Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = x + 4 và (P): $y=\frac{1}{2}{x}^2$

a. Nêu đặc điểm của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$.

b. Vẽ đồ thị (P): $y=\frac{1}{2}{x}^2$.

c. Tìm tọa độ các giao điểm A và B của (d) và (P).

d. Tìm tọa độ điểm M trên tia Ox có hoành độ lớn hơn 4 sao cho diện tích ∆MAB bằng 30 (đvdt) với A, B là giao điểm của (d) và (P).

a. Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$ là đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong này gọi là parabol với đỉnh O với O là điểm thấp nhất của đồ thị hàm số.

b. Vẽ (P)

Bảng giá trị:

x	−2	−1	0	1	2
$y=\frac{1}{2}{x}^2$	2	0,5	0	0,5	2

Parabol (P) đi qua các điểm (0; 0); (−2; 2); (−1; 0,5); (1; 0,5); (2; 2).

Ta có đồ thị hàm số (P): $y=\frac{1}{2}{x}^2$

.

c. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

$\frac{1}{2}{x}^2=x+4$

Û x² – 2x – 8 = 0

Û x² – 4x + 2x – 8 = 0

Û x(x – 4) + 2(x – 4) = 0

Û (x + 2)(x – 4) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=4\end{array}\right.$

• Với x = −2 thì y = x + 4 = –2 + 4 = 2.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là A(−2; 2).

• Với x = 4 thì y = x + 4 = 4 + 4 = 8.

Do đó, ta có tọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(4; 4).

Vậy hai đồ thị hàm số trên có 2 giao điểm là A(−2; 2) và B(4; 4).

Gọi N là giao điểm của (d) và Ox khi đó tọa độ của N là $\left(-\frac{b}{a};0\right)$ = (-4; 0)

Kẻ AH và BK vuông góc với Ox (H, K ∈ Ox).

Với x_M > 4 ta có:

S_MAB = S_BNM − S_ANM = $\frac{1}{2}BK.MN-\frac{1}{2}AH.MN$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{2}{x}_B.\left(x_M-x_N\right)-\frac{1}{2}{x}_A.\left(x_M-x_N\right) \\ =\frac{1}{2}\left(x_B-x_A\right).\left(x_M-x_N\right) \\ =\frac{1}{2}\left(8-2\right)\left[x_M-\left(-4\right)\right]=3\left(x_M+4\right) \end{gathered}$$

Theo đề bài ta có S_MAB = 3(x_M + 4) = 30

Û x_M + 4 = 10

Û x_M = 6

Vậy M(0;6)

Û x_M + 4 = 10

Û x_M = 6

Vậy M(0; 6) thì S_MAB = 30 (đvdt)

(0; 6) thì S_MAB = 30 (đvdt)