Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đặt \[A = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx = 2 \Leftrightarrow \int\limits_{0.}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin x.\cos x}}{{{{\cos }^2}x}}.} f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx = 2.} \]
Đặt \(t = {\cos ^2}x \Rightarrow dt = - 2\sin x\cos xdx \Rightarrow - \frac{1}{2}dt = \sin x\cos xdx.\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1\) và \(x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2}.\) Khi đó \(A = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{f\left( t \right)}}{t}dt = 4.} \)
Đặt \(B = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}dx = 2} \Leftrightarrow \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{\ln x.f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x{{\ln }^2}x}}} dx = 2.\)
Tương tự ta có \(B = \int\limits_1^4 {\frac{{f\left( t \right)}}{t}} dt = 4.\)
Giá trị của \(I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{x}dx.} \) Đặt \(t = 2x \Rightarrow dx = \frac{1}{2}dt.\)
Đổi cận \(x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2}\) và \(x = 2 \Rightarrow t = 4.\)
Khi đó \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^4 {\frac{{f\left( t \right)}}{t}dt = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{f\left( t \right)}}{t}dt} + \int\limits_1^4 {\frac{{f\left( t \right)}}{t}dt = 4 + 4 = 8} } \)
Chọn D.
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.
Giá trị của abc bằng
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\).
Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx = 3.} \)
Tính \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .\)
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.
Giá trị của \(P = 2a + b\) là
Biết \(I = \int_0^{\ln 2} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 3{e^{ - x}} + 4}}} = \frac{1}{c}\left( {\ln a - \ln b + \ln c} \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên tố.
Giá trị của \(P = 2a - b + c\) là
Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Giá trị của \(F\left( e \right) - F\left( 1 \right)\) bằng
