Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{1 + \cos 2x}}dx = a\pi + b\ln 2,} \) với \(a,b\) là các số hũu tỉ.
Giá trị của \(T = 16a - 8b\) là
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đặt \(A = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{1 + \cos 2x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{2{{\cos }^2}x}}} dx = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} .\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x \Rightarrow du = dx\\dv = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx \Rightarrow v = \tan x\end{array} \right.\)
Khi đó
\(A = \frac{1}{2}\left[ {x\tan x\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{4}}} \right. - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx} } \right] = \frac{1}{2}\left[ {\left( {x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right|} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{4}}} \right.} \right]\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{4} + \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\ln 2} \right) = \frac{\pi }{8} - \frac{1}{4}\ln 2.\)
Vậy \(a = \frac{1}{8},b = \frac{{ - 1}}{4}\) do đó \(16a - 8b = 2 + 2 = 4.\)
Chọn A.
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.
Giá trị của abc bằng
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\).
Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx = 3.} \)
Tính \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .\)
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.
Giá trị của \(P = 2a + b\) là
Biết \(I = \int_0^{\ln 2} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 3{e^{ - x}} + 4}}} = \frac{1}{c}\left( {\ln a - \ln b + \ln c} \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên tố.
Giá trị của \(P = 2a - b + c\) là
Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Giá trị của \(F\left( e \right) - F\left( 1 \right)\) bằng
