Cho x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x + y + z ≠ 0; xyz ≠ 0.
Chứng minh đẳng thức .
Giải bởi Vietjack
x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x +y + z ≠ 0; xyz ≠ 0.
Lấy (1) trừ (2), ta được:
x – y = (by + cz) − (ax + cz)
Û x – y = by – ax + cz – cz
Û x – y = by – ax
Û x + ax = by + y
Û x(a + 1) = y(b + 1) (*)Lấy (2) trừ (3), ta được:
y – z = (ax + cz) − (ax + by)
Û y – z = ax – ax + cz – by
Û y – z = cz – by
Û y + by = z + cz
Û y(b + 1) = z (c + 1) (**)Lấy (1) trừ (3), ta được:
x – z = (by + cz) − (ax + by)
Û x – z by – by + cz – ax
Û x – z = cz – ax
Û x + ax = cz + z
Û x(1 + a) = z(c + 1) (***)Đặt x(a + 1) = y(b + 1) = z(c + 1) = t
(do x, y, z ≠ 0)
Thay vào biểu thức , ta được:
Với x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3)
t = x(a+1) = ax + x = ax + by + cz
Vậy .
Cho tam giác ABC, vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH (H Î BC). Lấy điểm D sao cho H là trung điểm BD.
a) Chứng minh ∆ABC ∆HBA;
b) Qua C dựng đường thẳng vuông góc với tia AD, cắt AD tại E. Chứng minh AH.CD = CE.AD;
c) Chứng minh ∆HDE ∆ADC và BD.AC = 2AD.HE;
d) AH cắt CE tại F. Chứng minh AF2 = 2BF.AE.
Giải phương trình:
a) 7 + 2x = 32 – 3x;
b) ;
c) x2 + (x + 3)(x – 5) = 9;
d) .
