Có hai điểm dân cư cùng phía bên cạnh một dòng sông. Người ta muốn xây dựng một trạm cung cấp nước lấy từ dòng sông và qua xử lí cung cấp cho hai điểm dân cư nói trên. Vậy phải đặt trạm xử lí nước tại điểm nào trên bờ sông để độ dài đường ống dẫn nước từ đó tới hai điểm dân cư là nhỏ nhất?
Giải bởi Vietjack
Trong thực tế đường ngắn nhất giữa hai điểm dân cư là đường thẳng nối hai điểm đó. Nhưng bài toán ra là đường ống nối hai điểm dân cư với một điểm xử lí nước trên bờ sông. Vậy đường ống phải là đường gấp khúc. Giả sử hai điểm dân cư ở hai phía khác nhau của bờ sông thì bài toán trở nên quá dễ, vì đường nối hai điểm có cắt dòng sông và điểm cắt đó chính là trạm xử lí nước. Bài toán của chúng ta là hai điểm dân cư cùng một phía bờ sông, nên chúng ta giả sử một điểm dân cư được chuyển sang bên kia bờ sông. Câu hỏi được đặt ra là điểm dân cư được chuyển sang bên kia sông ở vị trí nào là thích hợp nhất? Để đảm bảo tính chất của điểm dân cư ta chuyển sang phải có khoảng cách từ đó đến dòng sông là như nhau. Hay nói cách khác ta lấy điểm đối xứng của một điểm dân cư. Gọi A, B là hai điểm dân cư. Điểm A' đối xứng với B qua dòng sông. Đường nối A'B cắt bờ sông ở D. Điểm D chính là nơi đặt trạm xử lí nước.
Thật vậy với mọi điểm C khác D, ta có:
Cho tam giác nhọn ABC. Hãy nội tiếp trong tam giác ABC một tam giác có chu vi bé nhất.
Đường quốc lộ và đường ống dân dầu cắt nhau một góc nhỏ hơn 450, trong góc này có một bãi đỗ các ô tô của xí nghiệp vận tải. Xây trạm cung cấp xăng ở vị trí nào trên đường ống để các loại xe xuất phát từ bãi đỗ xe đến lấy xăng rồi ra đường quốc lộ với đường đi ngắn nhất.
Một mảnh đất hình tam giác nhọn ABC nằm ở vị trí giao nhau của ba con sông. Trong mảnh đất này có hai nhà máy D và E. Tàu chở hàng thả hàng ở ba vị trí lần lượt nằm trên các cạnh của tam giác ABC. Hãy tìm các vị trí bỏ hàng để quãng đường đi từ D đến M, đến K đến L rồi đến E là nhỏ nhất.
Có hai kho chứa xăng hình tròn ở cùng một phía đối với đường quốc lộ. Người ta muốn xây dựng một trạm cung ứng và phân phối xăng bên đường quốc lộ nối với hai đường ống nối tới hai bồn xăng là ngắn nhất.
Trong lòng một con sông rộng có một hòn đảo hình tròn. Người ta muốn xây dựng những bến đỗ cho các tàu chở khách du lịch để chở khách từ đảo lên một bờ rồi nhận khách, đi sang ngay bờ bên kia nhận khách tiếp rồi chở về đảo hoặc ngược lại. Phải đặt các bến ở đâu để đường đi trên sông là ngắn nhất, biết rằng đường thẳng hai bờ sông kéo dài cắt nhau tại O tạo thành một góc nhọn.
Trên một mảnh đất hình thang vuông ABCD người ta xây dựng một sân vận động hình chữ nhật AEFD và 3 ngôi nhà. Nhà bảo vệ C, nhà ban quản lý sân B, nhà tạm nghỉ và thay trang phục P. Kèm theo đó người ta xây dựng hai cửa chính Q, H và cùng một cửa phụ K. Bạn hãy giúp người thiết kế sân tìm vị trí P, Q, H, K sao cho trước và sau mỗi trận thi đấu, người bảo vệ có thể đi theo con đường ngắn nhất để làm nhiệm vụ. Theo đó người ta cho xây các cửa và con đường BPC. Sơ đồ mảnh đất và vị trí cố định của B, C và các vị trí cần được xác định có dạng như hình vẽ.
Cho hình vuông ABCD. Hãy xác định đường thẳng đi qua tam hình vuông cắt các cạnh đối AD và BC sao cho tổng khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng đó là
a) Lớn nhất
