Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x3 + y3 + z3 – 3xyz = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải bởi Vietjack
Ta có:
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz = 2
[(x + y)³ + z³] - 3xy(x + y +z ) = 2
(x + y + z)³ - 3z(x + y)(x + y + z) - 3xy(x – y - z) = 2
(x + y + z)[(x + y + z)² - 3z(x + y) - 3xy] = 2
(x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) = 2
(x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz) = 2
x² + y² + z² - xy - xz – yz ≠ 0
Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ 0 với mọi x, y, z
|x² + y² + z² - xy - xz – yz > 0 | x + y + z
Đặt x + y + z = t (t > 0) | x² + y² + z² - xy - xz – yz khi đó ta có
Áp dụng BĐT Cô si ta có: (dấu bằng xảy ra khi t = 2)
(dấu bằng xảy ra khi t = 2)
P ≥ 8 – 2 = 6. Tồn tại x = y = 1, z = 0 thì P = 6
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
Cho biểu thức với a, b là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.
Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh .
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
