Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{dx}}{{{{\left( {\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right)}^2}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}}}{{{{\left( {1 + \tan \frac{x}{2}} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan \frac{x}{2}} \right)}^2}}}dx.} } } \)
Đặt \(t = 1 + \tan \frac{x}{2} \Rightarrow 2dt = \left( {1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}} \right)dx.\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = 3 - \sqrt 3 .\)
\(I = \int\limits_1^{3 - \sqrt 3 } {\frac{{2dt}}{{{t^2}}} = - \frac{2}{t}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle3 - \sqrt 3 \atop\scriptstyle}} \right. = \frac{{ - \sqrt 3 + 3}}{3}.} \)
Suy ra \(a = - 1,b = 3,c = 3\) nên \(a + b + c = 5.\)
Chọn A.
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.
Giá trị của abc bằng
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\).
Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx = 3.} \)
Tính \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .\)
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.
Giá trị của \(P = 2a + b\) là
Biết \(I = \int_0^{\ln 2} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 3{e^{ - x}} + 4}}} = \frac{1}{c}\left( {\ln a - \ln b + \ln c} \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên tố.
Giá trị của \(P = 2a - b + c\) là
Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Giá trị của \(F\left( e \right) - F\left( 1 \right)\) bằng
