Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm K đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp và xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF

b) Chứng minh $A E . A B = A F . A C$

c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính tỉ số $\frac{O K}{B C}$ khi tứ giác OHBC nội tiếp.

Giải bởi Vietjack

a) Ta có $∠ B E C = ∠ B F C = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow ∠ A E H = ∠ A F H = 90^{0}$ (kề bù) $\Rightarrow ∠ A E H + ∠ A F H = 90^{0} + 90^{0} = 180^{0}$ nên tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp

b) Xét $Δ A F B$ và $Δ A E C$ có : $∠ A c h u n g; ∠ A E H = ∠ A F B = 90^{0}$

$\Rightarrow Δ A F B ~ Δ A E C (g - g) \Rightarrow \frac{A F}{A B} = \frac{A E}{A C}$ (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow A F . A C = A B . A E (d f c m)$

c) Khi OHBC nội tiếp $\Rightarrow ∠ B H C = ∠ B O C$ mà $∠ B H C = ∠ E H F$ (đối đỉnh)

mà $∠ E A F + ∠ E H F = 180^{0}$ (tính chất tứ giác nội tiếp) nên $∠ E A C + ∠ B O C = 180^{0}$

mà $∠ B O C = 2 ∠ B A C$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn $\overset{⏜}{B C})$

$\Rightarrow ∠ B O C = 120^{0} \Rightarrow ∠ B O K = 60^{0}$

$Δ B O K$ vuông tại K (tính chất đường kính dây cung)

Ta có : $Δ B O K$ vuông tại K có $\hat{O} = 60^{0}$

$\Rightarrow \frac{O K}{B K} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ mà $B C = 2 B K \Rightarrow B K = \frac{B C}{2}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{O K}{B K} = \frac{O K}{\frac{B C}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Leftrightarrow \frac{2 O K}{B C} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \frac{O K}{B C} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \end{array}$

Xem đáp án » 14/10/2022 117

Xem đáp án » 14/10/2022 106

Xem đáp án » 14/10/2022 98

Xem đáp án » 14/10/2022 93

Xem đáp án » 14/10/2022 92

Xem đáp án » 14/10/2022 88

Xem đáp án » 14/10/2022 86

Xem đáp án » 14/10/2022 82

Xem đáp án » 14/10/2022 76

Xem đáp án » 14/10/2022 71

Xem đáp án » 14/10/2022 65

Xem thêm »

Xem thêm »

Xem thêm »