50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 22)

Câu 1:

Hình nón có đường sinh l = 2a và hợp với đáy góc $α = 60^{0} .$ Diện tích toàn phần của hình nón bằng

A. $4 π a^{2} .$

B. $2 π a^{2} .$

C. $3 π a^{2} .$

D. $π a^{2} .$

Xem đáp án

Hình nón có đường sinh l = 2a và hợp với đáy góc anpha = 60 độ (ảnh 1)

Ta có: $\cos α = \frac{r}{l} \Rightarrow r = l . \cos α = 2 a . \frac{1}{2} = a .$

Vậy $S_{t p} = S_{x q} + π r^{2} = π r l + π r^{2} = 2 π a^{2} + π a^{2} = 3 π a^{2} .$

Chọn C.

Câu 2:

Cho số phức z thỏa mãn $3 (\bar{z} + i) - (2 - i) z = 3 + 10 i .$ Mô đun của z bằng

A. 3

B. 5

C. $\sqrt{5}$

D. $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ)$

Phương trình đã cho $\Leftrightarrow 3 (x - y i + i) - (2 - i) (x + y i) = 3 + 10 i$

$\Leftrightarrow x - y + i (x - 5 y + 3) = 3 + 10 i$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y = 3 \\ x - 5 y + 3 = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 1 \end{cases} .$ Vậy $|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{5} .$

Chọn C.

Câu 3:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như sau

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f(x) = m có nghiệm duy nhất?

A. 6

B. 7

C. 5

D. 8

Xem đáp án

Để phương trình f(x) = m có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ - 5 < m \leq 1 \end{array} .$

Do m là số nguyên $\Rightarrow m \in \{- 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2\} .$

Chọn B.

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + (m^{2} + 1) x + m^{2} - 2$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] bằng 7.

A. $m = \pm 3$

B. $m = \pm \sqrt{7}$

C. $m = \pm \sqrt{2}$

D. $m = \pm 1$

Xem đáp án

Ta có: $f' (x) = 3 x^{2} + m^{2} + 1 > 0 \forall x \in [0; 2]$

$\Rightarrow \underset{[0; 2]}{M i n} f (x) = f (0) \Leftrightarrow 7 - m^{2} - 2 \Leftrightarrow m = \pm 3.$

Chọn A.

Câu 5:

Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và $A B = 2 a, A C = 3 a, A D = 4 a .$ Thể tích của khối tứ diện đó là

A. $8 a^{3} .$

B. $4 a^{3} .$

C. $6 a^{3} .$

D. $12 a^{3} .$

Xem đáp án

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{6} A B . A C . A D = \frac{1}{6} .2 a .3 a .4 a = 4 a^{3} .$

Chọn B.

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D),$ đáy ABCD là hình chữ nhật có $A B = a \sqrt{3}; A D = a \sqrt{2} .$ Khoảng cách giữa SD và BC bằng

A. $\frac{2 a}{3} .$

B. $a \sqrt{3} .$

C. $\frac{3 a}{4} .$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABCD), đáy ABCD là (ảnh 1)

Ta có: $\{\begin{cases} B C / / A D \\ A D \subset (S A D) \\ B C ⊄ (S A D) \end{cases} \Rightarrow B C / / (S A D) .$

Mà $S D \subset (S A D) .$

Do đó: $d (B C; S D) = d (B C; (S A D)) = d (B; (S A D)) .$

Lại có: $\{\begin{cases} A B ⊥ A D \\ A B ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S A D) .$

$\Rightarrow d (B; (S A D)) = A B = a \sqrt{3} .$

Vậy $d (B C; S D) = a \sqrt{3} .$

Chọn B.

Câu 7:

Cho $\int_{16}^{55} \frac{d x}{x \sqrt{x + 9}} = a \ln 2 + b \ln 5 + c \ln 11$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a - b = -c

B. a + b = c

C. a + b = 3c

D. a - b = -3c

Xem đáp án

Đặt $t = \sqrt{x + 9} \Rightarrow t^{2} = x + 9 \Rightarrow [\begin{array}{l} 2 t d t = d x \\ x = t^{2} - 9 \end{array}$

Đổi cận $[\begin{array}{l} x = 16 \Rightarrow t = 5 \\ x = 55 \Rightarrow t = 8 \end{array}$

$\Rightarrow \int_{16}^{55} \frac{d x}{x \sqrt{x + 9}} = \int_{5}^{8} \frac{2 t d t}{(t^{2} - 9) t} = 2 \int_{5}^{8} \frac{d t}{t^{2} - 9} = \frac{1}{3} \int_{5}^{8} (\frac{1}{t - 3} - \frac{1}{t + 3}) d t = \frac{1}{3} \ln |t - 3| |\begin{array}{l} 8 \\ 5 \end{array} - \frac{1}{3} \ln |t + 3| |\begin{array}{l} 8 \\ 5 \end{array}$

$= \frac{2}{3} \ln 2 + \frac{1}{3} \ln 5 - \frac{1}{3} \ln 11 \Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{2}{3} \\ b = \frac{1}{3} \\ c = - \frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow a - b = - c .$

Chọn A.

Câu 8:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin3x

A. -cos3x + C

B. $\frac{1}{3} \cos 3 x + C .$

C. cos3x + C

D. $- \frac{1}{3} \cos 3 x + C .$

Xem đáp án

Ta có $\int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} \sin 3 x d x = - \frac{1}{3} \cos 3 x + C .$

Chọn D.

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và B(3; 4; 7). Phương trình mặt trung trực của đoạn thẳng AB là

A. $x + y + 2 z = 0.$

B. $x + y + 2 z + 10 = 0.$

C. $x + y + 2 z - 9 = 0.$

D. $x + y + 2 z - 15 = 0.$

Xem đáp án

Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm I(2; 3; 5)

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I(2; 3; 5) và nhận $\vec{n} = \frac{1}{2} \vec{A B} = (1; 1; 2)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng là:

$1 (x - 2) + 1 (y - 3) + 2 (z - 5) = 0 \Leftrightarrow x + y + 2 z - 15 = 0.$

Chọn D.

Câu 10:

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $2^{2 x - 1} + m^{2} - m = 0$ có nghiệm.

A. m < 0

B. 0 < m < 1

C. m < 0; m > 1

D. m > 1

Xem đáp án

Ta có $2^{2 x - 1} + m^{2} - m = 0 \Leftrightarrow 2^{2 x - 1} = - m^{2} + m .$

Vì $2^{2 x - 1} > 0, \forall x \in ℝ$ nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $- m^{2} + m > 0 \Leftrightarrow 0 < m < 1.$

Chọn B.

Câu 11:

Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f(2) = 16 và $\int_{0}^{2} f (x) d x = 4.$ Tính $\int_{0}^{1} x . f' (2 x) d x .$

A. 12.

B. 13.

C. 20.

D. 7.

Xem đáp án

Đặt $t = 2 x \Rightarrow d t = 2 d x .$

Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0; x = 1 \Rightarrow t = 2.$

$I = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} t . f' (t) d t$

Đặt $\{\begin{cases} u = t \\ d v = f' (t) d t \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d t \\ v = f (t) \end{cases} .$

$I = \frac{1}{4} (t f (t) |\begin{array}{l} 2 \\ 0 \end{array} - \int_{0}^{2} f (t) d t) = \frac{1}{4} (2 f (2) - 0. f (0) - 4) = \frac{1}{4} (2.16 - 4) = 7.$

Chọn D.

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng $4 x - 4 y + 2 z - 7 = 0$ và $2 x - 2 y + z + 4 = 0$ chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là

A. $V = \frac{125}{8} .$

B. $V = \frac{81 \sqrt{3}}{8} .$

C. $V = \frac{9 \sqrt{3}}{2} .$

D. $V = \frac{27}{8} .$

Xem đáp án

Đặt $(P) : 4 x - 4 y + 2 z - 7 = 0$ và $(Q) : 2 x - 2 y + z + 4 = 0.$

Vì hai mp (P) và (Q) song song nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó bằng độ dài cạnh hình lập phương.

Chọn điểm M(-2; 0; 0) $\in m p : 2 x - 2 y + z + 4 = 0 (Q) .$

Suy ra $d ((P), (Q)) = d (M, (P)) = \frac{5}{2} = a .$

Vậy thể tích của khối lập phương $V = a^{3} = \frac{125}{8} .$

Chọn A.

Câu 13:

Hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 4.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A (ảnh 1)

Gọi E, F, D lần lượt là trung điểm các cạnh bên AA', BB', CC'.

Gọi I, J lần lượt trung điểm các cạnh B'C' và BC. Ta có hai mp (DFE) và (AA'Ị) là hai mặt phẳng đối xứng của hình lăng trụ đứng đã cho.

Chọn C.

Câu 14:

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |2z - 1| = 1 là

A. Đường tròn có bán kính bằng $\frac{1}{2} .$

B. Đường tròn có bán kính bằng 1.

C. Một đường thẳng.

D. Một đoạn thẳng.

Xem đáp án

Gọi số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$

Ta có $|2 z - 1| = 2 \Leftrightarrow |2 (a + b i) - 1| = 1$

$\Leftrightarrow |(2 a - 1) + 2 b i| = 1 \Leftrightarrow {(2 a - 1)}^{2} + 4 b^{2} = 1$

$\Leftrightarrow {(a - \frac{1}{2})}^{2} + b^{2} = \frac{1}{4} .$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |2z - 1| = 1 là đường tròn có bán kính $\frac{1}{2} .$

Chọn A.

Câu 15:

Nếu $\int_{0}^{m} (2 x - 1) d x = 2$ thì m có giá trị bằng

A. $[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 2 \end{array} .$

B. $[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 2 \end{array} .$

C. $[\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - 2 \end{array} .$

D. $[\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 2 \end{array} .$

Xem đáp án

Ta có $\int_{0}^{m} (2 x - 1) d x = 2$

$\Rightarrow (x^{2} - x) |\begin{array}{l} m \\ 0 \end{array} = 2 \Leftrightarrow m^{2} - m = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - 1 \end{array} .$

Chọn D.

Câu 16:

Biết $\int_{0}^{1} \frac{3 x - 1}{x^{2} + 6 x + 9} d x = 3 \ln \frac{a}{b} - \frac{5}{6},$ trong đó a, b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó $a^{2} - b^{2}$ bằng

A. 5.

B. 7.

C. 6.

D. 9.

Xem đáp án

Ta có $\int_{0}^{1} \frac{3 x - 1}{x^{2} + 6 x + 9} d x = \int_{0}^{1} [\frac{3}{x + 3} - \frac{10}{{(x + 3)}^{2}}] d x = (3 \ln |x + 3| + \frac{10}{x + 3}) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = 3 \ln \frac{4}{3} - \frac{5}{6} .$

Vậy $\{\begin{cases} a = 4 \\ b = 3 \end{cases} \Rightarrow a^{2} - b^{2} = 4^{2} - 3^{2} = 7.$

Chọn B.

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A, A B C = 30^{0} .$ Tam giác SAB đều cạnh a và hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB. Thể tích của khối chóp S.ABC là

A. $\frac{a^{3}}{12} .$

B. $\frac{a^{3}}{18} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9} .$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm cạnh AB

Xét tam giác ABC ta có $A C = A B . \tan \hat{A B C} = \frac{a \sqrt{3}}{3} .$

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{6}$ và $S H = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3} S_{A B C} . S H = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{6} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3}}{12} .$

Chọn A.

Câu 18:

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

A. $y = x^{2} - 3 x .$

B. $y = x^{4} + 2 x .$

C. $y = x^{3} - 3 x + 1.$

D. $y = \frac{3 x + 1}{2 x - 1} .$

Xem đáp án

Xét đáp án D: $y = \frac{3 x + 1}{2 x - 1}$

Tập xác định: $D = ℝ \ \{\frac{1}{2}\} .$

$\Rightarrow y' = \frac{3 (2 x - 1) - 2 (3 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{- 5}{{(2 x - 1)}^{2}} < 0; \forall x \neq \frac{1}{2} .$

$\Rightarrow$ Hàm số luôn nghịch biến với $\forall x \neq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = \frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ không có cực trị.

Chọn D.

Câu 19:

Tính thể tích V của khối trụ có chu vi đáy là $2 π,$ chiều cao là $\sqrt{2} ?$

A. $V = 2 π .$

B. $V = \sqrt{2} π .$

C. $V = \frac{\sqrt{2} π}{3} .$

D. $V = \frac{2 π}{3} .$

Xem đáp án

Gọi R là bán kính đáy của hình trụ.

Chu vi đáy hình trụ là $2 π R = 2 π \Rightarrow R = 1.$

Thể tích khối trụ là $V = π . R^{2} . h = π \sqrt{2} .$

Chọn B.

Câu 20:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số có ba điểm cực trị.

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.

D. Hàm số có hai điểm cực tiểu.

Xem đáp án

Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.

Chọn B.

Câu 21:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{2} - x, y = 2 x - 2, x = 0, x = 3$ được tính bởi công thức

A. $S = \frac{3}{4}$

B. $S = \frac{7}{6}$

C. $S = \frac{11}{6}$

D. $S = \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S = \int_{0}^{3} |x^{2} - x - 2 x + 2| d x = \frac{11}{6} .$

Chọn C.

Câu 22:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α) : x + y - z + 1 = 0$ và $(β) : - 2 x + m y + 2 z - 2 = 0.$ Tìm m để $(α)$ song song với $(β)$

A. m = 2

B. m = 5

C. m = -2

D. Không tồn tại m

Xem đáp án

Hai mặt phẳng đã cho song song $\Leftrightarrow \frac{- 2}{1} = \frac{m}{1} = \frac{2}{- 1} \neq \frac{- 2}{1}$ do đó không tồn tại giá trị nào của m.

Chọn D.

Câu 23:

Cho $(u_{n})$ là cấp số nhân có $u_{1} = 2, q = 3.$ Tính $u_{3} .$

A. 6.

B. 8.

C. 9.

D. 18.

Xem đáp án

Ta có $u_{3} = u_{1} . q^{2} = {2.3}^{2} = 18.$

Chọn D.

Câu 24:

Hàm số $y = \log_{\frac{e}{3}} (x - 1)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $[1; + \infty) .$

B. $(0; + \infty) .$

C. $(1; + \infty) .$

D. $ℝ$

Xem đáp án

TXĐ: $D = (1; + \infty)$

Vì $0 < \frac{e}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $(1; + \infty) .$

Chọn C.

Câu 25:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) \geq 0$ là

A. $(- \infty; 2] .$

B. (1; 2).

C. $[2; + \infty) .$

D. (1; 2].

Xem đáp án

Điều kiện: $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1.$

$\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) \geq 0 \Leftrightarrow x - 1 \leq 1 \Leftrightarrow x \leq 2.$

Kết hợp điều kiện ta có: $1 < x \leq 2.$

Chọn D.

Câu 26:

Môđun của số phức z = 2 - 3i bằng

A. 13

B. 5

C. $\sqrt{13} .$

D. $\sqrt{5} .$

Xem đáp án

Ta có: $|z| = \sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{13} .$

Chọn C.

Câu 27:

Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C vào sáu ghế quanh một bàn tròn (mỗi học sinh ngồi đúng một ghế). Tính xác suất để học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp B

A. $\frac{2}{7} .$

B. $\frac{3}{14} .$

C. $\frac{1}{10} .$

D. $\frac{2}{3} .$

Xem đáp án

Xét ngẫu nhiên 6 học sinh vào một bàn tròn, số phần tử của không gian mẫu là: $n (Ω) = 5! .$

Gọi E là biến cố “học sinh lớp C ngồi giữa hai học sinh lớp B”.

- Lấy 1 học sinh lớp C làm chuẩn, xếp hai học sinh lớp B ngồi hai bên học sinh lớp C có: 2! cách.

- Xếp 3 học sinh lớp A vào ba vị trí còn lại có: 3! cách.

$\Rightarrow n (E) = 2! .3! = 12.$

$\Rightarrow P (E) = \frac{n (E)}{n (Ω)} = \frac{12}{5!} = \frac{1}{10} .$

Chọn C.

Câu 28:

Điều kiện cần và đủ để hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu là

A. a > 0, b > 0

B. a > 0, b < 0

C. a < 0, b < 0

D. a < 0, b > 0

Xem đáp án

Ta có: $y' = 4 a x^{3} + 2 b x = 2 x (2 a x^{2} + b) .$

Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu nên $a \neq 0.$ Khi đó

$y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 2 a x^{2} + b = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - \frac{b}{2 a} \end{array}$

Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu $\Leftrightarrow \{\begin{cases} - \frac{b}{2 a} > 0 \\ a < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a < 0 \\ b > 0 \end{cases}$

Chọn D.

Câu 29:

Cho số thực x thỏa mãn $2^{x^{2}} {.3}^{x + 1} = 1.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $x^{2} + (x + 1) \log_{2} 3 = 0.$

B. $x^{2} + (x + 1) \log_{2} 3 = 1.$

C. $(x + 1) + x^{2} \log_{3} 2 = 1.$

D. $(x + 1) + x \log_{3} 2 = 0.$

Xem đáp án

$2^{x^{2}} {.3}^{x + 1} = 1 \Rightarrow \log_{2} (2^{x^{2}} {.3}^{x + 1}) = \log_{2} 1 \Leftrightarrow x^{2} + (x + 1) \log_{2} 3 = 0.$ Suy ra A đúng, B sai.

$2^{x^{2}} {.3}^{x + 1} = 1 \Rightarrow \log_{3} (2^{x^{2}} {.3}^{x + 1}) = \log_{3} 1 \Leftrightarrow x^{2} \log_{3} 2 + x + 1 = 0.$ Suy ra C, D sai.

Chọn A.

Câu 30:

Cho hàm số $y = (x + 2) {(x - 1)}^{2}$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng với hàm số $y = |x + 2| {(x - 1)}^{2} ?$

Cho hàm số y = (x + 2)(x - 1)^2 có đồ thị như hình vẽ. Hỏi mệnh đề (ảnh 1)

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1) .$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 2)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; - 2) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2; 0)

Xem đáp án

Ta có $y = |x + 2| {(x - 1)}^{2} = |(x + 2) {(x - 1)}^{2}|$

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = (x + 2) {(x - 1)}^{2}$ ta có đồ thị của hàm số $y = |(x + 2) {(x - 1)}^{2}|$ như sau:

Cho hàm số y = (x + 2)(x - 1)^2 có đồ thị như hình vẽ. Hỏi mệnh đề (ảnh 2)

Quan sát đồ thị, suy ra hàm số đồng biến trên (-2; -1) và $(1; + \infty)$ ; hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ và (-1; 1).

Chọn C.

Câu 31:

Rút gọn biểu thức $P = \sqrt[3]{x^{5} \sqrt[4]{x}}$ với x > 0

A. $P = x^{\frac{20}{7}} .$

B. $P = x^{\frac{7}{4}} .$

C. $P = x^{\frac{20}{21}} .$

D. $P = x^{\frac{12}{5}} .$

Xem đáp án

Ta có, với $x > 0 : P = \sqrt[3]{x^{5} \sqrt[4]{x}} = x^{\frac{5}{3}} . x^{\frac{1}{12}} = x^{\frac{5}{3} + \frac{1}{12}} = x^{\frac{7}{4}} .$

Chọn B.

Câu 32:

Cho hai số phức $z_{1} = 3 - 2 i$ và $z_{2} = 2 + i .$ Số phức $z_{1} + z_{2}$ bằng

A. 5 + i

B. -5 + i

C. 5 - i

D. -5 - i

Xem đáp án

Ta có $z_{1} + z_{2} = 3 - 2 i + 2 + i = 5 - i .$

Chọn C.

Câu 33:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; -2; 3). Tọa độ điểm A là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oyz) là

A. (1; 0; 3)

B. (1; -2; 0)

C. (0; -2; 3)

D. (1; -2; 3)

Xem đáp án

Ta có hình chiếu vuông góc của điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ trên mặt phẳng (Oxy) là điểm có tọa độ $(x_{0}; y_{0}; 0) .$

Do đó hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -2; 3) trên mặt phẳng (Oxy) là điểm A(1; -2; 0)

Chọn B.

Câu 34:

Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn $f (2) = - \frac{4}{19}$ và $f' (x) = x^{3} {[f (x)]}^{2}, \forall x \in ℝ .$ Giá trị của f(1) bằng

A. $- \frac{2}{3} .$

B. $- \frac{1}{2} .$

C. -1

D. $- \frac{3}{4} .$

Xem đáp án

Ta có $f' (x) = x^{3} {[f (x)]}^{2} \Leftrightarrow - \frac{f' (x)}{{[f (x)]}^{2}} = - x^{3} .$

$\Rightarrow \int_{}^{} (- \frac{f' (x)}{{[f (x)]}^{2}} d x) = - \int_{}^{} x^{3} d x \Rightarrow \frac{1}{f (x)} = - \frac{x^{4}}{4} + C . (1)$

Thay x = 2 vào (1) ta được $\frac{1}{f (2)} = - \frac{2^{4}}{4} + C \Rightarrow C = - \frac{3}{4} .$

Vậy $\frac{1}{f (x)} = - \frac{x^{4}}{4} - \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{1}{f (1)} = - \frac{1^{4}}{4} - \frac{3}{4} \Rightarrow f (1) = - 1.$

Chọn C.

Câu 35:

Số phức $z = a + b i, (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $2 z + 1 = \bar{z},$ có a + b bằng

A. 1

B. -1

C. $\frac{- 1}{2} .$

D. $\frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Ta có số phức $z = a + b i, (a, b \in ℝ)$ , suy ra số phức liên hợp là $\bar{z} = a - b i .$

Có: $2 z + 1 = \bar{z} \Leftrightarrow 2 (a + b i) + 1 = a - b i \Leftrightarrow (2 a + 1) + 2 b i = a - b i .$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a + 1 = a \\ 2 b = - b \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 0 \end{cases} .$

Vậy a + b = -1

Chọn B.

Câu 36:

Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = \frac{x + 1}{x - 1} .$

B. $y = \frac{2 x - 3}{2 x - 2} .$

C. $y = \frac{x - 1}{x + 1} .$

D. $y = \frac{x}{x - 1} .$

Xem đáp án

Lý thuyết: Hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d} (a d - b c \neq 0, c \neq 0)$ có:

- Tiệm cận đứng là $x = \frac{- d}{c} .$

- Tiệm cận ngang là $x = \frac{a}{c} .$

Theo đồ thị hàm số, ta thấy hàm số có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = 1

Kiểm tra các hàm số trên, ta thấy hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ và hàm số $y = \frac{2 x - 3}{2 x - 2}$ có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = 1.

Do giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; -1) nên đáp án đúng là đáp án A.

Chọn A.

Câu 37:

Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Khẳng định nào sau đây là sai?

Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ (ảnh 1)

A. Hàm số đồng biến trên $(1; + \infty) .$

B. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1) .$

C. Hàm số nghịch biến trên

(- 1; 1)

D. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; - 1) \cup (1; + \infty) .

Xem đáp án

Nhìn vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy

- Trên khoảng (-1; 1) đồ thị hàm số đi xuống (theo chiều từ trái sang phải) nên hàm số nghịch biến trên (-1; 1)

- Trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ đồ thị hàm số đi lên (theo chiều từ trái sang phải) nên hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$

Chọn D.

Câu 38:

Tính $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x - \sqrt{x}}{x} .$

A. $- \infty$

B. 0

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Với $x > 0, \sqrt{x} = \sqrt{\frac{x^{2}}{x}} = \frac{|x|}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} .$

Khi đó $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x - \sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (1 - \frac{1}{\sqrt{x}})}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} (1 - \frac{1}{\sqrt{x}}) = \lim_{x \to 0^{-}} 1 - \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\sqrt{x}} .$

Vì $\lim_{x \to 0^{+}} 1 = 1 > 0, \lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} = 0$ và $\sqrt{x} > 0$ với mọi $x > 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}} = + \infty .$ Do đó $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x - \sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} 1 - \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 - (+ \infty) = - \infty .$

Chọn A.

Câu 39:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = {(x^{2} (x + 1))}^{\frac{1}{2}} .$

A. $D = (- 1; + \infty) .$

B. $D = (- \infty; + \infty) .$

C. $D = (- 1; + \infty) \ \{0\} .$

D. $D = (0; + \infty) .$

Xem đáp án

Hàm số xác định khi $x^{2} (x + 1) > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - 1 \\ x \neq 0 \end{cases} .$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = (- 1; + \infty) \ \{0\}$ .

Chọn C.

Câu 40:

Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(α) : 2 x - 2 y + 4 z - 3 = 0

là

A. $\vec{u} = (1; - 1; 2) .$

B. $\vec{u} = (1; 1; 2) .$

C. $\vec{u} = (2; - 2; 3) .$

D. $\vec{u} = (1; - 2; 1) .$

Xem đáp án

Mặt phẳng có véctơ pháo tuyến là: $\vec{u} = (1; - 1; 2) .$

Chọn A.

Câu 41:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2 \sqrt{2} .$ Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 3. Mặt phẳng $(α)$ qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.

A. $V = \frac{108 π}{3} .$

B. $V = \frac{32 π}{3} .$

C. $V = \frac{64 \sqrt{2} π}{3} .$

D. $V = \frac{125 π}{3} .$

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 căn bậc hai của 2 (ảnh 1)

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Dễ dàng chứng minh được các tam giác $A P C, A N C, A M C$ là các tam giác vuông có cạnh huyền AC nên O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP. Mặt cầu có đường kính AC nên $R = \frac{A C}{2} = 2.$ Thể tích khối cầu: $V = \frac{4}{3} . π {.2}^{3} = \frac{32 π}{3} .$

Chọn B.

Câu 42:

Cho phương trình $\log_{2}^{2} x - (5 m + 1) \log_{2} x + 4 m^{2} + m = 0.$ Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} = 165.$ Giá trị của $|x_{1} - x_{2}|$ bằng

A. 16.

B. 159.

C. 119.

D. 120.

Xem đáp án

Điều kiện: x > 0.

Đặt $t = \log_{2} x,$ ta được phương trình

$t^{2} - (5 m + 1) t + 4 m^{2} + m = 0 (*)$ .

Ta có: $Δ = {(- 5 m - 1)}^{2} - 4 (4 m^{2} + m) = {(3 m + 1)}^{2} .$

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ > 0 \Leftrightarrow {(3 m + 1)}^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq - \frac{1}{3} .$

Khi đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $t_{1} = \frac{5 m + 1 + 3 m + 1}{2} = 4 m + 1,$ $t_{2} = \frac{5 m + 1 - 3 m - 1}{2} = m$ $\Rightarrow x_{1} = 2^{4 m + 1}, x_{2} = 2^{m} .$

Theo bài, $x_{1} + x_{2} = 165 \Leftrightarrow 2^{4 m + 1} + 2^{m} = 165 \Leftrightarrow {2.2}^{4 m} + 2^{m} = 165.$

Đặt $u = 2^{m} > 0,$ ta có phương trình $2 u^{4} + u - 165 = 0 \Leftrightarrow (u - 3) (2 u^{3} + 6 u^{2} + 18 u + 55) = 0$ $\Leftrightarrow u = 3$ (vì $2 u^{3} + 6 u^{2} + 18 u + 55 > 0 \forall u > 0) \Rightarrow 2^{m} = 3.$

Vậy $|x_{1} - x_{2}| = |{2.2}^{4 m} - 2^{m}| = |{2.3}^{4} - 3| = 159.$

Chọn B.

Câu 43:

Cho f(x) là hàm số liên tục trên tập số thực $ℝ$ và thỏa mãn $f (x^{3} + 3 x + 1) = x + 2.$ Tính $I = \int_{1}^{5} f (x) d x .$

A. $\frac{41}{4} .$

B. $\frac{527}{3} .$

C. $\frac{61}{6} .$

D. $\frac{464}{3} .$

Xem đáp án

Đặt $x = t^{3} + 3 t + 1 \Rightarrow d x = (3 t^{2} + 3) d t .$

Cho f(x) là hàm số liên tục trên tập số thực R và thỏa mãn (ảnh 1)

Vậy ta có $I = \int_{0}^{1} f (t^{3} + 3 t + 1) (3 t^{2} + 3) d t = \int_{0}^{1} (t + 2) (3 t^{2} + 3) d t = \int_{0}^{1} (3 t^{3} + 6 t^{2} + 3 t + 6) d t = \frac{41}{4} .$

Chọn A.

Câu 44:

Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm ước tính theo công thức $S_{t} = S_{0} {.2}^{t},$ trong đó $S_{0}$ là số lượng vi khuẩn A ban đầu, $S_{t}$ là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?

A. 6 phút.

B. 8 phút.

C. 9 phút.

D. 7 phút.

Xem đáp án

Theo giả thiết ta có $S_{3} = S_{0} {.2}^{3} \Rightarrow S_{0} = \frac{S_{3}}{2^{3}} = \frac{625}{8} {.10}^{3} .$

Giả sử $S_{t} = {10.10}^{6}$ ta có ${10.10}^{6} = \frac{625}{8} {.10}^{3} {.2}^{t} \Rightarrow t = 7.$

Chọn D.

Câu 45:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $y = |x^{3} - m x^{2} + 12 x + 2 m|$ luôn đồng biến trên $(1; + \infty) ?$

A. 19.

B. 20.

C. 18.

D. 21.

Xem đáp án

Xét hàm số $f (x) = x^{3} - m x^{2} + 12 x + 2 m$ trên $(1; + \infty)$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 m x + 12$

TH1: $Δ' = m^{2} - 36 \leq 0 \Leftrightarrow - 6 \leq m \leq 6.$

Khi đó $f (x) = x^{3} - m x^{2} + 12 x + 2 m$ luôn đồng biến trên $ℝ$

Để hàm số $y = |x^{3} - m x^{2} + 12 x + 2 m|$ luôn đồng biến trên $(1; + \infty)$ .

$\Rightarrow f (1) \geq 0 \Leftrightarrow m + 13 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq - 13.$

Suy ra $- 6 \leq m \leq 6.$ Có 13 giá trị nguyên thỏa mãn.

TH2: $Δ' = m^{2} - 36 > 0 \Leftrightarrow m < - 6 \lor m > 6.$

Khi đó $f' (x) = 3 x^{2} - 2 m x + 12$ phải có hai nghiệm phân biệt $x_{1} < x_{2} < 1.$

Yêu cầu bài toán

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \in (- \infty; - 6) \cup (6; + \infty) \\ (x_{1} - 1) + (x_{2} - 1) < 0 \\ (x_{1} - 1) . (x_{2} - 1) > 0 \\ f (1) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \in (- \infty; - 6) \cup (6; + \infty) \\ S - 2 < 0 \\ P - S + 1 > 0 \\ m \geq - 13 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \in (- \infty; - 6) \cup (6; + \infty) \\ \frac{2 m}{3} - 2 < 0 \\ 4 - \frac{2 m}{3} + 1 > 0 \\ m \geq - 13 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \in (- \infty; - 6) \cup (6; + \infty) \\ m < 3 \\ m < \frac{15}{2} \\ m \geq - 13 \end{cases} \Leftrightarrow - 13 \leq m < - 6.$

Có 7 giá trị nguyên thỏa.

Vậy có 20 giá trị nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Câu 46:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh BC = 2a và $\hat{A B C} = 60^{0} .$ Biết tứ giác BCC'B' là hình thoi có $\hat{B' B C}$ là góc nhọn. Mặt phẳng (BCC'B') vuông góc với (ABC) và mặt phẳng (ABB'A') tạo với mặt phẳng (ABC) một góc $45^{0} .$ Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

A. $\frac{\sqrt{7} a^{3}}{21} .$

B. $\frac{6 \sqrt{7} a^{3}}{7} .$

C. $\frac{\sqrt{7} a^{3}}{7} .$

D. $\frac{3 \sqrt{7} a^{3}}{7} .$

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A (ảnh 1)

Kẻ $B' H ⊥ B C$ tại H (do $\hat{B B' C}$ là góc nhọn nên H thuộc đoạn $B C), H K ⊥ A B$ tại K và giả sử B'H = x với x > 0.

Ta có: $\{\begin{cases} (B C C' B') ⊥ (A B C) \\ (B C C' B') \cap (A B C) = B C \\ B' H \subset (B C C' B'), B' H ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow B' H ⊥ (A B C) .$

Do $\{\begin{cases} A B ⊥ H K \\ A B ⊥ B' H \end{cases}$ nên $A B ⊥ (B' H K) \Rightarrow A B ⊥ B' K$ .

Từ đó suy ra $\hat{((A B B' A'), (A B C))} = \hat{(B' K, H K)} = \hat{B' K H} = 45^{0} \Rightarrow Δ B' H K$ vuông cân tại H.

$\Rightarrow H K = B' H = x .$

Trong tam giác BKH vuông tại K có: $B H = \frac{H K}{\sin \hat{A B C}} = \frac{2 x \sqrt{3}}{3} .$

Do tứ giác BCC'B' là hình thoi nên BB' = BC = 2a

Trong tam giác B'HB vuông tại H có: $B H^{2} + B' H^{2} = B B'^{2} \Leftrightarrow \frac{4 x^{2}}{3} + x^{2} = 4 a^{2} \Leftrightarrow x = \frac{2 a \sqrt{21}}{7} .$

Trong tam giác ABC vuông tại A có: $A C = B C . \sin 60^{0} = a \sqrt{3}; A B = B C . \cos 60^{0} = a .$

$\Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là $V = B' H . S_{A B C} = \frac{2 a \sqrt{21}}{7} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{7} a^{3}}{7} .$

Chọn D.

Câu 47:

Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình $2 + \log_{2} (5 x^{2} - 5 x + 5) \geq \log_{2} (7 x^{2} + 6 x + 6 + m)$ có nghiệm đúng với mọi số thực x là

A. 6

B. 0

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Vì $5 x^{2} - 5 x + 5 > 0; \forall x \in ℝ$ nên bất phương trình đã cho tương đương với

$\log_{2} (20 x^{2} - 20 x + 20) \geq \log_{2} (7 x^{2} + 6 x + 6 + m) .$

Bất phương trình nghiệm đúng với $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x^{2} + 6 x + 6 + m > 0; \forall x \in ℝ \\ 20 x^{2} - 20 x + 20 \geq 7 x^{2} + 6 x + 6 + m; \forall x \in ℝ \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x^{2} + 6 x + 6 + m > 0; \forall x \in ℝ \\ 13 x^{2} - 26 x + 14 - m \geq 0; \forall x \in ℝ \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ_{1}' = 9 - 7 (6 + m) < 0 \\ Δ_{2}' = {(- 13)}^{2} - 13 (14 - m) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 m > - 33 \\ 13 m \leq 13 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > - \frac{33}{7} \\ m \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{33}{7} < m \leq 1.$

Vì $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1\} .$ Vậy có 6 giá trị nguyên m cần tìm.

Chọn A.

Câu 48:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng $60^{0} .$ Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).

A. $\frac{\sqrt{41}}{4}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

D. $\frac{2 \sqrt{41}}{4}$

Xem đáp án

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a (ảnh 1)

Từ M hạ $M K ⊥ A O$ tại K. Suy ra $(M N, (A B C D)) = (M N, N K) = \hat{M N K} \Rightarrow \hat{M N K} = 60^{0} .$

$K N^{2} = C K^{2} + N C^{2} - 2 C K . N C . \cos 45^{0} = {(\frac{3}{4} a \sqrt{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} - 2 \frac{3}{4} a \sqrt{2} \frac{a}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{8} a^{2} \Rightarrow K N = \frac{a \sqrt{10}}{4}$

Suy ra $M K = N K . \tan 60^{0} = \frac{a \sqrt{10}}{4} . \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{30}}{4} \Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{30}}{2} .$

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có

$S (0; 0; \frac{a \sqrt{30}}{2}); A (0; - \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0); M (0; - \frac{a \sqrt{2}}{4}; \frac{a \sqrt{30}}{4}) .$

$C (0; \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0); B (- \frac{a \sqrt{2}}{2}; 0; 0); N (- \frac{a \sqrt{2}}{4}; \frac{a \sqrt{2}}{4}; 0) .$

$\vec{M N} (- \frac{a \sqrt{2}}{4}; \frac{2 a \sqrt{2}}{4}; - \frac{a \sqrt{30}}{4}) = - \frac{a \sqrt{2}}{4} (1; - 2; \sqrt{15}) .$ Chọn $\vec{u} (1; - 2; \sqrt{15})$ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng MN.

Mặt phẳng (SBD) có phương trình là y = 0 có véc tơ pháp tuyến $\vec{n} (0; 1; 0) .$

$\sin (M N, (S B D)) = \frac{|\vec{u} . \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|} = \frac{2}{\sqrt{1 + 4 + 15}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \Rightarrow \cos (M N, (S B D)) = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} .$

Chọn C.

Câu 49:

Cho y = f(x) là hàm đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ dưới. Hỏi phương trình $f (f (\cos x) - 1) = 0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[0; 3 π] .$

Cho y = f(x) là hàm đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ dưới. Hỏi (ảnh 1)

A. 6

B. 5

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Từ đồ thị của y = f(x) gọi a < b < c lần lượt là các hoành độ giao điểm của f(x) và trục hoành. Khi đó:

$f (f (\cos x - 1)) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (\cos x) - 1 = a \in (- 2; - 1) \\ f (\cos x) - 1 = b \in (- 1; 0) \\ f (\cos x) - 1 = c \in (1; 2) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (\cos x) = 1 + a \in (- 1; 0) \\ f (\cos x) = 1 + b \in (0; 1) \\ f (\cos x) = 1 + c \in (2; 3) \end{array} .$

Cũng từ đồ thị của y = f(x) và chú ý $\cos x \in [- 1; 1]$ ta thấy:

- Đường thẳng y = a + 1 cắt đồ thị y = f(x) tại 3 điểm phân biệt nhưng chỉ có một điểm có hoành độ là $m \in (- 1; 0)$ , suy ra $f (\cos x) = 1 + a \Leftrightarrow \cos x = m \in (- 1; 0) .$ Mà trong đoạn $x \in [0; 3 π],$ phương trình $\cos x = m \in (- 1; 0)$ có 3 nghiệm.

- Đường thẳng y = b + 1 cắt đồ thị y = f(x) tại 3 điểm phân biệt nhưng chỉ có một điểm có hoành độ là $n \in (- 1; 0), n \neq m,$ suy ra $f (\cos x) = 1 + b \Leftrightarrow \cos x = n \in (- 1; 0) .$ Mà trong đoạn $x \in [0; 3 π],$ phương trình $\cos x = n \in (- 1; 0)$ có 3 nghiệm.

- Đường thẳng $y = c + 1 \in (2; 3)$ cắt đồ thị y = (x) tại 1 điểm duy nhất và có hoành độ $p \in (2; + \infty)$ , suy ra $f (\cos x) = 1 + c$ vô nghiệm.

Vậy phương trình $f (f (\cos x) - 1) = 0$ có 6 nghiệm trong đoạn $[0; 3 π] .$

Chọn A.

Câu 50:

Cho y = f(x) là hàm đa thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-12; 12] để hàm số $g (x) = |2 f (x - 1) + m|$ có 5 điểm cực trị?

Cho y = f(x) là hàm đa thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ. Có bao (ảnh 1)

A. 13.

B. 14.

C. 15.

D. 12.

Xem đáp án

Đồ thị hàm số y = f(x) tịnh tiến sang phải 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f(x - 1)

Đặt $y = f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ (với a > 0), có 3 điểm cực trị là $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ trong đó $(x_{1} < x_{2} < x_{3}) .$ Xét hàm số $h (x) = 2 f (x - 1) + m$ trên tập số thực $ℝ$

Ta có $h' (x) = 2 f' (x - 1); h' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{1} + 1 \\ x = x_{2} + 1 \\ x = x_{3} + 1 \end{array}$

Bảng biến thiên

Cho y = f(x) là hàm đa thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ. Có bao (ảnh 2)

Hàm số $g (x) = |2 f (x - 1) + m| = |h (x)|$ có 5 điểm cực trị khi $[\begin{array}{l} m + 4 \leq 0 \\ \{\begin{cases} m - 6 \geq 0 \\ m - 12 < 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 4 \\ 6 \leq m < 12 \end{array} .$

Do m là giá trị nguyên thuộc đoạn [-12; 12] nên có 15 giá trị nguyên m cần tìm.

Chọn C.