Hướng dẫn giải

\[\int {\left( {{e^x} + x} \right)dx} = \int {{e^x}dx} + \int {xdx} = {e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\].

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\sqrt x dx} = \frac{2}{3}x\sqrt x + C\], với C là hằng số.

Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số \[y = \sqrt x \].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + {3^x}} \right)dx} = \int {3{x^2}dx} + \int {{3^x}dx} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^3} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\end{array}\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\left( {5{x^4} + \frac{2}{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x}} \right)dx} = {x^5} - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{{4{x^2} + \sqrt x - 6}}{x}dx} = \int {\left( {4x + \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{6}{x}} \right)dx} = 2{x^2} + 2\sqrt x - 6\ln \left| x \right| + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}dx} = \int {{{\left( {\frac{2}{e}} \right)}^x}dx} - \int {{e^{ - x}}dx} = \frac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + {e^{ - x}} + C\].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}\int {x{{\left( {x + 2} \right)}^{2019}}dx} = \int {\left[ {\left( {x + 2} \right) - 2} \right]{{\left( {x + 2} \right)}^{2019}}dx} \\ = \int {{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}dx} - 2\int {{{\left( {x + 2} \right)}^{2019}}dx} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2021}}}}{{2021}} - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{1010}} + C\end{array}\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\frac{1}{{{e^{2x}} + 1}} = \frac{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right) - {e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}} = 1 - \frac{{{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}\].

Do đó \[\int {\frac{1}{{{e^{2x}} + 1}}dx} = \int {\left( {1 - \frac{{{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}} \right)dx} = \int {dx} - \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}}{{{e^{2x}} + 1}}} = x - \frac{1}{2}\ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}\int {\frac{1}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }}dx} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} }}{4}dx} \\ = \frac{1}{4}\left[ {\frac{2}{3}\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 2} } \right] + C = \frac{1}{6}\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} - \frac{1}{6}\left( {x - 2} \right)\sqrt {x - 2} + C\end{array}\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\frac{{5x - 13}}{{{x^2} - 5x + 6}} = \frac{{5x - 13}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\]

Ta sẽ phân tích: \[5x - 13 = A\left( {x - 2} \right) + B\left( {x - 3} \right)\;\;\;\left( 1 \right)\]

Thế \[x = 2\] và \[x = 3\] lần lượt vào (1) ta có \[B = 3\] và \[A = 2\].

Khi đó \[\begin{array}{l}\int {\frac{{5x - 13}}{{{x^2} - 5x + 6}}dx} = \int {\frac{{2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}dx} = \int {\frac{2}{{x - 3}}dx} + \int {\frac{3}{{x - 2}}dx} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 2\ln \left| {x - 3} \right| + 3\ln \left| {x - 2} \right| + C\end{array}\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{{1 - {x^4}}}{{{x^5} + x}}dx} = \int {\frac{{\left( {1 + {x^4}} \right) - 2{x^4}}}{{x\left( {{x^4} + 1} \right)}}dx} = \int {\frac{1}{x}dx} - \int {\frac{{2{x^3}}}{{{x^4} + 1}}dx} = \ln \left| x \right| - \frac{1}{2}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{x^3} - 3x + 2}}dx} = \int {\frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}dx} \].

Ta phân tích \[3{x^2} + 3x + 3 = A{\left( {x - 1} \right)^2} + B\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + C\left( {x + 2} \right)\].

Ta có thể dùng các giá trị riêng, tính ngay \[A = 1,C = 3\] và \[B = 2\].

(thay \[x = - 2 \Rightarrow A = 1;\;x = 1 \Rightarrow C = 3\] và \[x = 0 \Rightarrow B = 2\]).

Khi đó \[\int {\frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}dx} = \int {\frac{1}{{x + 2}}dx} + 2\int {\frac{1}{{x - 1}}} dx + 3\int {\frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx} = \ln \left| {x + 2} \right| + 2\ln \left| {x - 1} \right| - \frac{3}{{x - 1}} + C\].

Chọn A.

Hướng dẫn giải

\[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{2}{{2x - 1}}dx} = \ln \left| {2x - 1} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {2x - 1} \right) + {C_1}\;khi\;x > \frac{1}{2}\\\ln \left( {1 - 2x} \right) + {C_2}\;khi\;x < \frac{1}{2}\end{array} \right.\]

Vì \[\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_2} = 1\\{C_1} = 2\end{array} \right.\].

Suy ra \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {2x - 1} \right) + 2\;khi\;x > \frac{1}{2}\\\ln \left( {1 - 2x} \right) + 1\;khi\;x < \frac{1}{2}\end{array} \right.\].

Do đó  \[P = f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right) = 3 + \ln 3 + \ln 5 = 3 + \ln 15\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

\[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{2}{{{x^2} - 1}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C\]

Hay \[f\left( x \right) = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + {C_1}\;khi\;x > 1\\\ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}} + {C_2}\;khi\; - 1 < x < 1\\\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + {C_3}\;khi\;x < - 1\end{array} \right.\]

Theo bài ra, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2\\f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_1} + {C_3} = 2\ln 2\\{C_2} = 0\end{array} \right.\]

Do đó \[f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 4 \right) = \ln 3 + {C_3} + {C_2} + \ln \frac{3}{5} + {C_1} = 2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5\].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta viết: \[f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 5x + \cos x} \right)\].

Khi đó: \[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\sin 5x}}{{10}} + \frac{{\sin x}}{2} + C\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\left( {2\cos x - 3\cos 5x} \right)dx} = 2\sin x - \frac{3}{5}\sin 5x + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\sin 5x\sin 2xdx} = \frac{1}{2}\int {\left( {\cos 3x - \cos 7x} \right)dx} = \frac{1}{6}\cos 3x - \frac{1}{{14}}\sin 7x + C\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {4{{\cos }^2}xdx} = 2\int {\left( {1 + \cos 2x} \right)dx} = 2x + \sin 2x + C\].

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}\int {{{\left( {1 + 2\sin x} \right)}^2}dx} = \int {\left( {1 + 4\sin x + 4{{\sin }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + 4\sin x + 4.\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)dx} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int {\left( {3 + 4\sin x - 2\cos 2x} \right)dx} = 3x - 4\cos x - \sin 2x + C\end{array}\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}\int {\left( {\sin x - \cos x} \right)\sin xdx} = \int {\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x} \right)dx} \\ = \int {\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2} - \frac{{\sin 2x}}{2}} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x} \right) + C\end{array}\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} = \int {\frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = \tan x - \cot x + C\].

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{1}{{4{{\cos }^4}x - 4{{\cos }^2}x + 1}}dx} = \int {\frac{1}{{{{(2{{\cos }^2}x - 1)}^2}}}dx = } \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}2x}}dx = } \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}2x}}d(2x) = \frac{{\tan 2x}}{2} + C} \]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {{{\cos }^3}xdx} = \frac{1}{4}\int {\left( {3\cos x + \cos 3x} \right)dx} = \frac{1}{4}\left( {3\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x} \right) + C = \sin x - \frac{1}{3}{\sin ^3}x + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Từ \[{\tan ^3}x = \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - \tan x\]

Suy ra \[\int {{{\tan }^3}xdx} = \int {\tan xd\left( {\tan x} \right)} + \int {\frac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}} = \frac{{{{\tan }^2}x}}{2} + \ln \left| {\cos x} \right| + C\].

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[F\left( x \right) = \int {\sin 2x.\tan xdx} = \int {2\sin x.\cos x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} = 2\int {{{\sin }^2}xdx} \].

Suy ra \[F\left( x \right) = \int {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} = x - \frac{{\sin 2x}}{2} + C\].

Theo giả thiết, ta có: \[F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} - \frac{1}{2}\sin \frac{{2\pi }}{3} + C = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow C = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}\].

Vậy \[F\left( x \right) = x - \frac{{\sin 2x}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}\].

Do đó \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\sin 2\left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}\].

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}{\cos ^4}2x = {\left( {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {1 + 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( {1 + 2\cos 4x + \frac{{1 + \cos 8x}}{2}} \right) = \frac{1}{8}\left( {3 + 4\cos 4x + \cos 8x} \right)\end{array}\]

Do đó \[F\left( x \right) = \frac{1}{8}\int {\left( {3 + 4\cos 4x + \cos 8x} \right)dx} = \frac{1}{8}\left( {3x + \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + C\]

Mà \[F\left( 0 \right) = 2019\] nên ta có \[C = 2019\].

Vậy \[F\left( x \right) = \frac{1}{8}\left( {3x + \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + 2019\].

Do đó \[F\left( {\frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{3\pi + 129224}}{{64}}\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta thấy: \[\begin{array}{l}\frac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}} = {\cos ^3}x\left( {1 + \sin x} \right) = \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos x + {\cos ^3}x.\sin x\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)d\left( {\sin x} \right)} - \int {{{\cos }^3}xd\left( {\cos x} \right)} = \sin x - \frac{{{{\sin }^3}x}}{3} - \frac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\end{array}\]

Theo giả thiết, ta có \[F\left( \pi \right) = \frac{3}{4}\] nên \[C = 1\].

Vậy \[F\left( x \right) = \sin x - \frac{{{{\sin }^3}x}}{3} - \frac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\]

Do đó \[F\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{3}\].

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[v\left( t \right) = S'\left( t \right) = t\] nên \[v\left( {{t_0}} \right) = {t_0} = 5\left( {m/s} \right)\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Chọn mốc thời gian và gốc tọa độ lúc ô tô bắt đầu đạp phanh. Ta có: \[t = 0;s = 0\].

\[\begin{array}{l}s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {10 - 2t} \right)dt} = 10t - {t^2} + C,\\s\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow s\left( t \right) = 10t - {t^2}\end{array}\]

Ô tô dừng hẳn khi \[v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 10 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 5\].

Trong 8 giây cuối, ô tô chuyển động đều với vận tốc 10 (m/s) trong 3 giây đầu và chuyển động chậm dần đều trong 5 giây cuối.

Quãng đường ô tô di chuyển là: \[s = 3.10 + 10.5 - {5^2} = 55m\].

Hướng dẫn giải

Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức: \[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt} = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\]

Vì vận tốc ban đầu (lúc \[t = 0\]) của vật là \[{v_0} = 6m/s\] nên:

 \[v\left( 0 \right) = 3\ln \left| {0 + 1} \right| + C = 6 \Leftrightarrow C = 6 \Rightarrow v\left( t \right) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\].

Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là: \[v\left( {10} \right) = 3\ln \left| {10 + 1} \right| + 6 \approx 13,2\left( {m/s} \right)\].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Vận tốc \[v\left( t \right)\] chính là nguyên hàm của gia tốc \[a\left( t \right)\] nên ta có:

\[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( { - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}} \right)dt} = - \frac{1}{{96}}{t^4} + \frac{5}{{48}}{t^3} + C\]

Tại thời điểm ban đầu \[\left( {t = 0} \right)\] thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là: \[{v_0} = 0 \Rightarrow v\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{{96}}{.0^4} + \frac{5}{{48}}{.0^3} + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\].

Vậy công thức vận tốc là \[v\left( t \right) = - \frac{1}{{96}}{t^4} + \frac{5}{{48}}{t^3}\]

Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là  \[v\left( 5 \right) = 6,51\;m/s\].

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Xem như tại thời điểm \[{t_0} = 0\] thì nhà khoa học phóng tên lửa với vận tốc đầu 20 m/s. Ta có \[s\left( 0 \right) = 0\] và \[v\left( 0 \right) = 20\].

Vì tên lửa chuyển động thẳng đứng nên gia tốc trọng trường tại mọi thời điểm t là \[{s^n}\left( t \right) = - 9,8\;m/{s^2}\].

Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc nên ta có vận tốc của tên lửa tại thời điểm t là \[v\left( t \right) = \int { - 9,8dt} = - 9,8t + {C_1}\].

Do \[v\left( 0 \right) = 20\] nên \[ - 9,8t + {C_1} = 20 \Leftrightarrow {C_1} = 20 \Rightarrow v\left( t \right) = - 9,8t + 20\].

Vậy vận tốc của tên lửa sau 2s là \[v\left( 2 \right) = - 9,8.2 + 20 = 0,4\left( {m/s} \right)\].

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Đặt \[A = \int {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \int {\ln x\frac{1}{x}dx} \]

Đặt \[u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\]

Do đó \[A = \int {udu} = \frac{{{u^2}}}{2} + C\]

Vậy \[\int {\frac{{\ln x}}{x}dx} = \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[u = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow {x^2} = {u^2} - 1\] và \[xdx = udu\].

Khi đó \[\begin{array}{l}I = \int {\left( {{u^2} - 1} \right).udu = } \int {\left( {{u^2} - 1} \right)du} \\\;\; = \frac{{{u^3}}}{3} - u + C\end{array}\]

Vậy \[I = \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} - \sqrt {{x^2} + 1} + C\].

Hướng dẫn giải

Đặt \[u = {x^3} + 1\] ta có \[du = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = \frac{1}{3}du\]

Suy ra \[\int {f\left( x \right)dx} = \int {{e^u}\frac{1}{3}du} = \frac{1}{3}{e^u} + C\]

Do đó \[F\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}} + C\].

Mặt khác \[F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{3}\] nên \[C = 0\]. Vậy \[\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{3}{e^{{x^3} + 1}}\].

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Đặt \[u = 1 + 3\cos x\], ta có \[du = - 3\sin xdx\] hay \[2\sin xdx = - \frac{2}{3}du\].

Khi đó \[M = - \frac{2}{3}\int {\frac{1}{u}du}  =  - \frac{2}{3}\ln \left| u \right| + C\]

Vậy \[M = \int {\frac{{2\sin x}}{{1 + 3\cos x}}dx} = - \frac{2}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {x.\sqrt[3]{{{x^2} + 1}}dx} = \frac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{\frac{1}{3}}}d\left( {{x^2} + 1} \right)} = \frac{3}{8}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{\frac{4}{3}}} + C\].

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Đặt \[u = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {u^2} = x + 1\]. Suy ra \[x = {u^2} - 1\] và \[dx = 2udu\].

Khi đó \[R = \int {\frac{{2u}}{{\left( {{u^2} - 1} \right)u}}du} = \int {\frac{2}{{{u^2} - 1}}du} = \int {\left( {\frac{1}{{u - 1}} - \frac{1}{{u + 1}}} \right)du} = \ln \left| {\frac{{u - 1}}{{u + 1}}} \right| + C\].

Vậy \[R = \ln \left| {\frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{\sqrt {x + 1} + 1}}} \right| + C\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Xét \[S = \int {{x^3}\sqrt {{x^2} + 9} dx} = \int {{x^2}\sqrt {{x^2} + 9} xdx} \].

Đặt \[u = \sqrt {{x^2} + 9} \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 9\]. Suy ra \[{x^2} = {u^2} - 9\] và \[xdx = udu\].

Khi đó \[S = \int {\left( {{u^2} - 9} \right)u.udu} = \int {\left( {{u^4} - 9{u^2}} \right)du} = \frac{{{u^5}}}{5} - 3{u^3} + C\].

Vậy \[S = \frac{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^2}\sqrt {{x^2} + 9} }}{5} - 3\left( {{x^2} + 9} \right)\sqrt {{x^2} + 9} + C\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[T = \int {\frac{1}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {\ln x + 1} }}d\left( {\ln x + 1} \right)} = 2\sqrt {\ln x + 1} + C\].

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Xét \[U = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2022}}}}dx} = \int {{{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)}^{2020}}\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \]

Đặt \[u = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow du = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx \Rightarrow \frac{1}{3}du = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx\].

Suy ra. \[U = \frac{1}{3}\int {{u^{2020}}du} = \frac{1}{{6063}}{u^{2021}} + C\]. Vậy \[U = \frac{1}{{6063}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^{2021}} + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Đặt \[u = 1 + \sqrt {1 + \ln x} \Rightarrow {\left( {u - 1} \right)^2} = 1 + \ln x \Leftrightarrow \ln x = {u^2} - 2u \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \left( {2u - 2} \right)du\].

Khi đó \[\begin{array}{l}V = \int {\frac{{{{\ln }^2}x}}{{x\left( {1 + \sqrt {\ln x + 1} } \right)}}dx} = \int {\frac{{{{\left( {{u^2} - 2u} \right)}^2}}}{u}.\left( {2u - 2} \right)du} \\ = 2\int {\left( {{u^4} - 5{u^3} + 8{u^2} - 4u} \right)du} = \frac{2}{5}{u^5} - \frac{5}{2}{u^4} + \frac{{16}}{3}{u^3} - 4{u^2} + C\end{array}\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Đặt \[u = \sin 2x \Rightarrow du = 2\cos 2xdx \Rightarrow \frac{1}{2}du = \cos 2xdx\]

Ta có \[\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\sin }^2}2x.{{\cos }^3}2xdx} = \frac{1}{2}\int {{u^2}.\left( {1 - {u^2}} \right)du} = \frac{1}{2}\int {\left( {{u^2} - {u^4}} \right)du} \\\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{6}{u^3} - \frac{1}{{10}}{u^5} + C = \frac{1}{6}{\sin ^3}2x - \frac{1}{{10}}{\sin ^5}2x + C\end{array}\]

\[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{6}{\sin ^3}\frac{\pi }{2} - \frac{1}{{10}}{\sin ^5}\frac{\pi }{2} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{{15}}\]

Vậy \[F\left( x \right) = \frac{1}{6}{\sin ^3}2x - \frac{1}{{10}}{\sin ^5}2x - \frac{1}{{15}}\]

Do đó \[F\left( {2019\pi } \right) = - \frac{1}{{15}}\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Vì \[x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1 = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + 1 = {\left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right) + 1} \right]^2}\] nên ta đặt \[u = {x^2} + 3x\], khi đó \[du = \left( {2x + 3} \right)dx\]

Nguyên hàm ban đầu trở thành \[\int {\frac{{du}}{{{{\left( {u + 1} \right)}^2}}} = - \frac{1}{{u + 1}} + C} \].

Suy ra \[\int {\frac{{\left( {2x + 3} \right)dx}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1}}} = - \frac{1}{{{x^2} + 3x + 1}} + C\]

Vậy \[g\left( x \right) = {x^2} + 3x + 1;\;g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\].

Do đó \[S = \left\{ {\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\].

Tổng giá trị các phần tử của S bằng \[ - 3\].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[F\left( x \right) = \int {\frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx} = - \int {\frac{1}{{2\sqrt {8 - {x^2}} }}d\left( {8 - {x^2}} \right) = - \sqrt {8 - {x^2}} + C} \]

Mặt khác \[F\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + C = 0 \Leftrightarrow C = 2\]

Vậy \[F\left( x \right) = - \sqrt {8 - {x^2}} + 2\].

Xét phương trình \[\begin{array}{l}F\left( x \right) = x \Leftrightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\8 - {x^2} = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\2{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \\x = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Phân tích \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}\]

Khi đó \[F\left( x \right) = \int {\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}dx} = \int {\frac{1}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}d\left( {{x^2} + x} \right)} = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + C\].

Mặt khác \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1\].

Vậy \[F\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + 1 = - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + 1 = - \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 1\].

Do đó \[\begin{array}{l}S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2019} \right) = - \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2019}} - \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019\\\;\;\; = - \left( {1 - \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019 = 2018 + \frac{1}{{2020}} = 2018\frac{1}{{2020}}\end{array}\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1\].

Suy ra \[\int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \Leftrightarrow \int {\frac{{d\left( {1 + {f^2}\left( x \right)} \right)}}{{2\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + C\]

Theo giả thiết \[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \], suy ra \[\sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = C \Leftrightarrow C = 3\]

Với \[C = 3\] thì \[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + 3 \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^2} - 1} \]

Vậy \[f\left( 1 \right) = \sqrt {24} = 2\sqrt 6 \]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2\;\;\;\;\;\;\left( * \right)\]

Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (*) ta được:

\[\int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}.f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)dx} \Leftrightarrow \frac{1}{3}{f^3}\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C \Leftrightarrow {f^3}\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 3C\]

Theo giả thiết, ta có \[f\left( 0 \right) = 3\] nên

\[{\left( {f\left( 0 \right)} \right)^3} = 3\left( {{0^3} + {{2.0}^2} + 2.0 + C} \right) \Leftrightarrow 27 = 3C \Leftrightarrow C = 9 \Rightarrow {f^3}\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 27\]

Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số \[g\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 27\] trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\].

Ta có \[g'\left( x \right) = 9{x^2} + 12x + 6 > 0,\forall x \in \left[ { - 2;1} \right]\] nên đồng biến trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\].

Vậy \[\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} = \sqrt[3]{{\mathop {\max g\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} }} = \sqrt[3]{{42}}\].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Đặt \[x = 2\sin t\] với \[t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\]. Ta có \[\cos t > 0\] và \[dx = 2\cos tdt\].

Khi đó \[I = \int {\frac{{4{{\sin }^2}t}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}2\cos tdt} = \int {4{{\sin }^2}tdt} \] (vì \[\cos t > 0,\forall t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\]).

Suy ra \[I = 2\int {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} = 2t - \sin 2t + C\]

Từ \[x = 2\sin t \Rightarrow t = \arcsin \frac{x}{2}\] và \[\sin 2t = 2\sin t.\cos t = \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2}\]

Vậy \[I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} = 2\arcsin \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Đặt \[x = \cos t,t < 0 < \pi \Rightarrow dx = - \sin t.dt\].

Khi đó \[I = - \int {\frac{{\sin t.dt}}{{{{\sin }^3}t}}dt} = - \int {\frac{{dt}}{{{{\sin }^2}t}}} = \cot t + C\] hay \[I = \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + C\]

Vậy \[\int {\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^3}} }}dx} = \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} + C\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Đặt \[x = \tan t\] với \[t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\], ta có \[dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\].

Khi đó \[I = \int {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}t}}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt} = \int {dt} = t + C\]

Vậy \[I = \int {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} = \arctan x + C\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Hướng dẫn giải

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2019} \right)\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{x + 2019}}dx\\v = x + 2019\end{array} \right.\]

(ở đây từ \[dv = dx \Rightarrow v = x + C\], ta có thể chọn \[C = 2019\] để việc tính toán đơn giản hơn)

Khi đó

\[\int {\ln \left( {x + 2019} \right)dx} = \left( {x + 2019} \right)\ln \left( {x + 2019} \right) - \int {dx} \]

Vậy \[\int {\ln \left( {x + 2019} \right)dx} = \left( {x + 2019} \right)\ln \left( {x + 2019} \right) - x + C\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2 + {x^2}} \right)\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{2x}}{{{x^2} + 2}}dx\\v = \frac{{{x^2} + 2}}{2}\end{array} \right.\]

Khi đó \[I = \frac{{{x^2} + 2}}{2}\ln \left( {{x^2} + 2} \right) - \int {xdx} = \frac{{{x^2} + 2}}{2}\ln \left( {{x^2} + 2} \right) - \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\\dv = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{\cos x - 2\sin x}}{{\sin x + 2\cos x}}dx\\v = \tan x + 2 = \frac{{\sin x + 2\cos x}}{{\cos x}}\end{array} \right.\]

Khi đó \[\begin{array}{l}I = \left( {\tan x + 2} \right)\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - \int {\frac{{\cos x - 2\sin x}}{{\cos x}}dx} \\\;\; = \left( {\tan x + 2} \right)\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right) - x - 2\ln \left| {\cos x} \right| + C\end{array}\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Phân tích: Ở đây ta sẽ ưu tiên \[u = {x^2}\] là đa thức, tuy nhiên vì bậc của u là 2 nên ta sẽ từng phần hai lần mới thu được kết quả. Nhằm tiết kiệm thời gian, tôi gợi ý với phương pháp “sơ đồ đường chéo” cụ thể như sau:

Bước 1: Chia thành 3 cột:

+ Cột 1: Cột u luôn lấy đạo hàm đến 0.

+ Cột 2: Dùng để ghi rõ dấu của các phép toán đường chéo.

+ Cột 3: Cột dv luôn lấy nguyên hàm đến khi tương ứng với cột 1.

Bước 2: Nhân chéo kết quả của 2 cột với nhau. Dấu của phép nhân đầu tiên sẽ có dấu (+), sau đó đan dấu (-), (+), (-),… rồi cộng các tích lại với nhau.

Khi đó \[I = - \frac{1}{5}{x^2}\cos 5x + \frac{2}{{25}}x\sin 5x + \frac{2}{{125}}\cos 5x + C\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Nếu làm thông thường thì từng phần 4 lần ta mới thu được kết quả. Ở đây, chúng tôi trình bày theo sơ đồ đường chéo cho kết quả và nhanh chóng hơn.

Vậy \[I = \left( {\frac{{{x^4}}}{3} - \frac{{4{x^3}}}{{{3^2}}} + \frac{{12{x^2}}}{{{3^3}}} - \frac{{24x}}{{{3^4}}} + \frac{{24}}{{{3^5}}}} \right){e^{3x}} + C\].

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Vậy \[I = \int {x.\ln xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln 2 - \frac{{{x^2}}}{4} + C\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Vậy \[I = \left( {2{x^2} - x} \right){\ln ^3}\left( {2x} \right) - \left( {3{x^2} - 3x} \right){\ln ^2}\left( {2x} \right) + \left( {3{x^2} - 6x} \right)\ln \left( {2x} \right) - \frac{{3{x^2}}}{2} + 6x + C\]

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có \[F'\left( x \right) = f\left( x \right){e^{2x}} \Leftrightarrow {e^x} + \left( {x - 1} \right){e^x} = f\left( x \right).{e^{2x}} \Leftrightarrow f\left( x \right).{e^{2x}} = x.{e^x}\].

Xét \[\int {f'\left( x \right){e^{2x}}dx} \]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{2x}}\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2{e^{2x}}dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\]

Do đó \[I = f\left( x \right).{e^{2x}} - 2\int {f\left( x \right){e^x}dx} = x{e^x} - 2\left( {x - 1} \right){e^x} + C\]

Vậy \[I = \int {f'\left( x \right){e^{2x}}dx} = \left( {2 - x} \right){e^x} + C\]

Chọn A.