50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 21)

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC với $A (1; - 5; 4), B (0; 2; - 1)$ và

C(2; 9; 0). Giá trị của tổng a + b + c bằng:

A. 4

B. 13

C.

\frac{4}{3}

D. 12

Xem đáp án

Tọa độ điểm G là $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{1 + 0 + 2}{3} = 1 \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{- 5 + 2 + 9}{3} = 2 \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \frac{4 - 1 + 0}{3} = 1 \end{cases} \Rightarrow G (1; 2; 1) .$

$\Rightarrow a = 1, b = 2, c = 1.$

Vậy $a + b + c = 1 + 2 + 1 = 4.$

Chọn A.

Câu 2:

Với a, x, y là số thực dương tùy ý, a > 1 kết quả khi rút gọn biểu thức

P = \frac{x^{\log_{a} y}}{y^{\log_{a} x}}

là:

A. P = 1

B. P = x

C. P = y

D. P = a

Xem đáp án

Ta có: $P = \frac{x^{\log_{a} y}}{y^{\log_{a} x}} = \frac{x^{\log_{a} y}}{x^{\log_{a} y}} = 1.$

Chọn A.

Câu 3:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 2$

B. $y = x^{3} - 3 x^{2} - 4$

C. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 4$

D. $y = - x^{3} - 4$

Xem đáp án

Nhánh cuối của đồ thị đi xuống nên loại đáp án B.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ -4 nên loại đáp án A.

Đồ thị đi qua điểm (2; 0) nên loại đáp án D.

Chọn C.

Câu 4:

Tích phân $\int_{- 1}^{1} x^{2020} d x$ bằng:

A. $\frac{1}{2021}$

B. $\frac{2}{2021}$

C. $\frac{2}{2020}$

D. 0

Xem đáp án

Xét hàm số $f (x) = x^{2020}$ có TXĐ $D = ℝ$ và $f (- x) = f (x) \forall x \in ℝ$ nên f(x) là hàm chẵn.

Do đó $\int_{- 1}^{1} x^{2020} d x = 0.$

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 1; -6) và B(5; 3; -2) có phương trình tham số là:

A. $\{\begin{cases} x = 6 + t \\ y = 4 + t \\ z = 2 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 5 + 2 t \\ y = 3 + 2 t \\ z = - 2 - 4 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 + t \\ z = - 6 - 2 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 6 + 2 t \\ y = 2 + 2 t \\ z = - 1 + 4 t \end{cases}$

Xem đáp án

Ta có: $\vec{A B} = (2; 2; 4) = 2 (1; 1; 2)$ nên đường thẳng đi qua A, B có 1 VTCP là $\vec{u} = (1; 1; 2) .$

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng cần tìm là $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 + t \\ z = - 6 + 2 t \end{cases}$

Với t = 3 ta có $M (6; 4; 0) \in A B .$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $\{\begin{cases} x = 6 + t \\ y = 4 + t \\ z = 2 t \end{cases} .$

Chọn A.

Câu 6:

Trong tập hợp số phức $ℂ$ phương trình $(2 - i) \bar{z} - 4 = 0$ có nghiệm là:

A. $z = \frac{7}{5} - \frac{3}{5} i$

B. $z = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} i$

C. $z = \frac{8}{5} + \frac{4}{5} i$

D. $z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5} i$

Xem đáp án

Ta có: $(2 - i) \bar{z} - 4 = 0 \Rightarrow \bar{z} = \frac{4}{2 - i} = \frac{8}{5} + \frac{4}{5} i .$

Vậy $z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5} i .$

Chọn D.

Câu 7:

Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng $49 π .$ Khi đó chiều cao của hình nón bằng:

A. $7 \sqrt{3}$

B. $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$

C. $14 \sqrt{3}$

D. $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Gọi r là bán kính đáy của hình nón $\Rightarrow π r^{2} = 49 π \Leftrightarrow r = 7.$

$\Rightarrow$ Đường sinh của hình nón l = 2r = 14

Vậy chiều cao hình nón là: $h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{14^{2} - 7^{2}} = 7 \sqrt{3} .$

Chọn A.

Câu 8:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

A. x = -2

B x = -3

C. x = 2

D. x = 3

Xem đáp án

Dựa vào BBT ta thấy $x_{C T} = - 3.$

Chọn B.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ hình chiếu của điểm A(-2; -1; 3) trên mặt phẳng Oyz là:

A. (0; -1; 0)

B. (-2; 0; 0)

C. (0; -1; 3)

D. (-2; -1; 0)

Xem đáp án

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ hình chiếu của điểm A(-2; -1; 3) trên mặt phẳng Oyz là (0; -1; 3)

Chọn C.

Câu 10:

Hệ số của

x^{4}

trong khai triển thành đa thức của biểu thức

{(3 x - 2)}^{11}

là:

A. $- C_{11}^{7} 3^{4} 2^{7}$

B. $C_{11}^{7} 3^{4} 2^{7}$

C. $C_{11}^{7} 3^{7} 2^{4}$

D. $- C_{11}^{7} 3^{7} 2^{4}$

Xem đáp án

Ta có: ${(3 x - 2)}^{11} = \sum_{k = 0}^{11} C_{11}^{k} {(3 x)}^{k} {(- 2)}^{11 - k} = \sum_{k = 0}^{11} C_{11}^{k} 3^{k} {(- 2)}^{11 - k} x^{k} .$

$\Rightarrow$ Số hạng chứa $x^{4}$ ứng với k = 4.

Vậy hệ số của $x^{4}$ trong khai triển thành đa thức của biểu thức ${(3 x - 2)}^{11}$ là $- C_{11}^{3} 3^{4} {.2}^{7} .$

Chọn A.

Câu 11:

Họ nguyên hàm của hàm số $y = 3^{2 x} 7^{x}$ là:

A. $63^{x} \ln 63 + C$

B. $63^{x} + C$

C. $\frac{21^{x}}{\ln 21} + C$

D. $\frac{63^{x}}{\ln 63} + C$

Xem đáp án

$\int_{}^{} 3^{2 x} 7^{x} d x = \int_{}^{} 9^{x} {.7}^{x} d x = \int_{}^{} 63^{x} d x = \frac{63^{x}}{\ln 63} + C$

Chọn D.

Câu 12:

Với a là các số thực dương tùy ý, ${(a^{- \sqrt{5}})}^{\sqrt{5}}$ bằng:

A. 1

B. $\frac{1}{a^{5}}$

C. $a^{5}$

D. $a^{- 2 \sqrt{5}}$

Xem đáp án

${(a^{- \sqrt{5}})}^{\sqrt{5}} = a^{- \sqrt{5} . \sqrt{5}} = a^{- 5} = \frac{1}{a^{5}} .$

Chọn B.

Câu 13:

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE = 3EB. Khi đó thể tích khối tứ diện EBCD bằng:

A. $\frac{V}{3}$

B. $\frac{V}{4}$

C. $\frac{V}{5}$

D. $\frac{V}{2}$

Xem đáp án

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB (ảnh 1)

Ta có: $\frac{V_{E B C D}}{V_{A B C D}} = \frac{V_{B E C D}}{V_{B A C D}} = \frac{B E}{B A} = \frac{1}{4} .$

$\Rightarrow V_{E B C D} = \frac{1}{4} V_{A B C D} = \frac{V}{4} .$

Chọn B.

Câu 14:

Nghiệm của phương trình ${(4, 5)}^{4 x - 5} = {(\frac{2}{9})}^{- x - 1}$ là:

A. x = -1

B. $x = \frac{4}{5}$

C. x = 2

D. $x = \frac{5}{4}$

Xem đáp án

${(4, 5)}^{4 x - 5} = {(\frac{2}{9})}^{- x - 1} \Leftrightarrow {(\frac{9}{2})}^{4 x - 5} = {(\frac{9}{2})}^{x + 1}$

$\Leftrightarrow 4 x - 5 = x + 1 \Leftrightarrow 3 x = 6 \Leftrightarrow x = 2$

Chọn C.

Câu 15:

Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm, chiều cao h = 7cm. Diện tích xung quanh của hình trụ này là:

A. $35 π (c m^{2})$

B. $70 π (c m^{2})$

C. $\frac{35}{2} π (c m^{2})$

D. $\frac{70}{3} π (c m^{2})$

Xem đáp án

Diện tích xung quanh của hình trụ này là: $S_{x q} = 2 π r h = 2 π .5.7 = 70 π (c m^{2}) .$

Chọn B.

Câu 16:

Cho số phức z = 9 - 5i. Phần ảo của số phức z là:

A. 5

B. 5i

C. -5

D. -5i

Xem đáp án

Phần ảo của số phức z = 9 - 5i là -5

Chọn C.

Câu 17:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z = 0.$ Trong ba điểm có tọa độ lần lượt là $(0; 0; 0), (1; 2; 3)$ và (2; 0; 6) thì có bao nhiêu điểm nằm trên mặt cầu (S).

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Thay tọa độ điểm (0; 0; 0) vào phương trình mặt cầu (S)

$0^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2.0 - 4.0 - 6.0 = 0 \Rightarrow (0; 0; 0) \in (S) .$

Thay tọa độ điểm (1; 2; 3) vào phương trình mặt cầu (S)

$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} - 2.1 - 4.2 - 6.3 = - 14 \neq 0 \Rightarrow (1; 2; 3) \in (S) .$

Thay tọa độ điểm (2; 0; 6) vào phương trình mặt cầu (S)

$2^{2} + 0^{2} + 6^{2} - 2.2 - 4.0 - 6.6 = 0 \Rightarrow (2; 0; 6) \in (S) .$

Vậy có 2 điểm nằm trên (S)

Chọn D.

Câu 18:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(3; + \infty)$

B. $(- \infty; - 2)$

C. (-3; 0)

D. (0; 3)

Xem đáp án

Từ BBT ta thấy hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 3)$ và (0; 3)

Chọn D.

Câu 19:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6?

A. 360

B. 6

C. 720

D. 1

Xem đáp án

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được 6! = 720 số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt.

Chọn C.

Câu 20:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} x = \frac{1}{3}$ là:

A. x = 27

B. $x = \sqrt[3]{3}$

C. $x = \frac{1}{3}$

D. $x = \frac{1}{27}$

Xem đáp án

$\log_{3} x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$ .

Chọn B.

Câu 21:

Một lớp học có 18 nam và 12 nữ. Số cách chọn hai bạn từ lớp học đó, trong đó có một nam và một nữ tham gia đội xung kích của nhà trường là:

A. 30

B. $C_{18}^{2} . C_{12}^{2}$

C. $C_{20}^{2}$

D. 216

Xem đáp án

Số cách chọn hai bạn từ lớp học đó, trong đó có một nam và một nữ tham gia đội xung kích của nhà trường là: $C_{18}^{1} . C_{12}^{1} = 216.$

Chọn D.

Câu 22:

Đạo hàm của hàm số y = log(tanx) tại điểm $x = \frac{π}{3}$ là:

A. $\frac{4}{3 \ln 10}$

B. $\frac{4 \sqrt{3}}{9 \ln 10}$

C. $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$

D. $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \ln 10}$

Xem đáp án

$y = \log (\tan x)$

$\Rightarrow y' = \frac{(\tan x)'}{\tan x . \ln 10} = \frac{1}{\cos^{2} x . \tan x . \ln 10}$

$= \frac{1}{\cos^{2} x . \frac{\sin x}{\cos x} . \ln 10} = \frac{1}{\sin x . \cos x . \ln 10}$

$\Rightarrow y' (\frac{π}{3}) = \frac{1}{\sin \frac{π}{3} \cos \frac{π}{3} \ln 10} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{1}{2} \ln 10} = \frac{4 \sqrt{3}}{3 \ln 10}$

Chọn D.

Câu 23:

Nếu

a^{\frac{1}{3}} > a^{\frac{1}{4}}

và

\log_{b} (\frac{4}{5}) > \log_{b} (\frac{5}{6})

thì:

A. $0 < a < 1, b > 1$

B. $0 < b < 1, a > 1$

C. $a > 1, b > 1$

D. $0 < a < 1, 0 < b < 1$

Xem đáp án

Vì $a^{\frac{1}{3}} > a^{\frac{1}{4}},$ lại có $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$ nên a > 1.

Vì $\log_{b} (\frac{4}{5}) > \log_{b} (\frac{5}{6}),$ lại có $\frac{4}{5} < \frac{5}{6}$ nên 0 < b < 1.

Chọn B.

Câu 24:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $M (1; 2; 4), A (1; 0; 0), B (0; 2; 0)$ và $C (0; 0; 4) .$ Phương trình mặt phẳng $(α)$ song song với mặt phẳng (ABC) và đi qua điểm M là:

A. $x + 2 y + 4 z - 21 = 0$

B. $x + 2 y + 4 z - 12 = 0$

C. $4 x + 2 y + z - 12 = 0$

D. $4 x + 2 y + z - 21 = 0$

Xem đáp án

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 4 x + 2 y + z - 4 = 0.$

Vì $(α) / / (P)$ nên phương trình $(α)$ dạng $4 x + 2 y + z + d = 0 (d \neq - 4) .$

Vì $M (1; 2; 4) \Rightarrow 4.1 + 2.2 + 4 + d = 0 \Rightarrow d = - 12.$

Vậy $(α) : 4 x + 2 y + z - 12 = 0.$

Chọn B.

Câu 25:

Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới đây?

A. $y = \frac{2 x - 7}{x - 2}$

B. $y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$

C. $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$

D. $y = \frac{1 - 2 x}{x - 2}$

Xem đáp án

Đồ thị hàm số có TCĐ x = 2 nên loại đáp án B.

Đồ thị hàm số có TCN y = 2 nên loại đáp án D.

Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 2), (2; + \infty)$ nên loại đáp án A vì $y' = \frac{3}{{(x - 2)}^{2}} > 0 \forall x \neq 2.$

Chọn C.

Câu 26:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết $A C = 2 a, B C = a, A A' = 2 a \sqrt{3},$ thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng:

A. $6 a^{3}$

B. $2 a^{3}$

C. $3 a^{3}$

D. $3 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B (ảnh 1)

Vì $Δ A B C$ vuông tại $B \Rightarrow A B = \sqrt{A C^{2} - B C^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3} .$

$\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . B C = \frac{1}{2} . a \sqrt{3} . a = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

Vậy $V_{A B C . A' B' C'} = A A' . S_{Δ A B C} = 2 a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = 3 a^{3} .$

Chọn C.

Câu 27:

Cho hai số phức z = 2 - 3i và w = -3 + 4i. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy điểm biểu diễn của số phức z.w có tọa độ là:

A. (6; 17)

B. (-18; 17)

C. (17; 6)

D. (17; -18)

Xem đáp án

Ta có: $z . w = (2 - 3 i) (- 3 + 4 i) = 6 + 17 i$ có điểm biểu diễn là (6; 17).

Chọn A.

Câu 28:

Nếu $\int_{2}^{2021} f (x) d x = 12$ và $\int_{2020}^{2021} f (x) d x = 2$ thì $\int_{2}^{2020} f (x) d x$ bằng:

A. -10

B. 10

C. 14

D. 24

Xem đáp án

Ta có:

$\int_{2}^{2021} f (x) d x = \int_{2}^{2020} f (x) d x + \int_{2020}^{2021} f (x) d x$

$\Rightarrow 12 = \int_{2}^{2020} f (x) d x + 2$

$\Rightarrow \int_{2}^{2020} f (x) d x = 12 - 2 = 10$

Chọn B.

Câu 29:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x . e^{x + 1}$ trên đoạn [-2; 4] là:

A. $4 e^{5}$

B. -2e

C. $\frac{- 2}{e}$

D. -1

Xem đáp án

Ta có: $f (x) = x . e^{x + 1}$

$\Rightarrow f' (x) = e^{x + 1} + x . e^{x + 1} = e^{x + 1} (x + 1) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \in [- 2; 4]$

Mà $f (- 2) = \frac{- 2}{e}; f (- 1) = - 1; f (4) = 4 e^{5} .$

Vậy $\min_{[- 2; 4]} f (x) = f (- 1) = - 1.$

Chọn D.

Câu 30:

Họ nguyên hàm của hàm số $y = \sqrt{5 - 3 x}$ là:

A. $\frac{2}{9} \sqrt{{(5 - 3 x)}^{3}} + C$

B. $- \frac{2}{5} \sqrt{5 - 3 x} + C$

C. $- \frac{2}{9} \sqrt{{(5 - 3 x)}^{3}} + C$

D. $\frac{1}{2} \sqrt{5 - 3 x} + C$

Xem đáp án

Ta có: $y = \sqrt{5 - 3 x} = {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$

$\Rightarrow \int \sqrt{5 - 3 x} d x = \int {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} d x$

$= - \frac{1}{3} . \frac{{(5 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = - \frac{2}{9} \sqrt{{(5 - 3 x)}^{3}} + C$

Chọn C.

Câu 31:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

S A ⊥ (A B C D) .

Biết

S A = a, A B = a

và

A D = 2 a .

Gọi G là trọng tâm tam giác SAD. Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBD) bằng:

A. $\frac{a}{3}$

B. $\frac{2 a}{9}$

C. $\frac{a}{6}$

D. $\frac{2 a}{3}$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc (ABCD) (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của SD ta có $A G \cap (S B D) = \{M\}$ nên $\frac{d (G; (S B D))}{d (A; (S B D))} = \frac{G M}{A M} = \frac{1}{3} .$

$\Rightarrow d (G; (S B D)) = \frac{1}{3} d (A; (S B D)) .$

Trong (ABCD) kẻ $A H ⊥ B D,$ trong (SAH) kẻ $A K ⊥ S H$

Ta có

$\{\begin{cases} B D ⊥ A H \\ B D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B D ⊥ (S A H) \Rightarrow B D ⊥ A K$

$\{\begin{cases} A K ⊥ B D \\ A K ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow A K ⊥ (S B D)$

$\Rightarrow d (A; (S B D)) = A K .$

Ta có: $A H = \frac{A B . A D}{\sqrt{A B^{2} + A D^{2}}} = \frac{a .2 a}{\sqrt{a^{2} + 4 a^{2}}} = \frac{2 a}{\sqrt{5}} .$

$\Rightarrow A K = \frac{S A . A H}{\sqrt{S A^{2} + A H^{2}}} = \frac{a . \frac{2 a}{\sqrt{5}}}{\sqrt{a^{2} + \frac{4 a^{2}}{5}}} = \frac{2 a}{3} .$

Vậy $d (G; (S B D)) = \frac{1}{3} d (A; (S B D)) = \frac{1}{3} . \frac{2 a}{3} = \frac{2 a}{9} .$

Chọn B.

Câu 32:

Tập hợp các giá trị của tham số thực m để hàm số $y = x^{4} - 2 (m + 2) x^{2} + 3 m - 1$ chỉ có điểm cực tiểu, không có điểm cực đại là:

A. $(- \infty; - 2)$

B. $\{2; - 2\}$

C. $(- 2; + \infty)$

D. $(- \infty; - 2]$

Xem đáp án

Để hàm số $y = x^{4} - 2 (m + 2) x^{2} + 3 m - 1$ chỉ có điểm cực tiểu, không có điểm cực đại thì $\{\begin{cases} 1 > 0 \\ - 2 (m + 2) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m + 2 < 0 \Leftrightarrow m < - 2.$

Vậy $m \in (- \infty; - 2) .$

Chọn A.

Câu 33:

Một lớp 12 có hai tổ, mỗi tổ có 16 học sinh. Trong kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông 2021, tổ 1 có 10 bạn đăng kí thi tổ hợp tự nhiên, 6 bạn đăng kí thi tổ hợp xã hội. Tổ 2 có 9 bạn đăng kí thi tổ hợp xã hội, 7 bạn đăng kí thi tổ hợp tự nhiên. Chọn ngẫu nhiên ở mỗi tổ một bạn. Xác suất để cả hai bạn được chọn đều đăng kí cùng tổ hợp dự thi tốt nghiệp là

A. $\frac{33}{64}$

B. $\frac{124}{C_{32}^{2}}$

C. $\frac{31}{64}$

D. $\frac{124}{A_{32}^{2}}$

Xem đáp án

Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một bạn $\Rightarrow$ Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{16}^{1} . C_{16}^{1} = 256.$

Gọi A là biến cố: “Xác suất để cả hai bạn được chọn đều đăng kí cùng tổ hợp dự thi tốt nghiệp”.

TH1: 2 bạn được chọn cùng đăng kí thi tổ hợp tự nhiên $\Rightarrow$ Có $C_{10}^{1} . C_{7}^{1} = 70$ cách.

TH2: 2 bạn được chọn cùng đăng kí thi tổ hợp xã hội $\Rightarrow$ Có $C_{6}^{1} . C_{9}^{1} = 54$ cách.

$\Rightarrow n (A) = 70 + 54 = 124.$

Vậy xác suất của biến cố A là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{124}{256} = \frac{31}{64} .$

Chọn C.

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có $(S A B) ⊥ (A B C D)$ có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB vuông tại $S, S A = a, S B = a \sqrt{3} .$ Giá trị tan của góc giữa hai đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là:

A. $\frac{\sqrt{21}}{7}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{5}$

C. $\frac{\sqrt{51}}{7}$

D. $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có (SAB)vuông góc (ABCD) có đáy ABCD (ảnh 1)

Trong (SAB) kẻ $S H ⊥ A B,$ chứng minh $S H ⊥ (A B C D) .$ Ta có:

$\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) = A B \\ S H \subset (S A B), S H ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow S H (A B C D) .$

$\Rightarrow$ HC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

$\Rightarrow ∠ (S C; (A B C D)) = ∠ (S C; H C) = ∠ S C H .$

$Δ S A B$ vuông tại S nên $S H = \frac{S A . S B}{\sqrt{S A^{2} + S B^{2}}} = \frac{a . a \sqrt{3}}{\sqrt{a^{2} + 3 a^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

$\Rightarrow H B = \sqrt{S B^{2} - S H^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{3 a}{2} .$

$\Rightarrow H C = \sqrt{B C^{2} - H B^{2}} = \sqrt{A B^{2} - H B^{2}}$

$= \sqrt{S A^{2} + S B^{2} - H B^{2}} = \sqrt{a^{2} + 3 a^{2} - \frac{9 a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{7}}{2}$

Vậy $\tan ∠ (S C; (A B C D)) = \tan ∠ S C H = \frac{S H}{H C} = \frac{\sqrt{21}}{7} .$

Chọn A.

Câu 35:

Tìm m để đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} - 3 x + 4}{x^{2} + m x + 1}$ có duy nhất một đường tiệm cận?

A. $m \in (- 2; 2)$

B. $m \in [- 2; 2]$

C. $m \in \{- 2; 2\}$

D. $m \in (2; + \infty)$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x^{2} - 3 x + 4}{x^{2} + m x + 1} = 2$ nên đồ thị có 1 TCN y = 2.

Xét $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ (vô nghiệm).

Do đó để hàm số đã cho có duy nhất một đường tiệm cận thì phương trình $x^{2} + m x + 1 = 0$ vô nghiệm

$\Rightarrow Δ = m^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.$

Chọn A.

Câu 36:

Mùa hè năm 2021, để chuẩn bị cho “học kì quân đội” dành cho các bạn nhỏ, một đơn vị bộ đội chuẩn bị thực phẩm cho các bạn nhỏ, dự kiến đủ dùng trong 45 ngày (năng suất ăn của mỗi ngày là như nhau). Nhưng bắt đầu từ ngày thứ 11, do số lượng thành viên tham gia tăng lên, nên lượng tiêu thụ thực phẩm tăng lên 10% mỗi ngày (ngày sau tăng 10% so với ngày trước đó). Hỏi thực tế lượng thức ăn đó đủ dùng cho bao nhiêu ngày?

A. 24

B. 25

C. 23

D. 26

Xem đáp án

Gọi lượng thức ăn dự kiến đủ dùng trong 1 ngày là x $\Rightarrow$ Tổng số thực phẩm là 45x.

Số thực phẩm dùng trong 10 ngày đầu là 10x

Số thực phẩm dùng trong ngày thứ 11 là: $x (1 + 0, 1) = 1, 1 x .$

Số thực phẩm dùng trong ngày thứ 12 là: $1, 1 x (1 + 0, 1) = 1, 1^{2} x .$

…

Số thực phẩm dùng trong ngày thứ n là: $1, 1^{n} x .$

$\Rightarrow$ Lượng thực phẩm tiêu thụ thực tế trong n + 10 ngày là:

$10 x + 1, 1 x + 1, 1^{2} x + ... + 1, 1^{n} x$

$= 10 x + 1, 1 x (1 + 1, 1 + ... + 1, 1^{n - 1})$

$= 10 x + 1, 1 x . \frac{1 (1 - 1, 1^{n})}{1 - 1, 1} = 10 x + 11 x (1, 1^{n} - 1)$

Để sau n + 10 ngày dùng sản phẩm thì

$10 x + 11 x (1, 1^{n} - 1) = 45 x$

$\Leftrightarrow 11 (1, 1^{n} - 1) = 35$

$\Leftrightarrow n \approx 15, 011$

Vậy lượng thực phẩm dự kiến đủ dùng cho 10 + 15 = 25 (ngày).

Chọn B.

Câu 37:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho với mỗi giá trị của m bất phương trình $\log_{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + m} + 3 \sqrt{\log_{4} (x^{2} - 2 x + m)} \leq 10$ nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc đoạn [0; 3]?

A. 13

B. 12

C. 23

D. 26

Xem đáp án

ĐK: $\{\begin{cases} x^{2} - 2 x + m > 0 \\ \log_{4} (x^{2} - 2 x + m) \geq 0 \end{cases} \forall x \in [0; 3] \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + m \geq 1 \forall x \in [0; 3] .$

$\Leftrightarrow m \geq - x^{2} + 2 x + 1 \forall x \in [0; 3] \Leftrightarrow m \geq \max_{[0; 3]} (- x^{2} + 2 x + 1) = 2 (*)$

Ta có:

$\log_{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + m} + 3 \sqrt{\log_{4} (x^{2} - 2 x + m)} \leq 10$

$\Leftrightarrow \log_{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + m} + 3 \sqrt{\log_{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + m}} \leq 10$

Đặt $t = \sqrt{\log_{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + m}} \geq \sqrt{\log_{2} 1} = 0.$

Ta có:

$t = \frac{(\log_{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + m})'}{2 \sqrt{\log_{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + m}}}$

$= \frac{\frac{2 x - 2}{2 \sqrt{x^{2} - 2 x + m} . \sqrt{x^{2} - 2 x + m} \ln 2}}{2 \sqrt{\log_{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + m}}}$

$= \frac{x - 1}{(x^{2} - 2 x + m) \ln 2.2 \sqrt{\log_{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + m}}}$

$t' = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

BBT:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho (ảnh 1)

Yêu cầu bài toán trở thành: bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc đoạn $[0; \sqrt{\log_{2} \sqrt{m + 3}}] .$

$\Rightarrow t \in [- 5; 2] \forall t \in [0; \sqrt{\log_{2} \sqrt{m + 3}}] .$

$\Rightarrow \sqrt{\log_{2} \sqrt{m + 3}} \leq 2 \Leftrightarrow \log_{2} \sqrt{m + 3} \leq 4 \Leftrightarrow \sqrt{m + 3} \leq 16 \Leftrightarrow m \leq 253.$

Kết hợp điều kiện (*) ta có $2 \leq m \leq 253.$ Lại có $m \in ℤ \Rightarrow$ Có 252 giá trị nguyên của thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 38:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)

Đặt $h (x) = |m - f (x - 2)|$ (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m sao cho hàm số y = h(x) có đúng 5 điểm cực trị?

A. Vô số

B. 12

C. 0

D. 10

Xem đáp án

Đặt $g (x) = m - f (x - 2) \Rightarrow h (x) = |g (x)|$ .

Ta có $g' (x) = - f' (x - 2) = 0 \Leftrightarrow f' (x - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 2 = a \\ x - 2 = b \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = a + 2 \\ x = b + 2 \end{array}$ .

$\Rightarrow$ Hàm số g(x) có 2 điểm cực trị.

Để hàm số $h (x) = |g (x)|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình g(x) = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có BBT:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên như sau (ảnh 2)

Phương trình g(x) = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m - 6 < 0 < m + 5 \Leftrightarrow - 5 < m < 6.$

Kết hợp điều kiện $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\} .$

Vậy có 10 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 39:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 2 x + 1 khi x >3 \\ a x - 3 a + 7 khi x \leq 3 \end{cases}, a$ là tham số thực. Nếu $\int_{0}^{1} f (e^{x} + 1) e^{x} d x = e^{2}$ thì a bằng:

A. $\frac{3 e^{2} + 4 e - 6}{e - 1}$

B. 6e - 6

C. 6e + 6

D. -6e + 6

Xem đáp án

Đặt $t = e^{x} + 1 \Rightarrow d t = e^{x} d x .$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 2 \\ x = 1 \Rightarrow t = e + 1 \end{cases} .$

Khi đó ta có

$\int_{0}^{1} f (e^{x} + 1) e^{x} d x = \int_{2}^{e + 1} f (t) d t = \int_{2}^{3} f (t) d t + \int_{3}^{e + 1} f (t) d t$

$= \int_{2}^{3} (a t - 3 a + 7) d t + \int_{3}^{e + 1} (2 t + 1) d t$

$= (a \frac{t^{2}}{2} - 3 a t + 7 t) |\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array} + (t^{2} + t) |\begin{array}{l} e + 1 \\ 3 \end{array}$

$= \frac{9 a}{2} - 9 a + 21 - (2 a - 6 a + 14) + {(e + 1)}^{2} + (e + 1) - 12$

$= - \frac{a}{2} + e^{2} + 3 e - 3$

$\Rightarrow - \frac{a}{2} + e^{2} + 3 e - 3 = e^{2}$

$\Rightarrow \frac{a}{2} = - 3 e + 3 \Leftrightarrow a = - 6 e + 6$

Chọn D.

Câu 40:

Cho hình nón (T) đỉnh S có đáy là đường tròn $(C_{1})$ tâm O bán kính bằng 2, chiều cao hình nón (T) bằng 2. Khi cắt hình nón (T) bởi mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn SO và song song với đáy của hình nón, ta được đường tròn $(C_{2})$ tâm I. Lấy hai điểm A và B lần lượt trên hai đường tròn $(C_{2})$ và $(C_{1})$ sao cho góc giữa $\vec{I A}$ và $\vec{O B}$ là $60^{0} .$ Thể tích của khối tứ diện IAOB bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{12}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{24}$

Xem đáp án

Cho hình nón (T) đỉnh S có đáy là đường tròn (C1) tâm O bán kính bằng 2 (ảnh 1)

Gọi $A' = S A \cap (C_{1}),$ áp dụng định lí Ta-lét ta có $\frac{I A}{O A'} = \frac{S I}{S O} = \frac{1}{2} \Rightarrow I A = \frac{1}{2} O A' = 1.$

Ta có IO vuông góc và cắt cả $I A, O B \Rightarrow I O$ là đoạn vuông góc chung của IA, OB.

$\Rightarrow d (I A; O B) = I O = \frac{1}{2} S O = 1.$

Vậy $V_{I A O B} = \frac{1}{6} I A . O B . d (I A; O B) . \sin ∠ (I A; O B) = \frac{1}{6} .1.2.1. \sin 60^{0} = \frac{\sqrt{3}}{6} .$

Chọn A.

Câu 41:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $|z - 5| + |z + 5| = 12$ là:

A. Một đường parabol

B. Một đường elip

C. Một đường tròn

D. Một đường thẳng

Xem đáp án

Gọi M là điểm biểu diễn số phức $z, F_{1}, F_{2}$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z_{1} = 5$ và $z_{2} = - 5.$

Khi đó ta có $M F_{1} + M F_{2} = 12.$

Ta có $F_{1} F_{2} = 10 \Rightarrow M F_{1} + M F_{2} > F_{1} F_{2}$

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là elip có $a = 6, c = 5 \Rightarrow b = \sqrt{6^{2} - 5^{2}} = \sqrt{11} .$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là $(E) : \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{11} = 1.$

Chọn B.

Câu 42:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 5) và B(-1; 2; 7). Điểm M thay đổi nhưng luôn thuộc mặt phẳng (P) có phương trình

3 x - 5 y + z - 9 = 0.

Giá trị nhỏ nhất của tổng

M A^{2} + M B^{2}

là:

A. 12

B. $\frac{441}{35}$

C. $\frac{858}{35}$

D. $\frac{324}{35}$

Xem đáp án

Gọi I là trung điểm của AB.

Ta có:

$M A^{2} + M B^{2} = {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2}$

$= {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2}$

$= 2 M I^{2} + I A^{2} + I B^{2} + 2 \vec{M I} (\vec{I A} + \vec{I B})$

$= 2 M I^{2} + \frac{1}{4} A B^{2} + \frac{1}{4} A B^{2}$

$= 2 M I^{2} + \frac{1}{2} A B^{2}$

Vì $A B^{2} = {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2} = 12$ không đổi nên $M A^{2} + M B^{2}$ đạt GTNN khi $M I_{\min} .$

Khi đó $M I_{\min} = d (I; (P)) = \frac{|3.0 - 5.3 + 6 - 9|}{\sqrt{3^{2} + {(- 5)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{18}{\sqrt{35}} .$

Vậy ${(M A^{2} + M B^{2})}_{\min} = 2. \frac{18^{2}}{35} + \frac{1}{2} .12 = \frac{858}{35} .$

Chọn C.

Câu 43:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 3}{1}$ và $d_{1} : \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 3}{1}$ . Đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 0; 3) vuông góc với $d_{1}$ và cắt $d_{2}$ có phương trình là:

A. $\frac{x + 2}{- 2} = \frac{y}{6} = \frac{z - 3}{- 18}$

B. $\frac{x + 2}{- 1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 3}{9}$

C. $\frac{x + 2}{- 2} = \frac{y}{6} = \frac{z + 3}{18}$

D. $\frac{x}{- 1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{9}$

Xem đáp án

Gọi $A = d \cap d_{2} \Rightarrow A (2 - 2 t; 3 + t; 9 + 4 t)$ .

$\Rightarrow \vec{M A} = (4 - 2 t; 3 + t; 6 + 4 t)$ là 1 VTCP của d.

Vì $d ⊥ d_{1}$ nên $\vec{M A} ⊥ \vec{u_{1}}$ với $\vec{u_{1}} = (3; - 2; 1)$ là 1 VTCP của $d_{1} .$

$\Rightarrow \vec{M A} . \vec{u_{1}} = 0$

$\Rightarrow (4 - 2 t) .3 + (3 + t) . (- 2) + (6 + 4 t) .1 = 0$

$\Leftrightarrow 12 - 6 t - 6 - 2 t + 6 + 4 t = 0$

$\Leftrightarrow 12 - 4 t = 0 \Leftrightarrow t = 3$

$\Rightarrow \vec{M A} = (- 2; 6; 18) = 2 (- 1; 3; 9) .$

Vậy phương trình đường thẳng d là $\frac{x + 2}{- 1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 3}{9} .$

Chọn B.

Câu 44:

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn $z^{2} = {|z|}^{2} - 2 \vec{z} .$ Tổng phần thực của các số phức thuộc bằng:

A. 0

B. -2

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đặt $z = a + b i (a; b \in ℝ) \Rightarrow \bar{z} = a - b i .$

Theo bài ra ta có:

$z^{2} = {|z|}^{2} - 2 \bar{z}$

$\Rightarrow {(a + b i)}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 (a - b i)$

$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} + 2 a b i = a^{2} + b^{2} - 2 a + 2 b i$

$\Leftrightarrow 2 a b i = 2 b^{2} - 2 a + 2 b i$

$\Leftrightarrow a b i = b^{2} - a + b i$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{2} - a = 0 \\ a b = b \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{2} = a \\ b (a - 1) = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = b \Rightarrow a = 0 \\ a = 1 \Rightarrow b = \pm 1 \end{array}$

$\Rightarrow S = \{0; 1 + i; 1 - i\} .$

Vậy tổng phần thực của các số phức thuộc S bằng $0 + 1 + 1 = 2.$

Chọn D.

Câu 45:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, H là điểm thỏa mãn

\vec{H B} = - 2 \vec{H A}

và

S H ⊥ (A B C),

các mặt bên (SAC) và (SBC) cùng tạo với đáy một góc

45^{0} .

Biết

S B = a \sqrt{6},

thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

A. $\frac{3 a^{3}}{4}$

B. $\frac{9 a^{3}}{4}$

C. $\frac{3 \sqrt{2} a^{3}}{4}$

D. $\frac{3 a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, H là điểm (ảnh 1)

Trong (ABC) kẻ $H M ⊥ B C, H N ⊥ A C .$

Ta có: $\{\begin{cases} A C ⊥ H N \\ A C ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow A C ⊥ (S H N) \Rightarrow A C ⊥ S N .$

$\{\begin{cases} (S A C) \cap (A B C) = A C \\ S N \subset (S A C), S N ⊥ A C \\ H N \subset (A B C), H N ⊥ A C \end{cases} \Rightarrow ∠ ((S A C); (A B C)) = ∠ (S N; H N) = ∠ S N H = 45^{0}$

CMTT ta có $∠ S M H = 45^{0} .$

$\Rightarrow Δ S H N, Δ S H M$ là các tam giác vuông cân tại $H \Rightarrow S H = H M = H N .$

$\Rightarrow C M H N$ là hình vuông $\Rightarrow C M = H N = H M = S H .$

Áp dụng định lí Ta-lét ta có $\frac{H N}{B C} = \frac{A H}{A B} = \frac{1}{3} \Rightarrow H N = \frac{1}{3} B C \Rightarrow C M = \frac{1}{3} B C .$

$\Rightarrow B M = 2 M C = 2 S H .$

Áp dụng định lí Pytago ta có: $S B^{2} = S H^{2} + H B^{2} = S H^{2} + B M^{2} + M H^{2}$

$\Rightarrow 6 a^{2} = S H^{2} + 4 S H^{2} + S H^{2} = 6 S H^{2} \Rightarrow S H = a .$

$\Rightarrow B C = 3 C M = 3 S H = 3 a .$

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{M H}{A C} = \frac{B H}{B A} = \frac{2}{3} \Rightarrow A C = \frac{3}{2} M H = \frac{3}{2} S H = \frac{3 a}{2}$

$\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A C . B C = \frac{1}{2} . \frac{3 a}{2} .3 a = \frac{9 a^{2}}{4} .$

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S H . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . a . \frac{9 a^{2}}{4} = \frac{3 a^{3}}{4} .$

Chọn A.

Câu 46:

Gọi X là tập hợp các giá trị của tham số m thỏa mãn đường thẳng $(d) : y = - 12 m - 7$ cùng với đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} - 4 x - 1$ tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là $S_{1}$ và $S_{2}$ thỏa mãn $S_{1} = S_{2}$ (xem hình vẽ). Tích các giá trị của các phần tử của X là:

Gọi X là tập hợp các giá trị của tham số m thỏa mãn đường thẳng (d) (ảnh 1)

A. 9

B. -9

C. 27

D. $\frac{- 9}{2}$

Xem đáp án

Ta có:

$y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} - 4 x - 1$

$\Rightarrow y' = x^{2} - 2 m x - 4$

$\Rightarrow y " = 2 x - 2 m$

$y " = 0 \Leftrightarrow 2 x - 2 m = 0 \Leftrightarrow x = m .$

Với $x = m \Rightarrow y = \frac{1}{3} m^{3} - m^{3} - 4 m - 1 = - \frac{2}{3} m^{3} - 4 m - 1.$

$\Rightarrow I (m; - \frac{2}{3} m^{3} - 4 m - 1)$ là điểm uốn của đồ thị hàm số.

Vì đường thẳng d cùng với đồ thị (C) tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là $S_{1}$ và $S_{2}$ thỏa mãn $S_{1} = S_{2}$ nên $I \in d .$

$\Rightarrow - \frac{2}{3} m^{3} - 4 m - 1 = - 12 m - 7 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} m^{3} + 8 m + 6 = 0$

$\Leftrightarrow (m + 3) (m^{2} - 3 m + 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 3 \\ m = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2} \end{array} .$

$\Rightarrow X = \{3; \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\} .$

Vậy tích các phần tử của X bằng 9.

Chọn A.

Câu 47:

Cho f(x) là hàm số bậc bốn thỏa mãn $f (0) = \frac{1}{2021} .$ Hàm số f'(x) có bảng biến thiên như sau:

Cho f(x) là hàm số bậc bốn thỏa mãn f(0) = 1/2021 (ảnh 1)

Hàm số $g (x) = |f (x^{3}) + x|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 5

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Xét hàm số $h (x) = f (x^{3}) + x$ ta có $h' (x) = 3 x^{2} f' (x^{3}) + 1 = 0 \Leftrightarrow f' (x^{3}) = - \frac{1}{3 x^{2}} (*) .$

Đặt $t = x^{3} \Rightarrow x = \sqrt[3]{t},$ khi đó $(*) \Leftrightarrow f' (t) = - \frac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}} (* *) .$

Xét hàm số $y = - \frac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}} = - \frac{1}{3} . t^{\frac{- 2}{3}}$ ta có $y' = - \frac{1}{3} . (- \frac{2}{3}) t^{- \frac{5}{3}} = \frac{2}{9 \sqrt[3]{t^{5}}} .$

$\Rightarrow \{\begin{cases} y' < 0 khi t < 0 \\ y' > 0 khi t > 0 \end{cases} .$

BBT hai hàm số f'(t) và $y = - \frac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}$ như sau:

Cho f(x) là hàm số bậc bốn thỏa mãn f(0) = 1/2021 (ảnh 2)

Dựa vào BBT ta thấy (**) có nghiệm duy nhất $t = t_{0} > 0.$

Suy ra hàm số h(x) có 1 điểm cực trị nên ta có BBT hàm số h(x) như sau:

Cho f(x) là hàm số bậc bốn thỏa mãn f(0) = 1/2021 (ảnh 3)

Dựa vào BBT ta thấy phương trình h(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy hàm số $g (x) = |h (x)|$ có 2 + 1 = 3 điểm cực trị.

Chọn D.

Câu 48:

Xét các số phức z thỏa mãn |z - 1| = 2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z + 2| + 2 |3 - \bar{z}| .$ Tổng M + m bằng:

A. 14

B. 7

C. $\frac{45 + 3 \sqrt{55}}{5}$

D. $\frac{15 + 5 \sqrt{33}}{3}$

Xem đáp án

Gọi $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ và M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z

Gọi I(1; 0) là điểm biểu diễn số phức 1.

Theo bài ra ta có $|z - 1| = 2 \Rightarrow I M = 2 \Rightarrow M \in (1; 2) .$

Gọi A(-2; 0) là điểm biểu diễn số phức -2, B(3; 0) là điểm biểu diễn số phức 3.

Ta có: $P = |z + 2| + 2 |3 - \bar{z}| = |z + 2| + 2 |\bar{3 - z}| = |z + 2| + 2 |3 - z| = M A + 2 M B .$

Xét các số phức z thỏa mãn |z - 1| = 2. Gọi M và m lần lượt là (ảnh 1)

Ta có $P = M A + 2 M B \geq A B = 5 \Rightarrow m = 5.$ Dấu “=” xảy ra khi $M \equiv B .$

Ta có: $\vec{I A} = - \frac{3}{2} \vec{I B} .$

$M A^{2} = {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} = M I^{2} + I A^{2} + 2 \vec{M I} . \vec{I A} = M I^{2} + I A^{2} - 3 \vec{M I} . \vec{I B}$

$M B^{2} = {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} = M I^{2} + I B^{2} + 2 \vec{M I} . \vec{I B}$

$\Rightarrow M A^{2} + \frac{3}{2} M B^{2} = \frac{5}{2} M I^{2} + I A^{2} + \frac{3}{2} I B^{2} = 5 R^{2} + I A^{2} + \frac{3}{2} I B^{2} = 25$

Ta có: $(M A + 2 M B^{2}) = {(M A + \frac{2 \sqrt{6}}{3} . \frac{\sqrt{6}}{2} M B)}^{2} = \frac{11}{3} (M A^{2} + \frac{3}{2} M B^{2}) = \frac{275}{3} .$

$\Rightarrow M = P_{m a x} = \frac{5 \sqrt{33}}{3} .$

Vậy $M + m = \frac{5 \sqrt{33}}{3} + 5 = \frac{15 + 5 \sqrt{33}}{3} .$

Chọn D.

Câu 49:

Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn $\log_{5} {[(x + 2) (y + 1)]}^{y + 1} = 125 - (x - 1) (y + 1) .$ Giá trị của biểu thức $P = x + 5 y$ là:

A. $P_{\min} = 125$

B. $P_{\min} = 57$

C. $P_{\min} = 43$

D. $P_{\min} = 25$

Xem đáp án

Với x, y > 0 ta có:

$\log_{5} {[(x + 2) (y + 1)]}^{y + 1} = 125 - (x - 1) (y + 1)$

$\Leftrightarrow (y + 1) [\log_{5} (x + 2) + \log_{5} (y + 1)] = 125 - (x - 1) (y + 1)$

$\Leftrightarrow \log_{5} (x + 2) + \log_{5} (y + 1) = \frac{125}{y + 1} - x + 1$

$\Leftrightarrow \log_{5} (x + 2) + \log_{5} (y + 1) = \frac{125}{y + 1} - (x + 2) + 3$

$\Leftrightarrow \log_{5} (x + 2) + (x + 2) = \log_{5} \frac{125}{y + 1} + \frac{125}{y + 1}$

Xét hàm đặc trưng $f (t) = \log_{5} t + t (t > 0)$ ta có $f' (t) = \frac{1}{t \ln 5} + 1 > 0 \forall t > 0$ suy ra hàm số đồng biến trên $(0; + \infty),$ do đó $f (x + 2) = f (\frac{125}{y + 1}) \Leftrightarrow x + 2 = \frac{125}{y + 1} \Leftrightarrow x = \frac{125}{y + 1} - 2.$

Khi đó ta có $P = x + 5 y = \frac{125}{y + 1} - 2 + 5 y .$

$\Rightarrow P = \frac{125}{y + 1} + 5 (y + 1) - 7 \geq 2 \sqrt{\frac{125}{y + 1} .5 (y + 1)} - 7 = 43.$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{125}{y + 1} = 5 (y + 1) \Leftrightarrow {(y + 1)}^{2} = 25 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y + 1 = 5 \\ y + 1 = - 5 \end{array} \Leftrightarrow y = 4$ (do y > 0).

Với $y = 4 \Rightarrow x = \frac{125}{5} - 2 = 23.$

Vậy $P_{\min} = 43 \Leftrightarrow x = 23, y = 4.$

Chọn C.

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu $(S_{1}) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$ và $(S_{2}) : {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 1.$ Gọi M là điểm thay đổi, thuộc mặt cầu $(S_{2})$ sao cho tồn tại ba mặt phẳng đi qua M, đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu $(S_{1})$ theo ba đường tròn. Giá trị lớn nhất của tổng chu vi ba đường tròn đó là:

A. $8 π$

B. $4 \sqrt{6} π$

C. $2 \sqrt{30} π$

D. $4 π$

Xem đáp án

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu (S1) (ảnh 1)

Mặt cầu $(S_{1}) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$ có tâm $I_{1} (2; - 3; 1)$ , bán kính $R_{1} = 2.$

Mặt cầu $(S_{2}) : {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 1$ có tâm $I_{2} (3; - 1; - 1)$ , bán kính $R_{2} = 1.$

Ta có: $I_{1} I_{2} = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}} = 3 = R_{1} + R_{2} .$

$\Rightarrow (S_{1}), (S_{2})$ tiếp xúc ngoài.

Gọi $(P), (Q), (R)$ là 3 mặt phẳng đi qua M đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu $(S_{1})$ theo ba đường tròn.

Gọi $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $I_{1}$ lên $(P), (Q), (R) .$

$r_{1}, r_{2}, r_{3}$ theo thứ tự là bán kính các đường tròn tâm $H_{1}, H_{2}, H_{3} .$

Khi đó ta có $I_{1} H_{1}^{2} + I_{1} H_{2}^{2} + I_{1} H_{3}^{2} = I_{1} M^{2}$

$\Leftrightarrow 4 - r_{1}^{2} + 4 - r_{2}^{2} + 4 - r_{3}^{2} = I_{1} M^{2}$

Tổng chu vi 3 đường tròn là:

$T = 2 π r_{1} + 2 π r_{2} + 2 π r = 2 π (r_{1} + r_{2} + r_{3})$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

${(r_{1} + r_{2} + r_{3})}^{2} \leq (1^{2} + 1^{2} + 1^{2}) (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{3}^{2})$

$\Rightarrow r_{1} + r_{2} + r_{3} \leq \sqrt{3 (12 - I_{1} M^{2})}$

$\Rightarrow T \leq 2 π \sqrt{3 (12 - I_{1} M^{2})} \leq 2 π \sqrt{3 (12 - R_{1}^{2})} = 2 π \sqrt{3 (12 - 4)} = 4 π \sqrt{6} .$

Vậy $T_{\max} = 4 π \sqrt{6} .$ Dấu “=” xảy ra khi $r_{1} = r_{2} = r_{3}, I_{1} M = 2.$

Chọn B.