Cho đường tròn đường kính AB , các điểm C,D nằm trên đường tròn đó sao cho C,D nằm khác phía đối với đường thẳng AB , đồng thời AD>AC. Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ AC,AD lần lượt là M,N ; giao điểm của MN với AC,AD lần lượt là H,I; giao điểm của MD và CN là K.

a) Chứng minh $\widehat{ACN}=\widehat{DMN}$ . Từ đó suy ra tứ giác  $MCKH$ nội tiếp.

b) Chứng minh $KH$  song song với $AD$ .

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa sđ $\stackrel{⏜}{AC}$ và sđ $\stackrel{⏜}{AD}$ để  song song với $ND$  .

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ cát tuyến AMN không đi qua (O) (M nằm giữa A và N). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O;R). (B và C là hai tiếp điểm và C tuộc cung nhỏ MN). Đường thẳng BC cắt MN và AO lần lượt tại E và F. Gọi I là trung điểm của MN.

a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp được trong đường tròn.

b) Chứng minh EB.EC = EM.EN và IA là phân giác của $\widehat{BIC}$ .

c) Tia MF cắt (O;R) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng $\Delta AMF\backsim \Delta AON$   và $BC\text{//}DN$  .

 d) Giả sử OA = 2R. Tính diện tích tam giác ABC theo R.

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E.

a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.

c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.

d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.

Cho hình vuông ABCD. Gọi $S_1$  là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính AB và AD. $S_2$  là diện tích phần còn lại của hình vuông nằm ngoài hai nửa đường trong nói trên (như hình vẽ bên).Tính $\frac{S_1}{S_2}$

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Gọi H là chân đường cao hạ từ A  xuống BD, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.

a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: $\text{AD}\cdot \text{AN}=\text{AB}\cdot \text{AM}$

c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng

d) Cho AB = 6 cm, AD = 8 cm. Tính độ dài đoạn MN.

Cho điểm S cố định ở bên ngoài đường tròn (O). Vẽ tiếp tuyến SA của đường tròn (O) (với A là tiếp điểm) và cát tuyến SCB không qua tâm O, điểm O nằm trong góc ASB, điểm C nằm giữa S và B. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng CB.

a)      Chứng minh rằng tứ giác SAOH nội tiếp một đường tròn

b)      Chứng mnh rằng  $S{A}^2=SB.SC$

c)      Gọi MN là đường kính bất kỳ của đường tròn (O) sao cho ba điểm S, M, N không thẳng hàng. Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác SMN lớn nhất

Tính độ dài các đoạn NK, MH. Biết chi phí trồng hoa mười giờ là  đồng trên mỗi mét chiều dài. Tính tổng chi phí để trồng các luống hoa mười giờ đó.

Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H, đường thẳng AH cắt DC tại E, biết AH = 4 cm, HE = 2 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD

Kim tự tháp Keop – Ai cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh. Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214m, cạnh đáy của nó dài 230m.

a)       Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến số thập phân thứ nhất)

b)      Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức $V=\frac{1}{3}S.h$  , trong đó S là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính theo m³ thể tích của kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn)