Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có
\(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {f\left( x \right).\cos xdx} = \left[ {f\left( x \right).\sin x} \right]\left| {_{\frac{\pi }{2}}^{\scriptstyle\pi \atop\scriptstyle}} \right. - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {f'\left( x \right).\sin xdx} .\) Suy ra \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {f'\left( x \right).\sin xdx} = - \frac{\pi }{4}.\)
Mặt khác \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{\sin }^2}xdx} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}dx = \left[ {\frac{{2x - \sin 2x}}{4}} \right]\left| {_{\frac{\pi }{2}}^{\scriptstyle\pi \atop\scriptstyle}} \right. = \frac{\pi }{4}.} \)
Suy ra
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xf'\left( x \right)dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left[ {f'\left( x \right) + \sin x} \right]}^2}dx} = 0.} \)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = - \sin x.\) Do đó \(f\left( x \right) = \cos x + C.\) Vì \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(C = 0.\)
Ta được \(f\left( x \right) = \cos x \Rightarrow f\left( {2019\pi } \right) = \cos \left( {2019\pi } \right) = - 1.\)
Chọn A.
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.
Giá trị của abc bằng
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\).
Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx = 3.} \)
Tính \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .\)
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.
Giá trị của \(P = 2a + b\) là
Biết \(I = \int_0^{\ln 2} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 3{e^{ - x}} + 4}}} = \frac{1}{c}\left( {\ln a - \ln b + \ln c} \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên tố.
Giá trị của \(P = 2a - b + c\) là
Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Giá trị của \(F\left( e \right) - F\left( 1 \right)\) bằng
