Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O; R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác A), hai dây MN và BK cắt nhau ở E.
a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.
c) Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.
d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.
Giải bởi Vietjack
a) Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.
Ta có :
(1)
Hai góc đối nhau (2)
Từ (1), (2) ta có tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE.
b) Chứng minh: CA.CK = CE.CH.
Do tứ giác AHEK nội tiếp nên
vì chung và
nên
c)Qua điểm N, kẻ đường thẳng (d) vuông góc với AC, (d) cắt tia MK tại F. Chứng minh tam giác cân.
Do KB // FN nên (3)
mà (góc nội tiếp cùng chắn cung bằng nhau) (4)
(3), (4) nên tam giác KFN cân tại K.
d) Khi KE = KC. Chứng minh rằng: OK // MN.
Ta có vuông tại K.
mà KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K
hay
mà nên OK //MN
Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ cát tuyến AMN không đi qua (O) (M nằm giữa A và N). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O;R). (B và C là hai tiếp điểm và C tuộc cung nhỏ MN). Đường thẳng BC cắt MN và AO lần lượt tại E và F. Gọi I là trung điểm của MN.
a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp được trong đường tròn.
b) Chứng minh EB.EC = EM.EN và IA là phân giác của .
c) Tia MF cắt (O;R) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng và .
d) Giả sử OA = 2R. Tính diện tích tam giác ABC theo R.
a) Chứng minh . Từ đó suy ra tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh song song với .
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa sđ và sđ để song song với .
Cho hình vuông ABCD. Gọi là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính AB và AD. là diện tích phần còn lại của hình vuông nằm ngoài hai nửa đường trong nói trên (như hình vẽ bên).Tính
Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BD, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.
a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh:
c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng
d) Cho AB = 6 cm, AD = 8 cm. Tính độ dài đoạn MN.
a) Chứng minh tứ giác AHCE là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh
c) Chứng minh tam giác EHC cân
Nhằm tiếp tục đẩy mạnh phong trào xây dựng trường học Xanh-Sạch-Đẹp, trường THCS A đã thiết kế một khuôn viên để trồng hoa có dạng hình tam giác vuông (như hình bên). Biết rằng tam giác MNK vuông tại M , MN=6m, MK=8m, MH vông góc với NK , MN=6m, MK=8 m, MH vuống góc NK . Nhà trường trồng hoa mười giờ dọc theo các đoạn NK , MH.
Tính độ dài các đoạn NK, MH. Biết chi phí trồng hoa mười giờ là đồng trên mỗi mét chiều dài. Tính tổng chi phí để trồng các luống hoa mười giờ đó.
Cho điểm S cố định ở bên ngoài đường tròn (O). Vẽ tiếp tuyến SA của đường tròn (O) (với A là tiếp điểm) và cát tuyến SCB không qua tâm O, điểm O nằm trong góc ASB, điểm C nằm giữa S và B. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng CB.
a) Chứng minh rằng tứ giác SAOH nội tiếp một đường tròn
b) Chứng mnh rằng
c) Gọi MN là đường kính bất kỳ của đường tròn (O) sao cho ba điểm S, M, N không thẳng hàng. Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác SMN lớn nhất
Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H, đường thẳng AH cắt DC tại E, biết AH = 4 cm, HE = 2 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD
Kim tự tháp Keop – Ai cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh. Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214m, cạnh đáy của nó dài 230m.
a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến số thập phân thứ nhất)
b) Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức , trong đó S là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính theo m3 thể tích của kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn)
