Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m\) cắt trục hoành tại đúng một điểm.

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m\) và trục hoành:

\({x^3} - 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = m\) (*)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0\\x = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = - 4\end{array} \right.\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) = + \infty \).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m\) cắt trục hoành tại đúng một điểm \( \Leftrightarrow \) Phương trình (*) có đúng một nghiệm.

Do đó từ bảng biến thiên ta được: yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}m < - 4\\m > 0\end{array} \right.\).