Cho vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:
a) cân
b) cân
c) HA là tiếp tuyến của (O)
a) Vì AD // EF (cùng vuông góc BC) (so le trong ) (1)
Ta lại có có BO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến (tính chất tiếp tuyến – dây cung) nên cân tại mà (so le trong) (3)
Từ (1), (2), (3) cân tại B
b) cân tại B đường cao cũng là trung tuyến là trung điểm EF vuông tại A, AH đường trung tuyến
cân tại H
c) Vì cân tại H mà (cùng phụ góc E) (5)
cân ) (6)
Từ (4), (5), (6)
và là tiếp tuyến của (O).
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A (R > R'). Vẽ các đường kính AOB, AO'C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC
a) Chứng minh rằng: tứ giác BDCE là hình thoi
b) Gọi I là giao điểm của OC và đường tròn (O'). Chứng minh ba điểm D, A, I thẳng hàng
c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O')
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại S. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB, CD với A, C thuộc (O),
Chứng minh rằng
Chứng tỏ rằng hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất với m = 3. Tìm nghiệm đó.