Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{16\sin x - 4}}{{16{{\sin }^2}x - 4\sin x + 9}}\). Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất và \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Chọn mệnh đề đúng.

Lời giải

Đặt \(t = \sin x\), \( - 1 \le t \le 1\) \( \Rightarrow y = g\left( t \right) = \frac{{16t - 4}}{{16{t^2} - 4t + 9}}\)

Ta có \(g'\left( t \right) = \frac{{ - 256{t^2} + 128x + 128}}{{{{\left( {16{t^2} - 4t + 9} \right)}^2}}}\); \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 256{t^2} + 128t + 128}}{{{{\left( {16{t^2} - 4t + 9} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\).

Có \(g\left( { - 1} \right) = - \frac{{20}}{{29}}\), \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{4}{5}\), \(f\left( 1 \right) = \frac{4}{7}\).

Suy ra \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( t \right) = \frac{4}{7}\) và \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( t \right) = - \frac{4}{5}\).

Vậy \(7M + 5m = 0\).