Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có: \[{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2\;\;\;\;\;\;\left( * \right)\]
Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (*) ta được:
\[\int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}.f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)dx} \Leftrightarrow \frac{1}{3}{f^3}\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C \Leftrightarrow {f^3}\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 3C\]
Theo giả thiết, ta có \[f\left( 0 \right) = 3\] nên
\[{\left( {f\left( 0 \right)} \right)^3} = 3\left( {{0^3} + {{2.0}^2} + 2.0 + C} \right) \Leftrightarrow 27 = 3C \Leftrightarrow C = 9 \Rightarrow {f^3}\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 27\]
Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số \[g\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 27\] trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\].
Ta có \[g'\left( x \right) = 9{x^2} + 12x + 6 > 0,\forall x \in \left[ { - 2;1} \right]\] nên đồng biến trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\].
Vậy \[\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} = \sqrt[3]{{\mathop {\max g\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} }} = \sqrt[3]{{42}}\].
Chọn C.
Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{{\cos }^5}x}}{{1 - \sin x}}\], với \[x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\] và thỏa mãn \[F\left( \pi \right) = \frac{3}{4}\]. Giá trị của \[F\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\] là:
