f (x) = x^{3} - 3 x + d .$

Theo bài ra ta có: Đồ thị hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x + d$ tiếp xúc với đường y = 4 tại điểm có hoành độ dương nên $\{\begin{cases} x^{3} - 3 x + d = 4 \\ 3 x^{3} - 3 = 0 \\ x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ d = 6 \end{cases} \Rightarrow f (x) = x^{3} - 3 x + 6.$

Xét hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x + 6$ trên [0; 2] ta có $f' (x) = 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in [0; 2] \\ x = - 1 \notin [0; 2] \end{array} .$

$f (0) = 6, f (1) = 4, f (2) = 8.$

$\Rightarrow \min_{[0; 2]} f (x) = f (1) = 4, \max_{[0; 2]} f (x) = f (2) = 8.$

Vậy $\max_{[0; 2]} |f (x)| = \max \{|\min_{[0; 2]} f (x)|, |\max_{[0; 2]} f (x)|\} = 8.$

Chọn A.

Câu 47:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. M, N lần lượt là trung điểm AB, AC; P thuộc đoạn CC' sao cho

\frac{C P}{C C'} = x .

Tìm x để mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện có tỉ lệ thể tích là

\frac{1}{2} .

A. $\frac{8}{5}$

B. $\frac{5}{8}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{5}{4}$

Xem đáp án

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. M, N lần lượt là trung điểm AB, AC; P (ảnh 1)

Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP)

Xét (MNP) và (BCC'B') có P chung, MN//BC (MN là đường trung bình của tam giác ABC)

$\Rightarrow (M N P) \cap (B C C' B') = P Q / / M N / / B C (Q \in B B') .$

$\Rightarrow$ Thiết diện của hình chóp cắt bởi () là MNPQ.

Tính tỉ số thể tích

Khi đó mặt phẳng (MNP) chia hình lăng trụ thành 2 khối đa diện $B C M N P Q$ và $M N P Q A A' B' C' .$

Đặt $V_{A B C . A' B' C'} = V, V_{B C M N P Q} = V_{1}, V_{M N P Q A A' B' C'} = V_{2} .$

Theo bài ra ta có $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{1} = \frac{1}{3} V .$

Ta có: $V_{1} = V_{P . M N B C} + V_{P . B M Q}$

$\frac{V_{P . M N B C}}{V} = \frac{1}{3} . \frac{d (P; (A B C))}{d (C'; (A B C))} . \frac{S_{M N P Q}}{S_{A B C}}$

$= \frac{1}{3} . \frac{P C}{C' C} . \frac{S_{A B C} - S_{A M N}}{S_{A B C}}$

$= \frac{1}{3} . x . \frac{S_{A B C} - \frac{1}{4} S_{A B C}}{S_{A B C}} = \frac{1}{4} x$

$\frac{V_{P . B M Q}}{V} = \frac{V_{C' . B M Q}}{\frac{3}{2} V_{C' . A B B' A'}} = \frac{2}{3} \frac{S_{B M Q}}{S_{A B B' A'}} = \frac{2}{3} . \frac{\frac{1}{2} . x . S_{A B B'}}{2 S_{A B B'}} = \frac{1}{6} x$

$\Rightarrow \frac{V_{1}}{V} = \frac{1}{4} x + \frac{1}{6} x = \frac{5}{12} x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \frac{4}{5} .$

Chọn C.

Câu 48:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f' (x) = 4 x^{3} + 2 x$ và f(0) = 1. Số điểm cực tiểu của hàm số $g (x) = f^{3} (x)$ là:

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Ta có $f' (x) = 4 x^{3} + 2 x \Rightarrow f (x) = x^{4} + x^{2} + C .$

Lại có $f (0) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f (x) = x^{4} + x^{2} + 1.$

Ta có: $g (x) = f^{3} (x) \Rightarrow g' (x) = 3 f' (x) f^{2} (x)$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = 0$

$\Leftrightarrow 4 x^{3} + 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

(ta không xét $f^{2} (x) = 0$ vì các nghiệm của phương trình này là nghiệm kép của phương trình g'(x) = 0 nên sẽ không làm g'(x) đổi dấu).

Bảng xét dấu g'(x)

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = 4x^3 + 2x và f(0) = 1. Số điểm (ảnh 1)

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số y = g(x) có 1 điểm cực tiểu.

Chọn D.

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và

S A = a \sqrt{2} .

Gọi H, K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD. Xét khối nón (N) có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác HKL và có đỉnh thuộc mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối nón (N).

A. $\frac{π a^{3}}{48}$

B. $\frac{π a^{3}}{12}$

C. $\frac{π a^{3}}{8}$

D. $\frac{π a^{3}}{6}$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA (ảnh 1)

Ta có

$\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A H$

$\{\begin{cases} A H ⊥ S B \\ A H ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (S B C) \Rightarrow A H ⊥ H K$

Chứng minh tương tự ta có $B L ⊥ L K .$

$\Rightarrow A H K I$ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O là trung điểm của AK.

$\Rightarrow$ Đáy của hình nón (N) cũng chính là đường tròn tâm O bán kính $R = \frac{1}{2} A K .$

Ta có: $S A = a \sqrt{2}; A C = a \sqrt{2}$ (do ABCD là hình vuông cạnh $a) \Rightarrow Δ S A C$ vuông cân tại A.

$\Rightarrow S C = a \sqrt{2} . \sqrt{2} = 2 a$ và $A K = \frac{1}{2} S C = a$ (đường cao đồng thời là trung tuyến).

$\Rightarrow$ Bán kính đáy hình nón (N) là $R = \frac{1}{2} A K = \frac{1}{2} a .$

Ta có $\{\begin{cases} A H ⊥ (S B C) \\ A K ⊥ S C \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ S C \Rightarrow S C ⊥ (A H K L) .$

Trong (SAC) kẻ đường thẳng song song với SC cắt AC tại I ta có $\{\begin{cases} I \in (A B D) \\ O I / / S C \Rightarrow O I ⊥ (A H K L) \end{cases} .$

$\Rightarrow I$ là đỉnh của hình nón (N) và IO là đường cao của hình nón (N).

Dễ thấy OI là đường trung bình của tam giác AKC nên $O I = \frac{1}{2} K C = \frac{1}{4} S C = \frac{a}{2} = h .$

Vậy thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3} π . R^{2} . h = \frac{1}{3} π . {(\frac{a}{2})}^{2} . \frac{a}{4} = \frac{π a^{3}}{48} .$

Chọn A.

Câu 50:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $∠ A B C = 60^{0} .$ Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng CD và SA là:

A. $\frac{a \sqrt{15}}{5}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{5}}{10}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ABC = 60 độ (ảnh 1)

Kẻ $A H ⊥ C D (1) .$ Vì $Δ A C D$ đều cạnh a nên H là trung điểm của CD và $A H = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Gọi O là trung điểm của AB. Vì $Δ S A B$ đều nên $S O ⊥ A B .$

Ta có $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) = A B \\ S O \subset (S A B), S O ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ A H .$

Nên $\{\begin{cases} A H ⊥ C D, A B / / C D \Rightarrow A H ⊥ A B \\ A H ⊥ S O \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (S A B) \Rightarrow A H ⊥ S A (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow A H$ là đoạn vuông góc chung của CD và SA.

Vậy $d (C D; S A) = A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Chọn B.