50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 13)

Câu 1:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng

A. -1

B. 0

C. 0

D. 4

Xem đáp án

Chọn D.

y' đổi dấu từ + sang - khi đi qua điểm x = 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Khi đó giá trị cực đại của hàm số y(0) = 4.

Câu 2:

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên

ℝ

?

A. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1.$

B. $y = - x^{2} + 2 x .$

C. $y = x^{4} - x^{2} + 1.$

D. $y = \frac{x - 1}{x} .$

Xem đáp án

Chọn A.

$y = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1.$

$y' = - 3 x^{2} + 6 x - 3$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 1.$ Vậy $y' \leq 0$ với $\forall x \in ℝ .$ Suy ra hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$ nghịch biến trên $ℝ$

Câu 3:

Chọn ngẫu nhiên một số trong 20 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chia hết cho 3 bằng

A. $\frac{3}{20}$

B. $\frac{1}{20}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{3}{10}$

Xem đáp án

Chọn D.

Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{20}^{1} = 20.$

Gọi A là biến cố số được chọn chia hết cho 3, khi đó $A = \{3; 6; 9; 12; 15; 18\} .$ Vậy n(A) = 6.

Khi đó xác suất của biến cố A là

P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} .

Câu 4:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ , biết $u_{9} = 17, d = 2.$ Giá trị của $u_{10}$ bằng

A. $u_{10} = 20.$

B. $u_{10} = 21.$

C. $u_{10} = 19 .$

D. $u_{10} = 15 .$

Xem đáp án

Chọn C.

$u_{10} = u_{9} + d = 17 + 2 = 19.$

Câu 5:

Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng

A. $4 π a^{2}$

B. $2 π a^{2}$

C. $π a^{2}$

D. $\frac{4}{3} π a^{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

Vì thiết diện qua trục là một hình vuông nên

r = a; l = h = 2 a \Rightarrow S_{x q} = 2 π r h = 4 π a^{2} .

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, gọi $(α)$ là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm A(2; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; 4). Phương trình của mặt phẳng $(α)$ là

A. $6 x - 4 y + 3 z - 12 = 0$

B. $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{4} = 0$

C. $6 x - 4 y + 3 z = 0$

D. $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = 1$

Xem đáp án

Chọn A.

Theo phương trình đoạn chắn ta có $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6 x - 4 y + 3 z - 12 = 0.$

Câu 7:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 2 - 3i có tọa độ là

A. (3; 2)

B. (3; -2)

C. (-2; 3)

D. (2; -3)

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 8:

Cho $\int_{1}^{2} f (x) d x = 1$ và $\int_{1}^{4} f (x) d x = - 3$ . Giá trị của $\int_{2}^{4} f (x) d x$ bằng

A. -2

B. 4

C. -4

D. 2

Xem đáp án

Chọn C.

$\int_{1}^{4} f (x) d x = - 3 \Leftrightarrow \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{4} f (x) d x = - 3 \Leftrightarrow \int_{2}^{4} f (x) d x = - 4$

Câu 9:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{3 x + 1}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\int f (x) d x = \frac{1}{2} \ln |3 x + 1| + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{1}{3} \ln |3 x + 1| + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{1}{3} \ln (3 x + 1) + C$

D. $\int f (x) d x = \ln |3 x + 1| + C$

Xem đáp án

Chọn B.

Theo tính chất: $\int_{}^{} f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$ (với $a \neq 0$ )

Ta có:

\int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} \frac{1}{3 x + 1} d x = \frac{1}{3} \ln |3 x + 1| + C

Câu 10:

Với x là số thực dương tùy ý , $x \sqrt{x^{5}}$ bằng

A. $x^{3}$

B. $x^{\frac{7}{2}}$

C. $x^{\frac{2}{3}}$

D. $x^{\frac{3}{5}} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có:

x \sqrt{x^{5}} = x . x^{\frac{5}{2}} = x^{1 + \frac{5}{2}} = x^{\frac{7}{2}}

Câu 11:

Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước 2; 3; 5 bằng

A. 10.

B. 12.

C. 30.

D. 15.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $V = 2.3.5 = 30$

Câu 12:

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin (π - x)$ và $F (π) = 1$ . Giá trị $F (\frac{π}{2})$ bằng

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $F (x) = \int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} \sin (π - x) d x = \cos (π - x) + C$

$F (π) = 1 \Leftrightarrow 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 0$

$\Rightarrow F (x) = \cos (π - x)$

$\Rightarrow F (\frac{π}{2}) = \cos \frac{π}{2} = 0$

Câu 13:

Với x là số thực dương, đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} x$ là

A. $y^{'} = \frac{x}{\ln 2}$

B. $y^{'} = \frac{1}{x}$

C. $y^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$

D. $y^{'} = x \ln 2$

Xem đáp án

Chọn C.

Có $y = \log_{2} x \Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln 2}$

Câu 14:

Số phức liên hợp của số phức z = 2 - 3i là

A. $\bar{z} = - 3 + 2 i$

B. $\bar{z} = - 3 - 2 i$

C. $\bar{z} = 3 - 2 i$

D. $\bar{z} = 2 + 3 i$

Xem đáp án

Chọn D.

Câu 15:

Đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A. -1

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn D.

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 3$

Câu 16:

Tích phân $I = \int_{0}^{2} 2 e^{2 x} d x$ bằng

A. $e^{4}$

B. $e^{4} - 1$

C. $4 e^{4}$

D. $3 e^{4} - 1$

Xem đáp án

Chọn B.

Có

\int_{0}^{2} 2 e^{2 x} d x = \int_{0}^{2} e^{2 x} d (2 x) = e^{2 x} |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} = e^{4} - 1

Câu 17:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{2} (16 a)$ bằng

A. $4 \log_{2} a$

B. ${(\log_{2} a)}^{4}$

C. $\frac{1}{4} + \log_{2} a$

D. $4 + \log_{2} a$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có: $\log_{2} (16 a) = \log_{2} 16 + \log_{2} a = 4 + \log_{2} a .$

Câu 18:

Nghiệm của phương trình

\log_{3} (2 x + 1) = 2

là

A. x = 3

B. $x = \frac{1}{2}$

C. x = 4

D. x = 2

Xem đáp án

Chọn C.

$\log_{3} (2 x + 1) = 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 1 > 0 \\ 2 x + 1 = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - \frac{1}{2} \\ x = 4 \end{cases} \Leftrightarrow x = 4.$

Câu 19:

Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

D. $6 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B.

$V = B . h = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

Câu 20:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1; 0)

B. $(- \infty; - 1)$

C. (-1; 1)

D. $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B.

Hàm số đồng biến trên K khi và chỉ khi y' > 0 với $\forall x \in K .$

Từ bảng biến thiên, chọn B.

Câu 21:

Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm f'(x) như sau:

Hàm số f(x)có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 4

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Chọn B.

Dựa vào BBT thì hàm số đổi dấu 4 lần nên có 4 điểm cực trị.

Câu 22:

Công thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là

A. $V = π r h$

B. $V = π r^{2} h$

C. $V = \frac{1}{3} π r h$

D. $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Xem đáp án

Chọn B.

Công thức tính thể tích V của khối trụ là $V = π r^{2} h .$

Câu 23:

Hàm số nào dưới đây có đồ thị dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = x^{4} + 2 x^{2} + 2$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 2$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$

D. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Chọn D.

Hàm số trong hình bên có dạng $y = a x^{4} + b x^{2} + c$

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty \Rightarrow a > 0$ loại B, C

y(0) = c < 0 loại A.

Câu 24:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với

A (3; - 2; 5), B (- 2; 1; - 3)

và C(5; 1; 1). Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là

A. G(2; 0; 1)

B. G(2; 1; -1)

C. G(-2; 0; 1)

D. G(2; 0; -1)

Xem đáp án

Chọn A.

Trọng tâm G của tam giác ABC là G(2; 0; 1).

Câu 25:

Nghiệm của phương trình

3^{2 x + 3} = 243

là

A. x = 1

B. x = 3

C. x = -1

D. x = 2

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $3^{2 x + 3} = 243 \Leftrightarrow 3^{2 x + 3} = 3^{5} \Leftrightarrow 2 x + 3 = 5 \Leftrightarrow x = 1.$

Câu 26:

Cho hai số phức

z_{1} = 3 - 2 i

và

z_{2} = 2 - 3 i

. Số phức

z_{1} + z_{2}

bằng

A. 1 + i

B. 5 - 5i

C. 5 - 2i

D. 5 + 4i

Xem đáp án

Chọn B.

z_{1} + z_{2} = (3 - 2 i) + (2 - 3 i) = 5 - 5 i .

Câu 27:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{1 - x}$ là đường thẳng:

A. y = 2

B. x = -2

C. y = -2

D. x = 1

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 1}{1 - x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} - 1} = - 2$

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1}{1 - x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} - 1} = - 2$

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng có phương trình y = -2.

Câu 28:

Cho số phức z = 3 - 2i. Môdun của số phúc z + 1 - i bằng

A. 10.

B. 5.

C. $\sqrt{10}$

D. $2 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn B.

$|z + 1 - i| = |3 - 2 i + 1 - i| = |4 - 3 i| = \sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}} = 5.$

Câu 29:

Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm 7 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh đều thuộc P?

A. $C_{7}^{3}$

B. 6

C. $A_{7}^{3}$

D. 36

Xem đáp án

Chọn A.

Chọn 3 điểm từ 7 điểm ta có một tam giác, nên số tam giác tạo thành từ 7 điểm đã cho là: $C_{7}^{3} .$

Câu 30:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y + 6 z - 2 = 0$ có tâm và bán kính lần lượt là

A. $I (- 1; 2; - 3), R = 16.$

B. $I (- 1; 2; - 3), R = 4 .$

C. $I (1; - 2; 3), R = 4$

D. $I (1; - 2; 3), R = 16$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $a = - 1, b = 2, c = - 3, d = - 2.$

Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 2; -3), bán kính $R = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 2} = 4.$

Câu 31:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-2; 1] như hình vẽ bên dưới. Giá trị $\max_{[- 2; 1]} |f (x)|$ bằng

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-2; 1] như hình vẽ bên dưới (ảnh 1)

A. -3

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn C.

Từ đồ thị đã cho của hàm số ta có: $\max_{[- 2; 1]} f (x) = 1, \min_{[- 2; 1]} f (x) = - 3$

Mặt khác ta có $\max_{[- 2; 1]} |f (x)| = \max_{[- 2; 1]} \{|\min_{[- 2; 1]} f (x)|; |\max_{[- 2; 1]} f (x)|\} = \max_{[- 2; 1]} \{|- 3|; |1|\} = 3.$

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau $d : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 \end{cases}$ và $d' : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{1}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' là

A. $\sqrt{6} .$

B. $\frac{\sqrt{6}}{2} .$

C. $\frac{1}{\sqrt{6}} .$

D. $\sqrt{2} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d và d' (khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d') với $M \in d$ và $N \in d' .$

Tạo độ của hai điểm M, N có dạng: $M (1 + 2 t_{1}; - 1 - t_{1}; 1)$ và $N (2 - t_{2}; - 2 + t_{2}; 3 + t_{2})$

$\Rightarrow \vec{M N} = (1 - 2 t_{1} - t_{2}; - 1 + t_{1} + t_{2}; 2 + t_{2}) .$

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là $\vec{u_{1}} = (2; - 1; 0)$

Đường thẳng d' có véc tơ chỉ phương là $\vec{u_{2}} = (- 1; 1; 1) .$

Ta có: $\{\begin{cases} \vec{M N} ⊥ \vec{u_{1}} \\ \vec{M N} ⊥ \vec{u_{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 (1 - 2 t_{1} - t_{2}) - (- 1 + t_{1} + t_{2}) = 0 \\ - (1 - 2 t_{1} - t_{2}) + (- 1 + t_{1} + t_{2}) + (2 + t_{2}) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t_{1} = \frac{3}{2} \\ t_{2} = \frac{- 3}{2} \end{cases}$

$\Rightarrow \vec{M N} = (- \frac{1}{2}; - 1; \frac{1}{2}) \Rightarrow M N = \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \frac{\sqrt{6}}{2} .$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d' là $\frac{\sqrt{6}}{2} .$

Câu 33:

Tập nghiệm của bất phương trình $5^{12 - x^{2}} \geq 125$ là

A. $[3; + \infty)$

B. [-1; 1]

C. [-3; 3]

D. $(- \infty; 1]$

Xem đáp án

Chọn C.

Bất phương trình xác định với mọi $x \in ℝ .$

Ta có: $5^{12 - x^{2}} \geq 125 \Leftrightarrow 12 - x^{2} \geq 3 \Leftrightarrow x^{2} \leq 9 \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 3.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $5^{12 - x^{2}} \geq 125$ là [-3; 3].

Câu 34:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

\frac{3 a}{4}

(tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng đáy (ABC) bằng

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ A (ảnh 1)

A. $30^{0}$

B. $45^{0}$

C. $60^{0}$

D. $90^{0}$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ A (ảnh 2)

Gọi D là trung điểm của $B C, A D ⊥ B C$ và $A D = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ (do $Δ A B C$ đều cạnh a).

Hình chóp tam giác đều $S . A B C \Rightarrow Δ S B C$ cân tại $S \Rightarrow S D ⊥ B C .$

Do $A D ⊥ B C$ và $S D ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (S A D)$ .

Kẻ $A H ⊥ S D$ tại $H \Rightarrow A H ⊥ B C$ (do $B C ⊥ (S A D)$ ).

Vì $A H ⊥ S D$ và $A H ⊥ B C \Rightarrow A H ⊥ (S B C) \Rightarrow A H = d_{(A; (S B C))} = \frac{3 a}{4} .$

Như vậy: $\hat{((S B C); (A B C))} = \hat{S D A}$ .

$Δ A H D$ vuông tại $H \Rightarrow \sin \hat{S D A} = \frac{A H}{A D} = \frac{3 a}{4}; \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \hat{S D A} = 60^{0}$ .

Vậy góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng đáy (ABC) bằng $60^{0}$ .

Câu 35:

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với $A (2; - 1; 6), B (- 3; - 1; - 4),$ và C(5; -1; 0). Độ dài chiều cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh A bằng

A. 3

B. $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

C. $\frac{3}{2} .$

D. 5

Xem đáp án

Chọn D.

$\vec{B C} = (8; 0; 4); \vec{B D} = (4; 3; 5); \vec{B A} = (5; 0; 10)$

$\Rightarrow \vec{B D} \land \vec{B C} = (12; 24; - 24)$

$V_{A B C D} = \frac{1}{6} |(\vec{B D} \land \vec{B C}) . \vec{B A}| = \frac{|5.12 + 0.24 - 10.24|}{6} = 30$

$S_{Δ B C D} = \frac{1}{2} |\vec{B D} \land \vec{B C}| = \frac{\sqrt{12^{2} + {2.24}^{2}}}{2} = 18$

$\Rightarrow d_{(A, (B C D))} = \frac{3 V_{A B C D}}{S_{Δ B C D}} = \frac{30.3}{18} = 5$

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa

và mặt phẳng (SBC) bằng

60^{0}

(tham khảo hình bên dưới). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SA (ảnh 1)

A. $\frac{3 a^{3}}{8}$

B. $\frac{a^{3}}{8}$

C. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{24} .$

D. $\frac{a^{3}}{4} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SA (ảnh 2)

Gọi M là trung điểm BC, vì tam giác ABC đều nên SB = SC. Suy ra $A M ⊥ B C, S M ⊥ B C$ .

Kẻ $A H ⊥ S M (H \in S M)$

$\begin{array}{l} B C ⊥ S M \\ B C ⊥ A M \end{array}\} \Rightarrow B C ⊥ (S A M) \Rightarrow B C ⊥ A H$

$\begin{array}{l} B C ⊥ A H \\ S M ⊥ A H \end{array}\} \Rightarrow (S B C) ⊥ A H$

Suy ra góc giữa SA và (SBC) bằng $\hat{A S M} \Rightarrow \hat{A S M} = 60^{0}$

$\Rightarrow S A = A M . \cot 60^{0} = \frac{a}{2}$

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a}{2} . \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}$

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 3 z - 4 = 0$ và $(Q) : 3 x + 2 y - 5 z - 4 = 0.$ Giao tuyến của (P) và (Q) có phương trình tham số là

A. $\{\begin{cases} x = 2 - 2 t \\ y = - 1 + 7 t \\ z = - 4 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 1 + 7 t \\ z = 4 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = - 1 + 7 t \\ z = 4 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 1 - 7 t \\ z = 4 t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) thì với mỗi điểm $M (x; y; z) \in d$ là nghiệm của hệ phương trình sau:

$\{\begin{cases} x - 2 y + 3 z - 4 = 0 \\ 3 x + 2 y - 5 z - 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y - 3 z + 4 \\ 3 (2 y - 3 z + 4) + 2 y - 5 z - 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y - 3 z + 4 \\ 8 y - 14 z + 8 = 0 \end{cases}$

Đặt $z = 4 t \Rightarrow \{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = 7 t - 1 \\ z = 4 t \end{cases}$

Câu 38:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $| 2 z - \bar{z} | = \sqrt{13}$ và (1 + 2i)z là số thuần ảo?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Xem đáp án

Chọn C.

Đặt z = a + bi với $a, b \in ℝ$ . Ta có:

$|2 z - \bar{z}| = \sqrt{13} \Leftrightarrow |2 (a + b i) - (a - b i)| = \sqrt{13} \Leftrightarrow |a + 3 b i| = \sqrt{13}$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + 9 b^{2}} = \sqrt{13} \Leftrightarrow a^{2} + 9 b^{2} = 13 (1)$

$(1 + 2 i) z = (1 + 2 i) (a + b i) = a + 2 a i + b i - 2 b = a - 2 b + (2 a + b) i$ là số thuần ảo nên có $a - 2 b = 0 \Leftrightarrow a = 2 b$ thay vào (1) ta được $13 b^{2} = 13 \Leftrightarrow b = \pm 1.$

Vậy có hai số phức là z = 2 + i và z = -2 - i.

Câu 39:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 81$ và mặt phẳng $(α) : 2 x - 2 y - z + 9 = 0$ . Tâm H của đường tròn giao tuyến của (S) và $(α)$ nằm trên đường thẳng nào sau đây?

A. $\frac{x + 3}{2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{- 1}$

B. $\frac{x + 3}{- 2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1}$

C. $\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}$

D. $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}$

Xem đáp án

Chọn D.

Đường thẳng d đi qua tâm I(3; -2; 1) của mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng $(α)$ có phương trình là $\{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = - 2 - 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}$ .

Xét phương trình $2 (3 + 2 t) - 2 (- 2 - 2 t) - (1 - t) + 9 = 0 \Leftrightarrow 9 t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = - 2.$

Suy ra tâm H(-1; 2; 3) bằng cách thay tọa độ điểm H vào các đường thẳng.

Ta có: $\frac{- 1 - 3}{2} = \frac{2 + 2}{- 2} = \frac{3 - 1}{- 1} = - 2$ (đúng).

Vậy H(-1; 2; 3) nằm trên đường thẳng $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1} .$

Câu 40:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên bằng a và diện tích đáy bằng

a^{2}

(tham khảo hình bên dưới ). Khoảng cách từ a đến mặt phẳng (SBC) bằng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên bằng a và diện tích (ảnh 1)

A. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{6}$

D. $a \sqrt{6}$

Xem đáp án

Chọn A.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên bằng a và diện tích (ảnh 2)

Do hình chóp tứ giác đều S.ABCD có diện tích đáy bằng $a^{2}$ nên ABCD là hình vuông cạnh a, đường chéo $A C = a \sqrt{2} .$

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, xét tam giác vuông SOC ta có:

$S O = \sqrt{S C^{2} - O C^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2},$ vì $O C = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Thể tích khối chóp S.OBC là $V = \frac{1}{3} . S_{O B C} . S O = \frac{1}{3} . \frac{1}{4} a^{2} . \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{24} .$

Diện tích tam giác SBC là $S_{S B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ vì SBC là tam giác đều cạnh bằng a.

Ta có $d (A, (S B C)) = 2 d (O, (S B C)) = 2 h$ vì ac = 2oc

Mặt khác ta lại có thể tích khối chóp S.OBC là $V = \frac{1}{3} . S_{S B C} . h$

$\Rightarrow h = \frac{3 V}{S_{S B C}} = \frac{3. \frac{a^{3} \sqrt{2}}{24}}{\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}} = \frac{a \sqrt{6}}{6} .$

Vậy $d (A, (S B C)) = 2 h = \frac{a \sqrt{6}}{3} .$

Câu 41:

Một khối nón có chiều cao bằng 12 , đặt trên đáy một hình trụ (các đáy của chúng nằm trên cùng một mặt phẳng, như hình vẽ bên dưới), biết đường kính đáy khối nón bằng bán kính đáy hình trụ. Hình trụ được đổ nước vào cho đến độ cao bằng 12. Độ cao của nước khi đã lấy khối nón ra ngoài hình trụ bằng

Một khối nón có chiều cao bằng 12 , đặt trên đáy một hình trụ (các đáy (ảnh 1)

A. 11

B. 10

C. 8

D. 6

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi r là bán kính đáy của hình nón, $V_{1}$ là thể tích hình nón, $V_{2}$ là thể tích có chứa nước của hình trụ vẫn chứa hình nón, $V_{3}$ là thể tích phần chứa nước của khối trụ sau khi lấy khối nón ra có chiều cao $h_{3}$

Khi đó: $V_{2} = V_{1} + V_{3}$

Ta có: $V_{1} = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} π r^{2} 12 = 4 π r^{2}$

$V_{2} = B h = π {(2 r)}^{2} .12 = 48 π r^{2}$

$\Rightarrow V_{3} = V_{2} - V_{1} = 48 π r^{2} - 4 π r^{2} = 44 π r^{2}$

Mà $V_{3} = B . h_{3} = π {(2 r)}^{2} h_{3} = 4 π r^{2} h_{3} \Rightarrow h_{3} = \frac{V_{3}}{B} = \frac{44 π r^{2}}{4 π r^{2}} = 11$ .

Câu 42:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) = 1 và $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ . Tích phân $\int_{0}^{1} f^{'} (\sqrt{x}) d x$ bằng

A. 2

B. -2

C. -1

D. 1

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt $\sqrt{x} = t \Rightarrow f (\sqrt{x}) = f (t) \Rightarrow f' (\sqrt{x}) . \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x = f' (t) d t \Rightarrow f' (\sqrt{x}) d x = 2 t f' (t) d t$

Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0; x = 1 \Rightarrow t = 1$

Khi đó: $\int_{0}^{1} f' (\sqrt{x}) d x = \int_{0}^{1} 2 t f' (t) d t = 2 \int_{0}^{1} t f' (t) d t$

Đặt $\{\begin{cases} u = t \\ d v = f' (t) d t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d u = d t \\ v = f (t) \end{cases} \Rightarrow 2 \int_{0}^{1} t f' (t) d t = 2 t f (t) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} - 2 \int_{0}^{1} f (t) d t = 2 f (1) - 4 = - 2.$

Câu 43:

Cho hai hàm f(x) và g(x) có đạo hàm trên [1; 2021] thỏa mãn f(2021) = g(2021) = 0, $\frac{x}{{(x + 1)}^{2}} g (x) + 2020 x = (x + 1) f^{'} (x)$ và $\frac{x^{3}}{x + 1} g^{'} (x) + f (x) = 2021 x^{2}$ với mọi $x \in [1; 2021]$ . Tích phân $\int_{1}^{2021} [\frac{x}{x + 1} g (x) - \frac{x + 1}{x} f (x)] d x$ bằng

A. $\frac{1}{2} {.2021}^{2} - 2021 + \frac{1}{2} .$

B. $\frac{1}{2} {.2020}^{2} - 2020 + \frac{1}{2} .$

C. $- \frac{1}{2} {.2020}^{2} + 2020 - \frac{1}{2} .$

D. $- \frac{1}{2} {.2021}^{2} + 2021 - \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $\frac{x}{{(x + 1)}^{2}} g (x) + 2020 x = (x + 1) f' (x) \Rightarrow \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} g (x) - \frac{x + 1}{x} f' (x) = - 2020 (1) .$

Mặt khác $\frac{x^{3}}{x + 1} g' (x) + f (x) = 2021 x^{2} \Rightarrow \frac{x}{x + 1} g' (x) + \frac{1}{x^{2}} . f (x) = 2021 (2) .$

Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được $[\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} g (x) + \frac{x}{x + 1} g' (x)] - [\frac{x + 1}{x} f' (x) - \frac{1}{x^{2}} f (x)] = 1$

$\Leftrightarrow [\frac{x}{x + 1} g (x) - \frac{x + 1}{x} f (x)]' = 1 (*) .$

Lấy nguyên hàm hai vế (*), ta được $\frac{x}{x + 1} g (x) - \frac{x + 1}{x} f (x) = x + C .$

Vì f(2021) = g(2021) = 0 nên $0 = 2021 + C \Leftrightarrow C = - 2021.$

Suy ra $\frac{x}{x + 1} g (x) - \frac{x + 1}{x} f (x) = x - 2021$ .

Vậy $\int_{1}^{2021} [\frac{x}{x + 1} g (x) - \frac{x + 1}{x} f (x)] d x = \int_{1}^{2021} (x - 2021) d x = (\frac{1}{2} x^{2} - 2021 x) |\begin{array}{l} 2021 \\ 1 \end{array}$

$= - \frac{1}{2} {.2021}^{2} + 2021 - \frac{1}{2} .$

Câu 44:

Cho f(x) là hàm số bậc ba thỏa mãn f(0) = 2 và f'(1) = 0. Hàm số f'(x) có bảng biến thiên như sau:

Cho f(x) là hàm số bậc ba thỏa mãn f(0) = 2 và f'(1) = 0. Hàm số (ảnh 1)

Hàm số $g (x) = |f^{3} (| x |) - 3 f^{2} (| x |) - 2021|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 7.

B. 6.

C. 9.

D. 11.

Xem đáp án

Chọn A.

Giả sử $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d .$

Ta có $f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c .$

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra đồ thị hàm số f'(x) đối xứng nhau qua trục tung nên là hàm chẵn suy ra b = 0.

Khi đó $f' (x) = 3 a x^{2} + c .$

Mặt khác cũng từ bảng biến thiến và giả thiết, ta có $\{\begin{cases} f' (0) = - 3 \\ f' (1) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = - 3 \\ 3 a + c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ c = - 3 \end{cases} .$

Khi đó $f' (x) = 3 x^{2} - 3 \Rightarrow f (x) = x^{3} - 3 x + C .$

Mà $f (0) = 2 \Leftrightarrow C = 2$ .

Vậy $f (x) = x^{3} - 3 x + 2.$

Xét hàm số $h (x) = f^{3} (|x|) - 3 f^{2} (|x|) - 2021,$ ta thấy h(x) là một hàm chẵn nên nhận trục tung là trục đối xứng, vì vậy số điểm cực trị của h(x) chính bằng hai lần số cực trị dương của hàm số $p (x) = f^{3} (x) - 3 f^{2} (x) - 2021$ công thêm 1.

Xét hàm số $p (x) = f^{3} (x) - 3 f^{2} (x) - 2021$ trên $(0; + \infty)$ ta có $p' (x) = 3 f' (x) f^{2} (x) - 6 f' (x) f (x) .$

$p' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f' (x) = 0 \\ f (x) = 0 \\ f (x) = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 x^{2} - 3 = 0 \\ x^{3} - 3 x + 2 = 0 \\ x^{3} - 3 x + 2 = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 0 \\ x = \sqrt{3} \end{array}$ (do x > 0).

Bảng biến thiên

Cho f(x) là hàm số bậc ba thỏa mãn f(0) = 2 và f'(1) = 0. Hàm số (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên, ta suy ra số điểm cực trị của hàm số h(x) là 2.2 + 1 = 5

Mặt khác, đồ thị của hàm số g(x) đối xứng qua Ox, do đó số điểm cực trị của hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của hàm số h(x) cộng với số nghiệm bội lẻ của phương trình h(x) = 0.

Dựa vào bảng biến thiên ta có thấy h(x) = 0 có ha nghiệm bội đơn.

Vậy hàm số g(x) có tất cả 5 + 2 = 7 điểm cực trị.

Câu 45:

Cho hàm số f(x), đồ thị của hàm số y = f'(x) là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = 12 f (2 x) + 32 x^{3} + 12 x^{2} - 12 x + 2021$ trên đoạn $[- \frac{3}{2}; \frac{1}{2}]$ bằng

Cho hàm số f(x), đồ thị của hàm số y = f'(x) là đường cong trong (ảnh 1)

A. $12 f (- 1) + 2026$

B. $12 f (- 3) + 1958$

C. $12 f (1) + 2022$

D. f(-1).

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $g' (x) = 24 f' (2 x) + 96 x^{2} + 24 x - 12 = 12 [2 f' (2 x) + 8 x^{2} + 2 x - 1]$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow 12 [2 f' (2 x) + 8 x^{2} + 2 x - 1] = 0 \Leftrightarrow 2 f' (2 x) + 8 x^{2} + 2 x - 1 = 0 (*)$

Đặt $t = 2 x, x \in [- \frac{3}{2}; \frac{1}{2}] \Rightarrow t \in [- 3; 1] .$

Khi đó phương trình (*) trở thành phương trình sau:

$2 f' (t) + 2 t^{2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow f' (t) = - t^{2} - \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} (* *)$

Ta có đồ thị như sau:

Cho hàm số f(x), đồ thị của hàm số y = f'(x) là đường cong trong (ảnh 2)

$f' (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 3 \\ t = - 1 \\ t = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{3}{2} \\ x = - \frac{1}{2} \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số f(x), đồ thị của hàm số y = f'(x) là đường cong trong (ảnh 3)

Dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm số ta có giá trị lớn nhất của hàm số g(x) đạt tại $x = - \frac{1}{2} \Rightarrow g (- \frac{1}{2}) = 12 f (- 1) + 2026.$

Câu 46:

Có bao nhiêu số nguyên $a (a \geq 2)$ sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn $\ln (a^{\log x^{4}} + 4 a^{\log x^{2}} + 4) = \frac{\ln (x - 2)}{\log a} ?$

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 9.

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có:

$\ln (a^{\log x^{4}} + 4 a^{\log x^{2}} + 4) = \frac{\ln (x - 2)}{\log a} \Leftrightarrow \ln (a^{4 \log x} + 4 a^{2 \log x} + 4) = \frac{\ln (x - 2)}{\log a}$

$\Leftrightarrow 2 \ln (a^{2 \log x} + 2) = \frac{\ln (x - 2)}{\log a}$

Đặt $a^{2 \log x} + 2 = t \Rightarrow \log a .2 \log x = \log (t - 2) \Rightarrow \log a = \frac{\log (t - 2)}{2 \log x}$

$\Rightarrow \ln t . \ln (t - 2) = \ln x . \ln (x - 2)$

Xét hàm $f (u) = \ln u . \ln (u - 2)$

$\Rightarrow f' (u) = \frac{\ln (u - 2)}{u} + \frac{\ln u}{u - 2} > 0$

Do $t - 2 = a^{2 \log x} \geq 2^{2 \log 2} > 1$

$\Rightarrow u = x \Rightarrow a^{2 \log x} = x - 2 \Leftrightarrow x - x^{2 \log a} = 2 \Rightarrow x > x^{2 \log a} \Leftrightarrow 2 \log a < 1 \Leftrightarrow \log a < \frac{1}{2} \Leftrightarrow a < \sqrt{10} \Rightarrow a \in \{2; 3\} .$

Câu 47:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới f(1) = 0; ${f^{'}}^{'} (\frac{2}{3}) = 0$ và $f (\frac{2}{3}) = \frac{20}{27}$ . Biết hàm số f(x) đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $3 x_{2} - 6 x_{1} = 3 \sqrt{7} - 2$ . Gọi $S_{1}$ và $S_{2}$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên dưới. Tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên (ảnh 1)

A. $(7, 1; 7, 3) .$

B. $(6, 5; 6, 7) .$

C. $(6, 7; 6, 9) .$

D. $(6, 9; 7, 1) .$

Xem đáp án

Chọn C.

Vì y = f(x) là hàm số bậc ba có $f " (\frac{2}{3}) = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$ là hoành độ điểm uốn, do đó: $x_{1} + x_{2} = 2 x_{u} = \frac{4}{3}$

Mặt khác $3 x_{2} - 6 x_{1} = 3 \sqrt{7} - 2$ hay $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{4}{3} \\ 3 x_{2} - 6 x_{1} = 3 \sqrt{7} - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = \frac{2 - \sqrt{7}}{3} \\ x_{2} = \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \end{cases}$

Suy ra $f' (x) = k (x - x_{1}) (x - x_{2}) = k (x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{1}{3}),$ với k > 0

$\Rightarrow f (x) = \frac{k}{3} (x^{3} - 2 x^{2} - x + C),$ thay f(1) = 0 ta được $C = 2 \Rightarrow f (x) = \frac{k}{3} (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) .$

Khi đó $S_{1} = \frac{k}{3} \int_{\frac{2 - \sqrt{7}}{3}}^{1} (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) d x; S_{2} = - \frac{k}{3} \int_{1}^{\frac{2 + \sqrt{7}}{3}} (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) d x$ . Do đó

\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\int_{\frac{2 - \sqrt{7}}{3}}^{1} (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) d x}{\int_{1}^{\frac{2 + \sqrt{7}}{3}} (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) d x} \approx 6, 85 \in (6, 7; 6, 9)

.

Câu 48:

Xét các số phức z, w thỏa mãn $|z| = 2, |i w - 2 + 5 i| = 1$ .Giá trị nhỏ nhất của $|z^{2} - w z - 4|$ bằng

A. 9.

B. 6.

C. 10.

D. 8.

Xem đáp án

Chọn D.

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức $w = x + y i; x, y \in ℝ .$ Ta có

$|i w - 2 + 5 i| = 1 \Leftrightarrow |i (x + y i) - 2 + 5 i| = 1 \Leftrightarrow {(x + 5)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1.$

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(-5; -2) bán kính R = 1.

Ta có: $P = |z^{2} - w z - 4| = |z^{2} - w z - {|z|}^{2}| = |z^{2} - w z - z . \bar{z}| = |z| |(z - \bar{z}) - w| = 2 |(z - \bar{z}) - w| .$

Đặt $z = a + b i; a, b \in ℝ,$ do $|z| = 2 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 4 \Rightarrow - 2 \leq b \leq 2.$

Xét các số phức z, w thỏa mãn |z| = 2, |iw - 2 + 5i| = 1 (ảnh 1)

Gọi N là điểm biểu diễn số phức $z - \bar{z} = 2 b i \Rightarrow N (0; 2 b)$ nên N thuộc đoạn AB, với $A (0; 4), B (0; - 4) .$ Khi đó $P = 2 |(z - \bar{z}) - w| = 2 M N \geq 2 C D = 8,$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} M \equiv C \\ N \equiv D \end{cases} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $|z^{2} - w z - 4|$ bằng 8.

Câu 49:

Có bao nhiêu số nguyên dương a thỏa mãn $(\sqrt{1 + \ln^{2} a} + \ln a) (\sqrt{1 + {(a - 3)}^{2}} + a - 3) \leq 1 ?$

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn D.

Điều kiện: a > 0

Vì $\sqrt{1 + \ln^{2} a} > |\ln a| \geq \ln a \Rightarrow \sqrt{1 + \ln^{2} a} - \ln a > 0.$

Do đó $(\sqrt{1 + \ln^{2} a} + \ln a) (\sqrt{1 + {(a - 3)}^{2}} + a - 3) \leq 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{1 + {(a - 3)}^{2}} + a - 3}{\sqrt{1 + \ln^{2} a} - \ln a} \leq 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{1 + {(a - 3)}^{2}} + a - 3 \leq \sqrt{1 + {(- \ln a)}^{2}} + (- \ln a) . (1)$

Xét hàm số $f (t) = t + \sqrt{1 + t^{2}}, t \in ℝ; f' (t) = 1 + \frac{t}{\sqrt{1 + t^{2}}} = \frac{t + \sqrt{1 + t^{2}}}{\sqrt{1 + t^{2}}} > 0, \forall t \in ℝ .$ Suy ra hàm số f'(t) đồng biến trên $ℝ$

Bất phương trình $(1) \Leftrightarrow f (a - 3) \leq f (- \ln a) \Leftrightarrow a - 3 \leq - \ln a \Leftrightarrow a - 3 + \ln a \leq 0.$

Xét hàm số $g (a) = a - 3 + \ln a, a \in (0; + \infty); g' (a) = 1 + \frac{1}{a} > 0, \forall a > 1.$

Hàm số g(a) đồng biến trên khoảng $(1; + \infty) .$ Do đó phương trình g(a) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm.

Mặt khác $g (2) . g (3) = (\ln 2 - 1) \ln 3 < 0,$ suy ra $\exists a_{0} \in (2; 3)$ để $g (a_{0}) = 0$

Do đó: $g (a) \leq 0 \Leftrightarrow a \leq a_{0} \Rightarrow a \in (0; a_{0}] \Rightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ a = 2 \end{array} .$

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các đỉnh

A (1; 1; 1), B (2; 0; 2)

,

C (- 1; - 1; 0)

,

D (0; 3; 4)

. Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm M, N, P thỏa mãn

\frac{A B}{A M} + \frac{A C}{A N} + \frac{A D}{A P} = 6

. Viết phương trình mặt phẳng (MNP), biết khối tứ diện AMNP có thể tích nhỏ nhất.

A. $8 x + 20 y - 22 z + 11 = 0$

B. $8 x + 20 y - 22 z - 11 = 0$

C. $8 x - 20 y - 22 z + 11 = 0$

D. $8 x + 20 y + 22 z - 11 = 0$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $\frac{V_{A B C D}}{V_{A M N P}} = \frac{A B}{A M} . \frac{A C}{A N} . \frac{A D}{A P} \leq {(\frac{\frac{A B}{A M} + \frac{A C}{A N} + \frac{A D}{A P}}{3})}^{3} = 8 \Rightarrow V_{A M N P} \geq \frac{1}{8} V_{A B C D} .$ ( $V_{A B C D}$ cố định).

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{A B}{A M} = \frac{A C}{A N} = \frac{A D}{A P} = 2.$ Suy ra M,N, P lần lượt là trung điểm của $A B, A C, A D \Rightarrow M (\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ và

(MNP) // (BCD).

$\vec{B C} = (- 3; - 1; - 2), \vec{B D} = (- 2; 3; 2) \Rightarrow \vec{n} = [\vec{B C}, \vec{B D}] = (4; 10; - 11) .$

Mặt phẳng (MNP) đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}$ nên có phương trình là:

$4 (x - \frac{3}{2}) + 10 (y - \frac{1}{2}) - 11 (z - \frac{3}{2}) = 0 \Leftrightarrow 8 x - 20 y + 22 z + 11 = 0.$