Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và B'C'. Góc $\alpha$ là góc hợp giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $\left(A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}\right).$ Tính giá trị của $\sin \alpha .$ 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\left|3x^4-4x^3-12x^2+m^2\right|$ có đúng 5 điểm cực trị? 

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{4}{3}{\sin }^{3}2x+2{\cos }^{2}2x-\left(m^2+3m\right)\sin 2x-1$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{4}\right).$ 

Một hộp đựng thẻ gồm 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ từ hộp thẻ đó. Xác suất để 2 thẻ rút được có tổng là một số tự nhiên chia hết cho 3 là 

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3\left(m^2-2\right)x$ đồng biến trên khoảng $\left(12;+\infty \right)?$

Ông X gửi vào ngân hàng 60 triệu đồng theo hình thức lãi kép. Lãi suất ngân hàng là 8% trên năm. Sau 5 năm ông X tiếp tục gửi thêm 60 triệu đồng nữa. Hỏi sau 10 năm kể từ lần gửi đầu tiên ông X đến rút toàn bộ tiền gốc và tiền lãi được là bao nhiêu? (Biết lãi suất không thay đổi qua các năm ông X gửi tiền).

Cho hàm số y= f(x) có bảng xét dấu của y' như sau:

 Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=3,AD=4$ và các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy một góc ${60}^0$.Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 

Gọi m là giá trị nhỏ nhất và M là giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^4-2x^2-3$ trên đoạn [0;2] Giá trị biểu thức M + m bằng 

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) như hình vẽ. Số giao điểm của (C) và đường thẳng y = 3 là

Cho khối lăng trụ đứng có diện tích đáy bằng $2a^2$ và cạnh bên bằng 3a.Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Cho các số thực x,y với $x\ge 0$ thỏa mãn $e^{x+3y}+e^{xy+1}+x\left(y+1\right)+1=e^{-xy-1}+\frac{1}{e^{x+3y}}-3y.$ Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=x+2y+1.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

Cho hàm số $f\left(x\right)=x-3\sqrt[3]{x+1}+m,$ đặt $P=\underset{\left[-1;7\right]}{\max }{\left[f\left(x\right)\right]}^2+\underset{\left[-1;7\right]}{\min }{\left[f\left(x\right)\right]}^2.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để giá trị của P không vượt quá 26?