Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}}\], với \[x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\] và thỏa mãn \[F\left( \pi \right) = \frac{3}{4}\]. Giá trị của \[F\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\] là:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta thấy: \[\begin{array}{l}\frac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}} = {\cos ^3}x\left( {1 + \sin x} \right) = \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos x + {\cos ^3}x.\sin x\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)d\left( {\sin x} \right)} - \int {{{\cos }^3}xd\left( {\cos x} \right)} = \sin x - \frac{{{{\sin }^3}x}}{3} - \frac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\end{array}\]
Theo giả thiết, ta có \[F\left( \pi \right) = \frac{3}{4}\] nên \[C = 1\].
Vậy \[F\left( x \right) = \sin x - \frac{{{{\sin }^3}x}}{3} - \frac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\]
Do đó \[F\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{3}\].
Chọn D.
