Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 2021\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Gọi \(S\) là tổng tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 10x + m + 9} \right)\) có 5 điểm cực trị. Tổng \(S\)thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.

Lời giải

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\); \(f'\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Suy ra hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 2021\)có hai điểm cực trị là \(x = 1;x = 3\) .

Ta có: \(y' = \left( {2x - 10} \right).f'\left( {{x^2} - 10x + m + 9} \right)\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\{x^2} - 10x + m + 9 = 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{x^2} - 10x + m + 9 = 3{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Hàm số đã cho có 5 cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có 5 nghiệm phân biệt và \(y'\) đổi dấu khi đi qua 5 nghiệm đó\( \Leftrightarrow \)Mỗi pt (1) và (2) có 2 nghiệm phân biệt khác nhau và khác 5.

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}25 - \left( {m + 8} \right) > 0\\25 - \left( {m + 6} \right) > 0\\m \ne 17\\m \ne 19\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 17\).

Vậy các giá trị m nguyên dương thõa mãn: \(m \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3....;\,\,16} \right\}\). Khi đó \(S = \frac{{\left( {1 + 16} \right)16}}{2} = 136\) .