Cho ∆ABC và các khẳng định sau:
(I) b2 – c2 = a(b.cosC – c.cosB);
(II) (b + c)sinA = a(sinB + sinC);
(III) ha = 2R.sinB.sinC;
(IV) S = R.r.(sinA + sinB + sin C);
Số khẳng định đúng là:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
⦁ Ta xét khẳng định (I):
Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC ta có:
b2 – c2 = c2 + a2 – 2ca.cosB – (a2 + b2 – 2ab.cosC)
= c2 + a2 – 2ca.cosB – a2 – b2 + 2ab.cosC
= c2 – b2 + 2a(b.cosC – c.cosB)
Þ b2 – c2 = c2 – b2 + 2a(b.cosC – c.cosB)
Þ 2(b2 – c2) = 2a(b.cosC – c.cosB)
Þ b2 – c2 = a(b.cosC – c.cosB).
Do đó khẳng định (I) đúng.
⦁ Ta xét khẳng định (II):
Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:
(b + c)sinA = \[\left( {2R.\sin B + 2R.\sin C} \right).\frac{a}{{2R}}\]
\[ = \left( {\sin B + \sin C} \right).\frac{{2R.a}}{{2R}}\]
= a(sinB + sinC).
Vì vậy khẳng định (II) đúng.
⦁ Ta xét khẳng định (III):
Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:
2R.sinB.sinC = \(2R.\frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\)
\( = \frac{{bc}}{{2R}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\frac{2}{a}\)
\( = \frac{{2S}}{a} = {h_a}\).
Vì vậy khẳng định (III) đúng.
⦁ Ta xét khẳng định (IV):
Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:
R.r.(sinA + sinB + sin C) = \(R.r.\left( {\frac{a}{{2R}} + \frac{b}{{2R}} + \frac{c}{{2R}}} \right)\)
\[ = R.r.\frac{1}{R}\left( {\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}} \right)\]
\[ = r.\frac{{a + b + c}}{2} = r.p = S\].
Vì vậy khẳng định (IV) đúng.
Vậy có 4 khẳng định đúng, ta chọn phương án D.
Từ vị trí A, người ta quan sát một cái cây cao mọc vuông góc với mặt đất như hình vẽ.
Biết vị trí quan sát cách mặt đất một khoảng AH = 4 m và khoảng cách từ chân đường vuông góc của vị trí quan sát A trên mặt đất tới gốc cây là HB = 20 m, \(\widehat {BAC} = 45^\circ \). Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?
Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5 m. Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 50° và 40° so với phương nằm ngang.
Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?
Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát được đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao của tòa nhà là AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương ngang AH một góc bằng 30°, phương nhìn BC tạo với phương ngang BD một góc bằng 15°30’.
Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?
Cho ∆ABC có a.sinA + b.sinB + c.sinC = ha + hb + hc. Khi đó ∆ABC là:
Giả sử CD = h là chiều cao của tháp, trong đó C là chân tháp.
Một người đứng tại vị trí A (\(\widehat {CAD} = 63^\circ ),\) không sang được bờ bên kia để đo chiều cao h của tháp nên chọn thêm một điểm B (ba điểm A, B, C thẳng hàng) cách A một khoảng 24 m và \[\widehat {CBD} = 48^\circ \] để tính toán được chiều cao của tháp. Chiều cao h của tháp gần nhất với:
Cho biết sinα – cosα = \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)(0° ≤ α, β ≤ 180°). Giá trị của \(E = \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \) bằng:
Cho biết tanα = –3 (0° ≤ α ≤ 180°). Giá trị của \(H = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }}\) bằng:
Cho biết \(2\cos \alpha + \sqrt 2 \sin \alpha = 2\), với 0° < α < 90°. Giá trị của cotα bằng:
Cho ∆ABC thỏa mãn \[\sin A = \frac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}\]. Khi đó ∆ABC là:
