Trong lòng một con sông rộng có một hòn đảo hình tròn. Người ta muốn xây dựng những bến đỗ cho các tàu chở khách du lịch để chở khách từ đảo lên một bờ rồi nhận khách, đi sang ngay bờ bên kia nhận khách tiếp rồi chở về đảo hoặc ngược lại. Phải đặt các bến ở đâu để đường đi trên sông là ngắn nhất, biết rằng đường thẳng hai bờ sông kéo dài cắt nhau tại O tạo thành một góc nhọn.
Giải bởi Vietjack
Đặt hình tròn là hòn đảo trong góc nhọn Opq giới hạn bởi hai bờ sông. Bài toán đưa ra đi tìm tam giác MPQ sao cho M thuộc đường tròn, P thuộc Op và Q thuộc Oq sao cho chu vi tam giác MPQ nhỏ nhất.
Ta có định điểm bất kì M trên đường tròn và lấy M' và M'' là các điểm đối xứng với M qua Op và Oq. Tìm điểm P thuộc
Op và điểm Q thuộc Oq sao cho chu vi tam giác MPQ có chu vi nhỏ nhất. Từ ví dụ 1, ta có kết quả điểm P' và Q' là những giao điểm của M'M'' với Op và Oq tương ứng.
Trong trường hợp này chu vi tam giác MPQ trùng với M'M''. Nhưng M'M'' là cạnh đáy của tam giác cân với một góc cố định ở đỉnh. Suy ra M'M'' sẽ nhỏ nhất khi M phải là giao điểm của đường tròn với đoạn thẳng OO1, ở đây O1 là tâm đường tròn.
Cho tam giác nhọn ABC. Hãy nội tiếp trong tam giác ABC một tam giác có chu vi bé nhất.
Đường quốc lộ và đường ống dân dầu cắt nhau một góc nhỏ hơn 450, trong góc này có một bãi đỗ các ô tô của xí nghiệp vận tải. Xây trạm cung cấp xăng ở vị trí nào trên đường ống để các loại xe xuất phát từ bãi đỗ xe đến lấy xăng rồi ra đường quốc lộ với đường đi ngắn nhất.
Một mảnh đất hình tam giác nhọn ABC nằm ở vị trí giao nhau của ba con sông. Trong mảnh đất này có hai nhà máy D và E. Tàu chở hàng thả hàng ở ba vị trí lần lượt nằm trên các cạnh của tam giác ABC. Hãy tìm các vị trí bỏ hàng để quãng đường đi từ D đến M, đến K đến L rồi đến E là nhỏ nhất.
Có hai kho chứa xăng hình tròn ở cùng một phía đối với đường quốc lộ. Người ta muốn xây dựng một trạm cung ứng và phân phối xăng bên đường quốc lộ nối với hai đường ống nối tới hai bồn xăng là ngắn nhất.
Trên một mảnh đất hình thang vuông ABCD người ta xây dựng một sân vận động hình chữ nhật AEFD và 3 ngôi nhà. Nhà bảo vệ C, nhà ban quản lý sân B, nhà tạm nghỉ và thay trang phục P. Kèm theo đó người ta xây dựng hai cửa chính Q, H và cùng một cửa phụ K. Bạn hãy giúp người thiết kế sân tìm vị trí P, Q, H, K sao cho trước và sau mỗi trận thi đấu, người bảo vệ có thể đi theo con đường ngắn nhất để làm nhiệm vụ. Theo đó người ta cho xây các cửa và con đường BPC. Sơ đồ mảnh đất và vị trí cố định của B, C và các vị trí cần được xác định có dạng như hình vẽ.
Có hai điểm dân cư cùng phía bên cạnh một dòng sông. Người ta muốn xây dựng một trạm cung cấp nước lấy từ dòng sông và qua xử lí cung cấp cho hai điểm dân cư nói trên. Vậy phải đặt trạm xử lí nước tại điểm nào trên bờ sông để độ dài đường ống dẫn nước từ đó tới hai điểm dân cư là nhỏ nhất?
Cho hình vuông ABCD. Hãy xác định đường thẳng đi qua tam hình vuông cắt các cạnh đối AD và BC sao cho tổng khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng đó là
a) Lớn nhất
