IMG-LOGO

Câu hỏi:

12/07/2024 89

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3\sin x - \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx = \frac{{ - 11}}{{13}}\ln 2 + b\ln 3 + c\pi ,\left( {b,c \in \mathbb{Q}} \right)} \). Giá trị của \(\frac{b}{c}\)

A. \(\frac{{22}}{3}.\)

Đáp án chính xác

B. \(\frac{{22\pi }}{3}.\)

C. \(\frac{{22}}{{3\pi }}.\)

D. \(\frac{{22\pi }}{{13}}.\)

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Phân tích \(\frac{{3\sin x - \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}} = \frac{{m\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) + n\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)}}{{2\sin x + 3\cos x}}\)

                                    \( = \frac{{\left( {2m - 3n} \right)\sin x + \left( {3m + 2n} \right)\cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}\)

Đồng nhất hệ số ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 3n = 3\\3m + 2n = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{{13}};n = - \frac{{11}}{{13}}\).

Suy ra \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3\sin x - \cos x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\frac{3}{{13}}\left( {2\sin x + 3\cos x} \right) - \frac{{11}}{{13}}\left( {2\cos x - 3\sin x} \right)}}{{2\sin x + 3\cos x}}} dx.\)

\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\frac{3}{{13}} - \frac{{11}}{{13}}.\frac{{2\cos x - 3\sin x}}{{2\sin x + 3\cos x}}} \right]dx} = \frac{3}{{13}}\left( x \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{2}}} \right. - \frac{{11}}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\cos x - 3\sin x}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx.} \)

\( = \frac{{3\pi }}{{26}} - \frac{{11}}{{13}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{d\left( {2\sin x + 3\cos x} \right)}}{{2\sin x + 3\cos x}}dx} = \frac{{3\pi }}{{26}} - \frac{{11}}{{13}}\ln \left| {2\sin x + 3\cos x} \right|\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{2}}} \right.\)

\( = \frac{{3\pi }}{{26}} - \frac{{11}}{{13}}\ln 2 + \frac{{11}}{{13}}\ln 3.\) Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{11}}{{13}}\\c = \frac{3}{{26}}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{{11}}{{13}}.\frac{{26}}{3} = \frac{{22}}{3}\)

Chọn A.

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = 160 - 10t\left( {m/s} \right)\). Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm \(t = 0\left( s \right)\) đến thời điểm mà vật dừng lại là

Xem đáp án » 05/01/2023 155

Câu 2:

Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc \(a\left( t \right) = 3t + {t^2}\). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

Xem đáp án » 05/01/2023 137

Câu 3:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx = 2} \)\(\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}dx} = 2\). Giá trị của \(I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{x}dx} \)

Xem đáp án » 05/01/2023 136

Câu 4:

Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.

Giá trị của abc bằng

Xem đáp án » 05/01/2023 135

Câu 5:

Biết \(\int\limits_1^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{e^{x - \frac{1}{x}}}dx} = m{e^{\frac{p}{q}}} - n,\) trong đó \(m,n,p,q\) là các số nguyên dương và \(\frac{p}{q}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(T = m + n + p + q\) là

Xem đáp án » 05/01/2023 135

Câu 6:

Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\).

Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx = 3.} \)

Tính \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .\)

Xem đáp án » 05/01/2023 129

Câu 7:

Cho \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} = 2,\) \(\int\limits_{ - 1}^2 {g\left( x \right)dx} = - 1\). Khi đó \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]} dx\) bằng

Xem đáp án » 05/01/2023 126

Câu 8:

Gọi \(h\left( t \right)\left( {cm} \right)\) là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng \(h'\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{{t + 8}}\) và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (chính xác đến 0,01cm)

Xem đáp án » 05/01/2023 121

Câu 9:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) tuần hoàn với chu kì \(\frac{\pi }{2}\) và có đạo hàm liên tục thỏa mãn \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\), \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx = \frac{\pi }{4}} \) và \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {f\left( x \right).\cos xdx = \frac{\pi }{4}.} \) Giá trị của \(f\left( {2019\pi } \right)\).

Xem đáp án » 05/01/2023 119

Câu 10:

Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua một đoạn mạch LC có biểu thức cường độ là \(i\left( t \right) = {I_0}\cos \left( {\omega t - \frac{\pi }{2}} \right)\). Biết \(i = q'\) với q là điện tích tức thời ở tụ điện. Tính từ lúc \(t = 0\), điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn của đoạn mạch đó trong thời gian từ 0 đến \(\frac{\pi }{\omega }\) là

Xem đáp án » 05/01/2023 116

Câu 11:

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.

Giá trị của \(P = 2a + b\)

Xem đáp án » 05/01/2023 112

Câu 12:

Biết \(I = \int_0^{\ln 2} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 3{e^{ - x}} + 4}}} = \frac{1}{c}\left( {\ln a - \ln b + \ln c} \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên tố.

Giá trị của \(P = 2a - b + c\) là

Xem đáp án » 05/01/2023 111

Câu 13:

Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 2} \) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx = 5} \). Giá trị của \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]dx} \) là

Xem đáp án » 05/01/2023 111

Câu 14:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = - \frac{1}{3}\) và \(f'\left( x \right) = x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng

Xem đáp án » 05/01/2023 111

Câu 15:

Giá trị của \(I = \int\limits_{\sqrt 5 }^{2\sqrt 3 } {\frac{1}{{x\sqrt {{x^2} + 4} }}dx} \) là

Xem đáp án » 05/01/2023 110

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »